高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)) 第一章教案

1、第一章：函數(shù)、極限與連續(xù)62第一節(jié)：集合與函數(shù)一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母 、B、C、表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母 、b、表示集合中的元素。如果 a 是集合 A中的元素，就說(shuō) a 屬于 ，記作：，否則就說(shuō) a 不屬于 ，記作：a 。、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作 N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作 N 或 N 。+、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作 Z。、

2、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作 。、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作 R。集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“”括起來(lái)表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來(lái)表示集合。集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合 、B，如果集合 A中的任意一個(gè)元素都是集合 B 的元素，我們就說(shuō) 、B 有包含關(guān)B（或 B）。系，稱(chēng)集合 A為集合 B 的子集，記作 A相等：如何集合 A是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A的子集，此時(shí)集合 A中的元素與集合 B 中的元素完全一樣，因此集合 A與集合 B 相等，記作 B。、真子集：如何集合 A是集合 B 的子集，但存在一個(gè)元素屬

3、于 B 但不屬于 ，我們稱(chēng)集合 A是集合 B 的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即 AA、對(duì)于集合 、B、C，如果 A是 B 的子集，B 是 C 的子集，則 A是 C 的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算 A或?qū)儆诩?B 的元素組成的集合稱(chēng)為 A與 B B它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 Bx|x，或 B。、交集：一般地，由所有屬于集合 A且屬于集合 B 的元素組成的集合稱(chēng)為 A與 B 的交集。

4、記作 B。即 Bx|x，且 B。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集。通常記作 。補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合 ，由全集 U 中不屬于集合 A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合 A相對(duì)于全集 U 的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱(chēng)為集合 A的補(bǔ)集，記作 C 。U即 C ，且 x。U集合中元素的個(gè)數(shù)、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。、用 card 來(lái)表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如 a,b,c，則 card(A)=3。、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合 、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)我的問(wèn)題：1、學(xué)

5、校里開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè) x|x是參加一百米跑的同學(xué)，Bx|x是參加二百米跑的同學(xué)，Cx|x是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。、B；、B。2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C(x,y)|y=x表示直線 ，從這個(gè)角度看，集合 D=(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合 C、D 之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言說(shuō)明這種關(guān)系。3、已知集合 3，Bx|(x-1)(x-a)=0。試判斷 B 是不是 A的子集？是否存在實(shí)數(shù) a 使 B 成立？4、對(duì)于有限集合 、B、C，能不能找出這三個(gè)集合中元素

6、個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無(wú)限集合123nB24682n，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？2、區(qū)間、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不起變化，我們把其稱(chēng)之為常量；有的量在過(guò)程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱(chēng)之為變量。注：在過(guò)程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來(lái)表示其變化范圍。在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱(chēng)閉區(qū)間區(qū)間的滿(mǎn)足的不等式axb區(qū)間的記號(hào)a，b區(qū)間

7、在數(shù)軸上的表示開(kāi)區(qū)間axb（a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間：a，+)：表示不小于a 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+；(-，b)：表示小于b 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-xb；(-，+)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-x+注：其中-和+，分別讀作負(fù)無(wú)窮大和正無(wú)窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。、鄰域：設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0.滿(mǎn)足不等式x- 的實(shí)數(shù)x 的全體稱(chēng)為點(diǎn) 的 鄰域，點(diǎn) 稱(chēng)為此鄰域的中心， 稱(chēng)為此鄰域的半徑。3、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是 u 的函數(shù)y=f(u)，而u 又是x u=(x)，且u=(x)的函數(shù)值的全部或部分在 f(u)的定義域 通過(guò)u 的聯(lián)系也是x 的

8、函數(shù)，我們稱(chēng)后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)及 復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)，記作y)，其中 u 叫做中間變量。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。2例題：函數(shù)y=arcsinx 與函數(shù)u=2+x 是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。2因?yàn)閷?duì)于 u=2+x 的定義域(-,+)中的任何x 值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于 2），使 y=arcsinu 都沒(méi)有定義。4、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來(lái)把它們總結(jié)一下：a):其圖形總位于y b):當(dāng) 時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+)

9、的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.a):當(dāng) m 為偶數(shù)n 是偶函數(shù);b):當(dāng) m,n 都是奇數(shù)時(shí),y c):當(dāng) m奇 n 在(-,0)無(wú)意義.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù).5、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)（補(bǔ)充）、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來(lái)描述)函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)名稱(chēng)a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)；a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是奇函數(shù)；y=1及y=-1之間；在定

10、域內(nèi)單調(diào)增；課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了集合概念與函數(shù)概念2、掌握復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)計(jì)算方法。作業(yè)：P9.1,7,8第二節(jié)：數(shù)列的極限1、引入、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a，第二個(gè)數(shù)a，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確21定的數(shù)a，那末，我們稱(chēng)這列有次序的數(shù)a，a，a，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)a叫做數(shù)列的nn12n一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列a看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：a=n，它的定義域是全體正整數(shù)n、極限：極限的概念是求實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過(guò)作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記

11、為A；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A；再作圓的內(nèi)接正二21A62 邊形的面積記為A3n123An，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，An也無(wú)限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為數(shù)列A，A，A，An， 當(dāng)n(讀作n趨近于無(wú)窮大)的極限。312注：上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。2、數(shù)列極限的概念（1）、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列x，來(lái)說(shuō)，若存在任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整312n數(shù)N，使得對(duì)于時(shí)的一切x不等式n都成立，那末就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列x的極限，或者稱(chēng)數(shù)x收斂于a .nn記作：或注：此

12、定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出x與a無(wú)限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與n任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。數(shù)列x極限為a的一個(gè)幾何解釋?zhuān)簩⒊?shù)a及數(shù)列x在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)an123n的鄰域即開(kāi)區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示：因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)nN時(shí)，所有的點(diǎn)x都落在開(kāi)區(qū)間(a-，a+)內(nèi)，而只有有n限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，-1，1，-1，(-1) ， 是有界的，但它是發(fā)散的。3、數(shù)列極限的計(jì)算（課本例子）課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了數(shù)

13、列極限概念2、掌握數(shù)列極限運(yùn)算方法。作業(yè)：P15.2第三節(jié)：函數(shù)極限的定義域計(jì)算前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類(lèi)特殊的函數(shù)，即自變量取 1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無(wú)限增大；b)：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x，如果在這時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一0常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!1、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式的一切x，那末常數(shù)A就叫

14、做函數(shù)y=f(x)當(dāng)x時(shí)的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：數(shù)列的極限的定義存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合 的一切x，都滿(mǎn)足n整數(shù)N，對(duì)于的所有a 都滿(mǎn)足nn，函數(shù)當(dāng)x時(shí)的極限為A，記：從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？試思考之b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來(lái)看一個(gè)例子.例：函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無(wú)定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出,如下圖:注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙x的過(guò)程，與x=x出的情況無(wú)關(guān)。此定義

15、的核心問(wèn)題00是：對(duì)給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿(mǎn)足不等式。有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？a):先任取0；b):寫(xiě)出不等式；c):解不等式能否得出去心鄰域0，若能；d):則對(duì)于任給的0，總能找出，當(dāng)02、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則時(shí)，成立，因此前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知xxx)時(shí)，0.則：推論：在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。例題：求解答：例題：求種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來(lái)

16、。解答：注：通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒(méi)有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。3、左右極限定義定義：如果x僅從左側(cè)(xxx時(shí)，函數(shù)與常量A無(wú)限接近，則稱(chēng)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記：00如果 x 僅從右側(cè)(xx)趨近x 與常量 A A 為函數(shù)當(dāng)00注：只有當(dāng)xx 時(shí)，函數(shù) 的左、右極限存在且相等，方稱(chēng) 在 xx 時(shí)有極限00第四節(jié)：極限性質(zhì)1、數(shù)列極限的性質(zhì)nnnnbababa222babax x 22nnnn不等式 x 則稱(chēng)數(shù)列x 是有界的 如果這樣的正數(shù) M不存在，就說(shuō)數(shù)列x 是無(wú)界的nnn定理 收斂數(shù)列的有界性)

17、 x 收斂 那么數(shù)列x 一定有界nn證明 設(shè)數(shù)列x 收斂 且收斂于a 根據(jù)數(shù)列極限的定義 對(duì)于 存在正整數(shù) 使對(duì)于nN 時(shí)的一切 x 不等式nnx a1 都成立 于是當(dāng) nN 時(shí)nx x a)a|x aaannn12Nnnn這就證明了數(shù)列x 是有界的n定理 3（收斂數(shù)列的保號(hào)性) x 收斂于 a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù) N 當(dāng) nN 時(shí) 有 x 或 x 0)nnn, NN , 當(dāng) nN 時(shí) 有nnnnnn證明 就 x 0 情形證明 x 從 N 項(xiàng)起 即當(dāng)nN 時(shí)有x 0 現(xiàn)在用反證法證明 或 a0 則由定理3 知 N N , 當(dāng)nn11n2nN 時(shí) 有 x 0 取 NmaxN N

18、當(dāng) nN 時(shí) 按假定有x 0 按定理3 有 x 0 所以必有 a0. 2n12nn在數(shù)列x 中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列x 的子數(shù)列nn例如 數(shù)列x 111 (1) 的一子數(shù)列為x 1 1 (1)2n1 n1n關(guān)系) 如果數(shù)列x 收斂于a 那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是 a nnnkx因?yàn)閿?shù)列x 收斂于 a 所以 0 NN 當(dāng) nN 時(shí) 有x a取 KN 則當(dāng) K 時(shí) n KN 于是|+nnknk2、函數(shù)極限的性質(zhì)lim f()定理 函數(shù)極限的唯一性)如果極限定理 函數(shù)極限的局部有界性) 如果 f()A(x ) 那么存在常數(shù)0 和 使得

19、當(dāng)0 x 時(shí) 有f()|00當(dāng) 0 x 時(shí) 有f()A00于是 f()|f()AAf()AA1A| 這就證明了在 x 的去心鄰域x| x 內(nèi)f()是有界的00定理 函數(shù)極限的局部保號(hào)性) 如果 f()A(x ) 而且 A或 A0) 那么存在常數(shù)0 使當(dāng) 0 x 時(shí) 有 f()0(或00f()0)0000證明 設(shè)f()0 假設(shè)上述論斷不成立 即設(shè)A0 那么由定理1就有x 的某一去心鄰域 在該鄰域內(nèi) f()0 這與f()0的假0如果當(dāng)x 時(shí)f()的極限存在 x 為f()的定義域內(nèi)任一收斂于x 的數(shù)列 且滿(mǎn)足x x (nN ) 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f(x )000nn則當(dāng)0 x | 時(shí) 有f()A0

20、00Nx x (N )n0n0n0nnn第五節(jié)：兩個(gè)重要的極限1、準(zhǔn)則 I如果數(shù)列x 、y 及z 滿(mǎn)足下列條件nnnn(2)nnnnnnnn11nny a 又 N 0 當(dāng) nN 時(shí) 有z a 現(xiàn)取 NN N 則當(dāng) nN 有n22n12y a z ann同時(shí)成立 即ay a az annnanxz annnn簡(jiǎn)要證明 由條件(2) 0y a 及z aN0 當(dāng)nN 有nnay a az annxnlimx ann要求函數(shù)在x 的某一去心鄰域內(nèi)有定義要求函數(shù)當(dāng)xM0 xx2ABSSAOD1xOx1x2limcosx1 根據(jù)準(zhǔn)則 I limxx0 x0sinx1(此不等式當(dāng)0 時(shí)也成立)xlimcos

21、x1 根據(jù)準(zhǔn)則 I limxx0 x0sin()()sin()()lim中 只要()是無(wú)窮小 就有sin()()lim這是因?yàn)?令 u() 則 uusin()()1 limxxlimlimxxx1cosxx22 xx022sin2 lim2x2 12x如果數(shù)列x 滿(mǎn)足條件xxxxx 就稱(chēng)數(shù)列x 是單調(diào)增加的 如果數(shù)列x 滿(mǎn)足條件xn nn123nxxxx123n在第三節(jié)中曾證明 收斂的數(shù)列一定有界 但那時(shí)也曾指出 有界的數(shù)列不一定收斂 現(xiàn)在準(zhǔn)則 II 表明 如果數(shù)列不僅有界 并且是單調(diào)的 那么這數(shù)列的極限必定存在 也就是這數(shù)列一定收斂準(zhǔn)則 II的幾何解釋或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn) Ann1 現(xiàn)證明

22、數(shù)列x 是單調(diào)有界的nnnn有1n 1 (n 1 (nn 1 n!nn112112)nn!nnn11112112)112n)x的展開(kāi)式 可以看出除前兩項(xiàng)外并且x 還多了最后一項(xiàng)n因?yàn)?x 的展開(kāi)式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1 代替nn11!11232122根據(jù)準(zhǔn)則 II 數(shù)列x 這個(gè)極限我們用 e 來(lái)表示 即nlim ) ennx e 是個(gè)無(wú)理數(shù) 它的值是 2 x11( e(x) (x) 中 只要()是無(wú)窮小 就有u() lim ) e lim ) eu x u( e() 0)1lim )x1lim ) ) limx1xtttt)xxxx第六節(jié)：無(wú)窮小與無(wú)窮大1、無(wú)窮小如果函數(shù) f()當(dāng) x

23、(或 )時(shí)的極限為零 那么稱(chēng)函數(shù) ()為當(dāng) x (或 )時(shí)的無(wú)窮小 特別地 以零為極限的00數(shù)列x 稱(chēng)為 n時(shí)的無(wú)窮小n11 所以函數(shù) 為當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小xxxx1為當(dāng) n時(shí)的無(wú)窮小很小很小的數(shù)只要它不是零 作為常數(shù)函0數(shù)在自變量的任何變化過(guò)程中定理 1 在自變量的同一變化過(guò)程x (或 )中 函數(shù) f()具有極限 A 的充分必要條件是f()A 其中是無(wú)窮0使當(dāng)0 x 時(shí) 有f()A0令f()A 則是 x 時(shí)的無(wú)窮小 且 f()A 這就證明了 f()等于它的極限 A與一個(gè)無(wú)窮小之和0反之 設(shè) f()A 其中 A 是常數(shù) 是 x 時(shí)的無(wú)窮小 于是f()A0因是 x 時(shí)的無(wú)窮小使當(dāng)0 x 有 或f()

24、A這就證明了 A 是 f() 當(dāng) xx 時(shí)的極000令f()A 則f()A|使當(dāng) 0 x 有 f()A 就有使當(dāng)0 x 有就有 f()A則是x 時(shí)的無(wú)窮小類(lèi)似地可證明時(shí)的情形1x 1111x 133023xx如果當(dāng) x (或 )時(shí) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值f()|無(wú)限增大 就稱(chēng)函數(shù) f()為當(dāng) x (或 )時(shí)的無(wú)窮大00(或x應(yīng)注意的問(wèn)題 當(dāng)x 或)時(shí)為無(wú)窮大的函數(shù)f() 按函數(shù)極限定義來(lái)說(shuō) 極限是不存在的 但為了便于敘述函數(shù)0(或xlim f()x0 0 當(dāng)0 x 時(shí) 有f(x)|0 f() f()(x)1limx1x11當(dāng) 01| 時(shí)M1|x11limx1x1111M1x0是函數(shù)f()的圖形的

25、鉛直漸近線y 直線x1是函數(shù)為無(wú)窮小 反之 如果f()11lim f()0 xx0 x 0 當(dāng) 0 時(shí)MM00f()01|Mf()11M x為x 時(shí)的無(wú)窮大 那么對(duì)于 0當(dāng)0f()1|連續(xù)性1、連續(xù)的概念在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量設(shè)變量 x 從它的一個(gè)初值x 變到終值x ，終值與初值的差x -x 就叫做變量 x 的增量，記為：x 即：x=x-x 增量x122121 在點(diǎn) x x 在領(lǐng)域內(nèi)從x 變到 x+x y 相應(yīng)地從 f(x )000現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)x 趨向于零時(shí)，函數(shù)y 對(duì)應(yīng)的增量y 也趨向于零，即：0000下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)

26、學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果= ，那末我們就稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) b左連續(xù).設(shè)函數(shù) 在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，= f(a)，那末我們就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) a 右連續(xù).一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a 點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)。通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題：函數(shù)的間斷點(diǎn)a)：在 x 無(wú)定義；0b)：在 xx 時(shí)無(wú)極限；0c)：在 xx 時(shí)有極限但不等于f(x0)；0下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類(lèi)型

27、：例 1： 正切函數(shù) y=tanx在 x=/2 是函數(shù) y=tanx為函數(shù) y=tanx 的無(wú)窮間斷點(diǎn)； x=/2例 2：函數(shù)y=sin(1/x)在點(diǎn)x=0 處沒(méi)有定義；故當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù)值在-1 之間變動(dòng)無(wú)限多次，我們就稱(chēng)點(diǎn)x=0 叫做函數(shù) y=sin(1/x)的振蕩間斷點(diǎn)；例 當(dāng) x0 時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn) x=0 是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0 時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來(lái)如下:3、間斷點(diǎn)的分類(lèi)我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果x 是函數(shù) 的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x 稱(chēng)為函數(shù) 的第一類(lèi)間斷00點(diǎn)；