偏微分方程求解

1、關(guān)于偏微分方程求解第1頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四基礎(chǔ)知識(shí)預(yù)習(xí)微分方程的求解包含：常微分方程的求解（上節(jié)課已經(jīng)講過）這里不再贅述。：偏微分方程的求解（本次教學(xué)內(nèi)容）第2頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四偏微分方程概念偏微分方程（Partial Differential Equation，簡稱PDE）指含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程。描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個(gè)解而且涉及額外的邊界條件。常微分方程：在微分方程中，若自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程。偏微分方程：自變量的個(gè)數(shù)有兩

2、個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程。第3頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四求解偏微分方程的方法求解偏微分方程的數(shù)值方法：1. 有限元法（Finite Element Method, FEM）- hp-FEM2. 有限體積法（Finite Volume Method, FVM）3. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其它：廣義有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、擴(kuò)展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、無網(wǎng)格有限元法（Meshfree Fini

3、te Element Method）、離散迦遼金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。第4頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四MATLAB解偏微分方程MATLAB提供了兩種方法解決PDE 問題：pdepe()函數(shù)，它可以求解一般的PDEs，具有較大的通用性，但只支持命令行形式調(diào)用。PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 問題，PDEtool 有較大的局限性，比如只能求解二階PDE 問題，并且不能解決偏微分方程組，但是它提供了GUI界面，從繁雜的編程中解脫出來了，同時(shí)還可以通過File-Save As

4、直接生成M代碼使用pdeval()直接計(jì)算某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值？第5頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四一般偏微分方程組(PDEs)的MATLAB求解直接求解一般偏微分方程(組)，它的調(diào)用格式為sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t)問題描述函數(shù)初值條件邊界條件輸出參數(shù)自變量參數(shù)第6頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四【輸入?yún)?shù)】（1）pdefun：是PDE 的問題描述函數(shù)，它必須換成下面的標(biāo)準(zhǔn)形式PDE 就可以編寫下面的入口函數(shù)c,f,s=pdefun(x,t,u,du)m,x,t就是對(duì)應(yīng)于(式1)中相關(guān)參數(shù)和自變量，du是u的

5、一階導(dǎo)數(shù)，由給定的輸入變量即可表示出出c,f,s這三個(gè)函數(shù)第7頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四【輸入?yún)?shù)】（2）pdeic：是PDE 的初值條件，必須化為下面的形式我們使用下面的簡單的函數(shù)來描述為u0=pdeic(x)第8頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四【輸入?yún)?shù)】（3）pdebc：是PDE的邊界條件描述函數(shù)，必須先化為下面的形式于是邊值條件可以編寫下面函數(shù)描述為pa,qa,pb,qb=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下邊界，b 表示下邊界第9頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四【輸入?yún)?shù)】（4）m：就是對(duì)應(yīng)于(式1

6、)中相關(guān)參數(shù)x,t：就是對(duì)應(yīng)于(式1)中自變量第10頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四【輸出參數(shù)】sol：是一個(gè)三維數(shù)組，sol(:,:,i)表示ui的解，換句話說uk對(duì)應(yīng)x(i)和t(j)時(shí)的解為sol(i,j,k)第11頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四實(shí)例講解（題目）例：第12頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四初值條件邊界條件第13頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四實(shí)例講解（解法）【解】第一步根據(jù)（1）對(duì)照給出的偏微分方程，則原方程可以改寫為第14頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期

7、四輸入?yún)?shù)（1）目標(biāo)PDE函數(shù)% 目標(biāo)PDE函數(shù)function c,f,s=pdefun (x,t,u,du)c=1;1;f=0.024*du(1);0.17*du(2);temp=u(1)-u(2);s=-1;1.*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp);第15頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四輸入?yún)?shù)（2）初值條件初值條件改寫為% 初值條件函數(shù)function u0=pdeic(x)u0=1;0;第16頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四輸入?yún)?shù)（3）邊界條件邊界條件改寫為% 邊界條件函數(shù)function pa,qa,p

8、b,qb=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)%a表示左邊界，b表示右邊界pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;第17頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四（4）主調(diào)函數(shù)clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t);figure(numbertitle,off,name,PDE Demoby Matlabsky)%創(chuàng)建個(gè)窗口，窗口名字是name后邊的名字NumberTitle,off是關(guān)掉默認(rèn)顯示名字。subplot(211)surf(x,t,sol(

9、:,:,1)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_1)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_2)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)第18頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四第19頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四PDEtool求解特殊PDE問題MATLAB的偏微分工具箱(PDE toolbox)可以比較規(guī)范的求解各種常見的二階偏微分

10、方程(特殊二階的PDE)第20頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四典型偏微分方程的描述 第21頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 第22頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 （3）雙曲線型偏微分方程的一般形式 第23頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 （4）特征值型偏微分方程的一般形式，注 意它是（1）的變形，不能算獨(dú)立的一類 第24頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四MATLAB 采用有限元的方法求解各種PDEMATLAB 為我們提供一個(gè)pdetool (在command window 中

11、鍵輸pdetool打開)的交互界面，可以求解二元偏微分u(x1,x2)(注意只能求解二元)。方程的參數(shù)由a、c、d和f確定，求解域由圖形確定，求解域確定好后，需要對(duì)求解域進(jìn)行柵格化(這個(gè)是自動(dòng))。第25頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 第26頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 第27頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四偏微分方程邊界條件的描述Dirichlet(狄利克萊)條件Neumann(紐曼)條件第28頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 第29頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 第

12、30頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四求解實(shí)例 第31頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四【解】由給定的PDE，可以得出d=1,c=1,a=2,f=10第32頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四step1:點(diǎn)擊工具欄的【PDE】按鈕，如下輸入PDE的參數(shù)，注意選擇Hyperbolic 第33頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四step2:繪制求解域?qū)ψ鴺?biāo)軸的操作可以在【Options】主菜單中操作，包括設(shè)置網(wǎng)格、坐標(biāo)系范圍等(1)【Options】-Axis Limits設(shè)置如下第34頁，共46頁，2022年，5

13、月20日，8點(diǎn)44分，星期四 第35頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 (2)點(diǎn)擊工具欄上的第三個(gè)按鈕【繪制橢圓】，任意繪制一個(gè)橢圓，雙擊橢圓，設(shè)置如下 第36頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四重復(fù)上面的操作，參數(shù)如下 第37頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四得到 第38頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 (3)在set formula 中如下輸入，“+”表示求并集，“-”表示求差集，注意沒有直接求交接的操作符第39頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四step3:邊界條件和初值條件初值條

14、件可以通過【Solve】-【Parameters】設(shè)置邊值條件設(shè)置如下(1)點(diǎn)擊工具欄的第6 個(gè)按鈕【區(qū)域邊界】，顯示如下第40頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 (2)【Boundary】-【Remove All Subdomain Borders】移除所有子域的邊界，將得到所有子域合并成一個(gè)求解域(3) 【Boundary】-【Secify Boundary Conditons】設(shè)置邊界如下，注意我們這里只有Dirichlet條件第41頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四step4:生成使用有限元方法求解方程所需的柵格點(diǎn)擊工具欄的第8/9 個(gè)按鈕，

15、對(duì)求解域生成柵格，多次點(diǎn)擊可以在原來基礎(chǔ)上繼續(xù)細(xì)化柵格，直到自己覺得滿意為止，當(dāng)然可以通過【Mesh】主菜單進(jìn)行精確控制第42頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四 step5:求解方程點(diǎn)解工具欄的第10 個(gè)按鈕“=”【求解方程】 step6:求解結(jié)果繪圖 點(diǎn)擊第11 個(gè)按鈕【繪制圖形】，里面的選項(xiàng)很豐富，可以繪制等高線等好多，甚至播放動(dòng)畫，具體大家可以自己慢慢摸索第43頁，共46頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)44分，星期四動(dòng)畫播放設(shè)置：(1)【Solve】-【Parameters】設(shè)置合適的時(shí)間向量Time(2)【Plot】-【Parameters】選中【Animation】，點(diǎn)擊后面的【Options】，設(shè)置播放速度和次數(shù)，比如6fps表示