MM定理證明過程

1、無稅收條件下的MM定理11 假設(shè)條件假設(shè) 1：無摩擦市場(chǎng)假設(shè)/ 不考慮稅收；/ 公司發(fā)行證券無交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買賣證券支付任何費(fèi)用；/ 無關(guān)聯(lián)交易存在；/ 不管舉債多少，公司和個(gè)人均無破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；/ 產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；/ 資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；/ 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。假設(shè)2： 致預(yù)期假設(shè)/ 所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有

2、信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻 性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資 組合理論衡量。1.2 MM定理第一命題及其推論MM定理第一命題：有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。第一命題的含義：即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)， 而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因 素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法?；A(chǔ)假定：我們假定有兩家公司一公司A和公司B,它們

3、的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司 沒有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說明問題）；B公司的負(fù)債額度是D,假設(shè)該負(fù)債具有永久 性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那 是沒有收入來源且信息不對(duì)稱下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無效）。細(xì)節(jié)假設(shè)：/ B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r （固定值）；/ A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是S和S （固定值）；A B/ A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是r和r （固 A B定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；/ A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EB

4、IT）相同，數(shù)額都為EBIT （隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè) 數(shù)據(jù)點(diǎn)）；/ A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PV和PV （固定值）；AB/ A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MP和MP （固定值）；AB/ A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SE和SE （固定值）。AB注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值?？紤]一個(gè)套利策略：賣出A公司1%的股票；同時(shí)買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定, 但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表 1。表 1 上述套利策略的現(xiàn)金流買入 1%B 股票-0.01* S * MPBB0

5、.01*(EBIT-D*r )買入1%B債券-0.01*D-0.01* D* r凈現(xiàn)金流NC00.01* PV A頭寸即時(shí)現(xiàn)金流未來每年現(xiàn)金流賣出 1%A 股票-0.01*EBIT首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，頭寸即時(shí)現(xiàn)金流未來每年現(xiàn)金流賣出 1%A 股票-0.01*EBITMP 二 PV MP 二 PV / S ; MPA A A B二(PV -D)/S BB再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=O,也就是n MP 二(PV -D)/S BAB由推得：PV二PV，命題證畢。ABMM定理第一命題推論一：債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)

6、益比為k，貝I：1 + k 二(SE + D)/ SE 二 PV / SE 二 PV / SE 二 S / S BBBBABAB將代入得：MP = PV /S = PV /(S (1+ k) = (D + SE )/(S (1+ k) = SE (1+ k)/(S (1+ k) = MP證畢。AA AB BBBBBBMM定理第一命題推論二：股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A公司的股票預(yù)期收益率小于B公 司的股票的預(yù)期收益率。證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率(RDA)和股東權(quán)益比率(REA)分別為：由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分

7、派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率r和r分別滿足：A B同時(shí)EBIT r *PV，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股 票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：EBIT - r * DEBIT - r * DEBITEBIT - r * DEBIT - r * DEBITEBITEBITSEPV - DPVPVS * MP證畢。MM 定理第一命題推論三： 股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票

8、之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降 證明：A、B兩公司每股盈利分別為：EBIT;EEBIT;E(EBIT - R * D)S將代入的第二式得：(EBIT - R * D) _(l+ k)(EBIT - R * D)k * EBIT (1+ k)* R * D TOC o 1-5 h z E E +BSSASBAA由于 EBIT r * PV ，再將前面 RDA 定義式代入，可以推得： BBkEBITk * EBIT - (1+ k)* R * D 二(1+ k)(EBIT - R * D)二(1+ k)* D(- r) 0 1 + kPVB由得：Eb Ea，證畢。注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺

9、得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過程。1.3 MM定理第二命題及其推論MM定理第二命題：公司加權(quán)平均資本成本(WACC )與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACC二rA ASEDEBITEBITWACC = r B + r = r ，證畢。B B PVPVPVPVA 5肛十BBBAMM定理第二命題推論：有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。(是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵)證明：由(重新編號(hào))得：PV r*PV r*DDr = Br

10、 一 = r +b SE a SE a SEBBB(rA 一 )= rA + k(rA 一 )證畢。有稅收條件下的MM定理假設(shè)條件考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。MM定理第一命題及其推論MM定理第一命題：在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng) 價(jià)值。證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T (固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的)，那么兩公司的稅后收益 (EAT )分別為：EAT = (1-T )*( EBIT -r*D)+r*D =(1-T)* EBIT +T*r*D EAT ，證畢。BA其中T

11、* r * D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠 桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT 僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆]有負(fù)債的公司舉債時(shí)， 政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T * r是政府買單的(機(jī)會(huì)成本的角度講)， 而公司舉債的成本僅是(1-T)* r，這是從金融的角度或者說機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一

12、樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下 A、B 兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：PV/ = PV PV/ = PV (1 T)(1BB-r*) + D = PV / + D(1EBITa(1T)r*PVBEBIT)PV / A(1T)r*PV其中D(1EBIT B)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。MM 定理第一命題推論一： 在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅 收時(shí) MM 定理的命題一的推論二仍然成立。證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：EBIT (1T) EBIT (1T ) EBIT (1T) TOC o 1-

13、5 h z r / = r A S *MP/PV /(1 T )PVAAAAA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和(重新編號(hào))得B公司股票的預(yù)期收益率為:(EBIT rD)(1 T) + rD (EBIT(EBIT rD)(1 T) + rD (EBIT rD)(1 T) + rD (EBIT rD)(1 T) + rDEBIT rD +rD1 T再由得：S * MP /PV / DPV / (1 T)* rD * PVEBITBPV (1rDEBIT)rDrDrDPV (1 T)(1)aEBIT由于EBlBD (盈利足夠付利息保證不破產(chǎn))故rB rA 證畢。MM定理第一命題推論二：考慮稅收

14、情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收 MM定理命題一推論三仍然成立。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：巧 _ (1 T)EBIT . 口 _ (1 T)(EBIT rD) + rD 匕/ =；匕/ =A SBA將第一部分第一命題推論一下面的代入得：TrD + k (1- T)(EBIT rD) + rD E/因 EBITrD,TrD + k (1- T)(EBIT rD) + rD E/因 EBITrD,故AE / 二二 E / +BSA上不等式成立，證畢。MM定理第一命題推論三：在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。(證略)根據(jù)capm模型，有稅收后的貝苔系數(shù)卩/和無稅收情況下的貝苔系數(shù)卩的關(guān)系為卩/ = P(1+(1-T)SE)(證明從略)，由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出WACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM 定理第一命題推論四： 在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng) 險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜(證明如)。(1T)(1T)注：一個(gè)延伸，PV/二PV + (1c l)D，T表示企業(yè)