立體幾何中向量方法-求空間角和距離

1、立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離9/9立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離8-81(2018武昌調(diào)研)如圖，在四棱錐S-ABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值【剖析】方法一空間向量法(1)證明以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則D(1，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)設(shè)S(x，y，z)，則x0，y0，z0，且AS(x2，y2，z)，BS(x，y2，z)，DS(x1，y，z)由|AS

2、|BS|，得（x2）2（y2）2z2x2（y2）2z2，解得x1.2由|DS|1，得yz1.由|BS|2，得y2z24y10.13由，解得y2，z2.1333S1，2，2，AS1，2，2，3313BS1，2，2，DS0，2，2，DSAS0，DSBS0，DSAS，DSBS，SD平面SAB.(2)設(shè)平面SBC的法向量為n(x1，y1，z1)，則nBS，nCB，nBS0，nCB0.33又BS1，2，2，CB(0，2，0)，AB(2，0，0)，21ABn2（3）cosAB，n727.|AB|n|21故AB與平面SBC所成角的正弦值為7.方法二綜合法(1)證明如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，SE，則四邊

3、形BCDE為矩形，且DECB2，ADDE2AE25.側(cè)面SAB為等邊三角形，AB2，SASBAB2，且SE3.又SD1，SA2SD2AD2，SE2SD2ED2，SDSA，SDSE，SD平面SAB.(2)過點(diǎn)S作SGDE于點(diǎn)G.ABSE，ABDE，AB平面SDE.平面SDE平面ABCD.由平面與平面垂直的性質(zhì)，知SG平面ABCD.3在RtDSE中，由SDSEDESG，得132SG，解得SG2.過點(diǎn)A作AH平面SBC于點(diǎn)H，連接BH，則ABH為AB與平面SBC所成的角CDAB，AB平面SDE，CD平面SDE，CDSD.在RtCDS中，由CDSD1，得SC2.1222227在SBC中，SBBC2，S

4、C2，則SSBC222.11由VA-SBCVS-ABC，得3SSBCAH3SABCSG，即17AH11223，解得AH221.323227AH21sinABHAB7.故AB與平面SBC所成角的正弦值為217.2(2018安一檢西)一個正方體的平面張開圖及該正方體的直觀圖的表示圖以下列圖在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N.(1)請將字母E，F(xiàn)，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的極點(diǎn)處(不需說明原由)；(2)證明：直線MN平面BDH；(3)求二面角A-EG-M的余弦值【剖析】(1)以下列圖，(2)證明連接AC，BD，訂交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N，1OMCD，OM2C

5、D，1HNCD，HN2CD，OMHN，OMHN，即四邊形MNHO是平行四邊形，MNOH，MN?平面BDH，OH?平面BDH，直線MN平面BDH.(3)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DH所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA2，則D(0，0，0)，M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，則GE(2，2，0)，MG(1，0，2)，設(shè)平面EGM的法向量n(x，y，z)，令x2得，n(2，2，1)在正方體中，DO平面ACGE，則DO(1，1，0)是平面ACGE的一個法向量，422則cosDO，n，92322二面角A-EG-M的余弦值為3.3(2018

6、南一檢云)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD平面SBC，SBSC，M是BC的中點(diǎn)，AB1，BC2.(1)求證：AMSD；6(2)若二面角B-SA-M的正弦值為3，求四棱錐S-ABCD的體積【剖析】(1)證明設(shè)AD的中點(diǎn)為N，連接MN，由四邊形ABCD是矩形，得MNBC.SBSC，M是BC的中點(diǎn)，SMBC.平面ABCD平面SBC，平面ABCD平面SBCBC，SM平面ABCD.SMMN.直線MC，MS，MN兩兩垂直以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC，MS，MN所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系M-xyz，設(shè)SMa.依題意得，M(0，0，0)，A(1，0，1)，

7、B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，S(0，a，0)AM(1，0，1)，SD(1，a，1)AMSD110(a)(1)10，AMSD，即AMSD.(2)由(1)可得MS(0，a，0)，MA(1，0，1)設(shè)平面AMS的法向量為n1(x，y，z)，則n1MS，n1MA，令x1，則n1(1，0，1)是平面AMS的一個法向量同理可得n2(a，1，0)是平面ABS的一個法向量設(shè)二面角B-SA-M的大小為，則|cos|n1n2a.|n1|n2|2a21222a21cos12a22sin3，解得a2.四棱錐S-ABCD的體積11222VS矩形ABCDSM213.334(2018百校締盟聯(lián)考)

8、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABBC2，ACB30，C1CB120，BC1A1C，E為AC的中點(diǎn)(1)求證：A1C平面C1EB；(2)求二面角A1-AB-C的余弦值【剖析】(1)證明BABC，E為AC的中點(diǎn)，BEAC.又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BE?平面ABC，BE平面AA1C1C.又A1C?平面AA1C1C，BEA1C.又BC1A1C，BEBC1B，A1C平面C1EB.(2)方法一由平面A1ACC1平面ABC.作C1MAC于點(diǎn)M，則C1M平面ABC.作MNBC于點(diǎn)N，連接C1N，則C1NBC，CNCM由cosC1CNC

9、C1，cosC1CMCC1，CNcosNCMCM，知cosC1CNcosC1CMcosNCM，而C1CN60，NCM30，故1cosC1CM3，即cosC1CM3，2233cosA1AC3.在四邊形AA1C1C中，設(shè)AA1x，則由余弦定理得2232A1Cx122x233x4x12.2232C1Ex32x33x2x3，設(shè)A1C與C1E交于點(diǎn)H，22則A1H3A1C，C1H3C1E，而A1CC1E，則A1H2C1H2A1C21，424x12)422x3)(23)2于是9(x9(x，即x2x60，x3或2(舍)，A1E2AA21AE22AA1AEcosA1AE，A1E2226，而A1EAEAA1，故

10、A1EAC，由平面AA1C1C平面ABC，則A1E平面ABC，過點(diǎn)E作EFAB于點(diǎn)F，連接A1F，則A1FE為二面角A1-AB-C的平面角，333由平面幾何知識易得EF2，A1F2.3cosAEF211FEA1F333.2方法二以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AC為y軸，過點(diǎn)A與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1x，A1AC，則B(1，3，0)，C(0，23，0)，E(0，3，0)，C1(0，23xcos，xsin)CB(1，3，0)，CC1(0，xcos，xsin)1CBCC1由cosCB，CC12，|CB|CC1|3xcos13得2x2，cos3，3636則A10，3x，3x，C10，233x，3x，36于是A1C0，233x，3x，36BC11，33x，3x，A1CBC1，33x233x6x6x0，3333即x2x60，解得x3或2(