機械工程測試技術2.2信號分析基礎

1、華中科技大學機械學院第二章、信號分析基礎華中科技大學機械學院周期信號及其頻譜任何科學理論,科學方法的建立都是經過多人不懈的努力而來的,其中有爭論,還有人為之獻出了生命。們,要 想 在 科學的領域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的傅立葉分析法，也經歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領域已發(fā)揮了巨大的作用。2.2周期信號及其頻譜2.2周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院傅里葉生平華中科技大學機械學院176818301768年生于法國1807拉格朗日反對發(fā)表1822的分析理論”1829個給出收斂條件華中科技大學機械學

2、院傅里葉的兩個最重要的貢獻華中科技大學機械學院華中科技大學機械學院信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t) 變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。華中科技大學機械學院X(t)= sin(2nft)傅里葉變換0t0f華中科技大學機械學院信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信華中科技大學機械學院信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信幅值息。時域分析頻域分析2.2 周期信號及其頻譜2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院華中科技大學機械學院圖例：受噪聲干擾的多

3、頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜時域和頻域的對應關系華中科技大學機械學院131Hz明確。明確。165Hz175Hz華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院華中科技大學機械學院周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院傅立葉級數與周期信號的分解周期信號是經過一定時間可以重復出現的信號，滿足條件：x (t)=x ( t + nT)在有限區(qū)間上，凡滿足狄利赫利條件的周期信號，都可以展開成傅立葉級數（正交函數線性組合的無窮級數，如三角函

4、數集的傅里葉級數）:cosn0t,sinn0t2.2周期信號及其頻譜2.2周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院狄利赫利條件：華中科技大學機械學院.在一個周期內只有有限個間斷點；tTtftdt 一般周期信號都滿足這些條件.華中科技大學機械學院1，傅里葉級數的三角展開式：華中科技大學機械學院t)0 acotb nt2n直流0n0分量基波分量n =1變形為：諧波分量n1t)0A cost 2n0ax (t) 02n An .n0 n )華中科技大學機械學院式中:華中科技大學機械學院直流分量a0 1TTan TT2T / 2T /2T / 2T /T /2x(t)dt;x(t)cosn0tdt;正弦分

5、量的幅度 bn T T/x(t)n0tdt;a22n;a22narctg n;an;aT 周 期 ， T=2/0； 0f0= 0 /2華中科技大學機械學院12.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院1tsinnt 是一個完備的正交函數集11由積分可知T2cosn1tnm1 dt 02 T2TT2cosntcosmt m nT12120,m nTT2TT1tsinm1tT 2m n2m n華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院幅度頻率特性和相位頻率特性周期信號可分解為直流，基波（）和各次諧波（n1: 基波角頻率的整數倍） 的線性組合。 n 關系曲線稱為幅度頻譜圖；關系

6、曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵鲱l譜圖。周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性 。華中科技大學機械學院周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院各分量的頻移.Ann )n11n112.2周期信號及其頻譜2.2周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院2華中科技大學機械學院歐拉公式復平面上的一個單位圓上的點，與實軸夾角為時，此點可表示為cos jsin歐拉公式jIm歐拉公式1esinej11cos1ej cos jsinej 1e是自然對數的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e可以用計算方法定義為e lim11 n 2.71828nn華中科技大學機械學院由泰勒級數展開華中科技大學機械學院歐拉公式與三角函數的關系

7、246357cos1246sin 357同樣若ej 展開，可得到ej 1 2!3!44!2 6 3 5 7 124357 cos jsincos eje2sin ejej2j華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院根據歐拉公式，傅立葉級數也可寫成復指數形式：x(t) Cnenjn0t,(n 0,1,2,.)Fjn0tnCF1T /x(t)e jn0t dtn0T/20的線性組合。如給出F(n1)，則f惟一確定ejn1t華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院1兩種系數之間的關系及頻譜圖1Cn F(n0)TT / 2T /xt)ej0tdt利用歐拉

8、公式1T /2TT /x(t)cosn0tdtjTT / 2T /x(t)sinn0tdt 112n1 Cn F(n0) TT / 2T /x(t) cosn0tdt j1T1T / 2T /x(t)sinn0tdt 12njbn 華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院F(n0 F(n0 是復數Cn FF(n0)jnan1n1Cnan1n1Fn0F(n0)jnCnCn 2 b2 2 引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數學推導；An是實函數，Cn一般是復函數，當Cn是實函數時，可用An的正負表示0和相位幅度譜和相位譜合一；華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華

9、中科技大學機械學院11幅頻特性和相頻特性11幅頻特性Cn F (n0 ) 22 b2 2 相頻特性 bn annnarctanannan華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院cn頻譜圖幅值頻譜c1ccn c或0c3離散譜譜線Cn曲線O1n31相位頻譜 n 曲線O131華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院總結周期信號f(t)的傅里葉級數有兩種形式兩種頻譜圖的關系周期信號的頻譜是離散譜，三個性質引入負頻率華中科技大學機械學院周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院1n周期信號f(t)的傅里葉級數有兩種形式1n三角形式f (t) a0an n111c

10、osn tbsinn t =c0cn n1cos(n1t n )指數形式f (t) F(n1nejn1t華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院(2)兩種頻譜圖的關系 ，n 單邊頻譜1C1 ，n 雙邊頻譜Cn2 0C0 A0 a0|CnCn |或F (n0 ) F(n0 )相位頻譜為奇函數nn或(n0 )(n0 )華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院(3)三個性質1收斂性：n ,Fn1諧波性：（離散性），頻率只出現在n1處惟一性：f (t的譜線唯一注意：沖激函數序列的頻譜不滿足收斂性(4)引入負頻率對于雙邊頻譜，負頻率(n1)，只有數學意義，

11、而無物理意義。為什么引入負頻率?f 是實函數，分解成虛指數，必須有共軛對ejn1和jn，才能保證(t的實函數的性質不變。2.2周期信號及其頻譜2.2周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院實驗：方波信號的合成與分解華中科技大學機械學院n1/3/5華中科技大學機械學院實驗：手機和弦鈴聲的合成華中科技大學機械學院華中科技大學機械學院實驗：雙音頻DTMF信令模擬實驗系統(tǒng)華中科技大學機械學院華中科技大學機械學院周期信號的頻譜華中科技大學機械學院工程上習慣將計算結果用圖形方式表示，以fn ( 0)為橫坐標，bn 、an為縱坐標畫圖，稱為實頻虛頻譜圖。圖例圖例華中科技大學機械學院以fn為橫坐標，An、幅值相位

12、譜；華中科技大學機械學院n 為縱坐標畫圖，則稱為華中科技大學機械學院以fA 華中科技大學機械學院為縱坐標畫圖，則稱為nn功率譜。華中科技大學機械學院求周期鋸齒波的三角函數形式的傅里葉級數展開式。華中科技大學機械學院f (t)A T1TT1t11t122 f tA/2T1Aa0 21 t d t 0212122an 121 2 T11t cos n1td t 1 T121A 11bn 112 2 T1tn1tdt(1)nn1n 1,2,3周期鋸齒波的傅里葉級數展開式為f0A sin tA1sin21t 直流基波諧波2.2 周期信號及其頻譜2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院已知f(t1s

13、in1t2cos1t華中科技大學機械學院cos21t 4 請畫出其幅度譜和相位譜。化為余弦形式f (t) 151sin t2cost cost 15114 15 t 0.15) cost 114三角函數形式的傅里葉級數的譜數三角函數形式的頻譜圖c0 10 0ccnc1c02.24c2n0.25 5 2.2361 0.151O11211Oc2 1 20.25 0.15華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院f (t 11 e1t2jej1t化為指數形式21 2t 2jnt eeeeej1tej1te2 14 e14 f (t)111 11 1111 1ej4j21t1j

14、4 e j21t2 j22j22 F (n1n2) ejn1t1指數形式的傅里葉級數的系數1F (0) F1 j0.15 j4112j1F21 2 e1j441F112j 1.12eF1 2 e華中科技大學機械學院譜線華中科技大學機械學院 F (0) 10 0F1 F(11 0.15 F(11 0.15F2 F(21 20.25F2 F(21 0.25指數形式的頻譜圖1nFn 1n0.51.12 11O10.5210.1510.25121 0.25 0.15華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜華中科技大學機械學院三角形式與指數形式的頻譜圖對比三角函數形式的頻譜圖ccnc1c012.24

15、c21n0.251O121O21指數形式的頻譜圖 0.151nFn 1n0.51.12 11O10.521 210.1510.25121 0.25 0.15華中科技大學機械學院2.2 周期信號及其頻譜1三角形式的譜系數華中科技大學機械學院周期方波信號的頻譜f (t)EO2t1f1bn 0,只有a0 , ana0 TT12f(t)dt =TT2Edt ET1 1 T 2121an T2f ()cos()d t =T2E cos(nt )dt12121 2Ensin(n T1) 2Esinn ) T1華中科技大學機械學院2指數形式的譜系數華中科技大學機械學院jn1t1Cn T11f ()edt111=2=T22Eejn1tjn1tdt T12e jn1t212112 E jn1T1e jn1 2 ejn1 2 2Esinn n T1211 Esinn122Sincn 1n12122華中科技大學機械學院3頻譜及其特點華中科技大學機械學院EF(n1)EFn1ET1 Sincn112圖中T 52