二次函數(shù)的知識(shí)梳理

1、關(guān)于二次函數(shù)知識(shí)梳理第1頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四1.定義：一般地，如果 （ 、 、 是常數(shù)， ），那么 叫做 的二次函數(shù).2.二次函數(shù) 用配方法可化成： 的形式.其中:第2頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四3.拋物線的三要素： 開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng) 時(shí)，開口向上；當(dāng) 時(shí)，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于 軸（或重合）的直線記作 特別地， 軸記作直線 .第3頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線

2、的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.第4頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四5.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法： 頂點(diǎn)是:對(duì)稱軸是直線:第5頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為 的形式，得到頂點(diǎn)為 ，對(duì)稱軸是直線 （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.第6頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四6.拋物

3、線 中， 、 、 的作用（1） 決定開口方向及開口大小，這與 中的 完全一樣. 開口向上開口向下越大開口越小，反之越大第7頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 （2） 的符號(hào)： 和 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置 由于拋物線 的對(duì)稱軸是直線 故： 時(shí)，對(duì)稱軸為 軸 （即 、 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 軸左側(cè)； （即 、 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 軸右側(cè). （左同右異）第8頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四（3） 的符號(hào)：由拋物線與 軸的交點(diǎn)位置確定:當(dāng) 時(shí)， ，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： 經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 與 軸交于正半軸與 軸交于負(fù)半軸 第9頁(yè)，共19頁(yè)，20

4、22年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：（1）一般式： .已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì) 、 的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式： .已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式（3）交點(diǎn)式: 已知圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 、 ，通常選用交點(diǎn)式：第10頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四8.直線與拋物線的交點(diǎn)（1） 軸與拋物線 的交點(diǎn)為（2）與 軸平行的直線 與拋物線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)（3）拋物線 與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 、 ，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn) 0 拋物線與 軸相交

5、； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上） 0 拋物線與 軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn) 0 拋物線與 軸相離.第11頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四（4）平行于 軸的直線 與拋物線的交點(diǎn)同上面（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)為 ，則橫坐標(biāo)是 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（5）一次函數(shù) 的圖象 與二次函數(shù) 的圖象 的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí) 與 有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí) 與 只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí) 與 沒(méi)有交點(diǎn).第12頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四（6）拋物線與 軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物

6、線 與 軸兩交點(diǎn)為 、 由于 、 是方程 的兩個(gè)根，故 ，第13頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四 ，向上平移 個(gè)單位向左（右）平移 個(gè)單位拋物線 與 , 的形狀和大小都相同，變動(dòng)的只是位置。（以 為基準(zhǔn)說(shuō)明） ，向下平移 個(gè)單位 ，向右平移 個(gè)單位 ，向左平移 個(gè)單位向上（下）平移 個(gè)單位第14頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四拋物線的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)的變換拋物線在變換中，開口大小未變，只是位置或開口方向發(fā)生改變確定變換前后頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向關(guān) 鍵關(guān)于 軸對(duì)稱關(guān)于 軸對(duì)稱第15頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四如圖，將拋物線 沿 軸翻轉(zhuǎn)到虛線的位置，那么所得到的拋物線的解析式為第16頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線 關(guān)于 軸作軸對(duì)稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于 軸作軸對(duì)稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（ ）A BC D2009年天津中考試題第10題第17頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)1分，星期四圖 像二次函數(shù)性 質(zhì)應(yīng) 用000=000=00開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性