高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：3.8《正弦定理和余弦定理的應(yīng)用》(含詳解)

1、第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解三角形及其應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫作仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫作俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角方位角的范圍是(0，360)正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)度例：(1)北偏東m：(2)南偏西n：坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為，坡度為i，則ieq f(h,l)tan_坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比易誤

2、提醒易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向與目標(biāo)方向線按順時(shí)針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角自測(cè)練習(xí)1若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60，且ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15B北偏西15C北偏東10 D北偏西10解析：如圖所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15.答案：B2江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距_m.解析：如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30e

3、q f(r(3),3)3010eq r(3)(m)，在MON中，由余弦定理得，MNeq r(90030023010r(3)f(r(3),2)eq r(300)10eq r(3)(m)答案：10eq r(3)3如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8eq r(2)n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：設(shè)航速為v n mile/h，在ABS中ABeq f(1,2)v，BS8eq r(2)，BSA45，由正弦定理得eq f(8r(2),sin 30)eq f

4、(f(1,2)v,sin 45)，則v32.答案：32考點(diǎn)一測(cè)量距離問(wèn)題|(2014濟(jì)南調(diào)研)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3eq r(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20eq r(3) 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意知AB5(3eq r(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理，得eq f(DB,sinDAB)eq f(AB,sinADB)，DBeq f(ABsin

5、DAB,sinADB)eq f(53r(3)sin 45,sin 105)eq f(53r(3)sin 45,sin 45cos 60cos 45sin 60)eq f(5r(3)r(3)1,f(r(3)1,2)10eq r(3)(海里)，又DBCDBAABC60，BC20eq r(3)(海里)在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210eq r(3)20eq r(3)eq f(1,2)900.CD30(海里)則需要的時(shí)間teq f(30,30)1(小時(shí))求距離問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；

6、若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理1如圖，A、C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時(shí)從A島出發(fā)，以10海里/小時(shí)的速度沿北偏東75方向直線航行，下午1時(shí)到達(dá)B處然后以同樣的速度沿北偏東15方向直線航行，下午4時(shí)到達(dá)C島(1)求A、C兩島之間的距離；(2)求BAC的正弦值解：(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得AC250230225030cos 1204 900，所以AC70(海里)故A、C兩島之間的距離是70海里(2)在ABC中

7、，由正弦定理，得eq f(BC,sinBAC)eq f(AC,sinABC)，所以sinBACeq f(BCsinABC,AC)eq f(30sin 120,70)eq f(3r(3),14).故BAC的正弦值是eq f(3r(3),14).考點(diǎn)二測(cè)量高度問(wèn)題|如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.解析在RtABC中，AC100eq r(2) m，在MAC中，由正弦定理得eq f(MA,sin 60)eq f(AC,sin 45)，解得MA100

8、eq r(3) m，在RtMNA中，MNMAsin 60150 m.即山高M(jìn)N為150 m.答案150求解高度問(wèn)題應(yīng)注意(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫(huà)出示意圖(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用 2.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30，并測(cè)得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為()A10eq r(2) m B20 mC20eq r(3) m D40 m解析：設(shè)電視塔

9、的高度為x m，則BCx，BDeq r(3)x.在BCD中，根據(jù)余弦定理得3x2x2402240 xcos 120，即x220 x8000，解得x20(舍去)或x40.故電視塔的高度為40 m.答案：D考點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題|在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向、距離A處(eq r(3)1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10eq r(3)海里/小時(shí)的速度追截走私船同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？解如圖，設(shè)緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船，則有CD10eq r(3)t，BD

10、10t.在ABC中，ABeq r(3)1，AC2，BAC120.利用余弦定理可得BCeq r(6).由正弦定理，得sinABCeq f(AC,BC)sinBACeq f(2,r(6)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)，ABC45，因此BC與正北方向垂直于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCDeq f(BDsinCBD,CD)eq f(10tsin 120,10r(3)t)eq f(1,2)，得BCD30，又eq f(CD,sin 120)eq f(BC,sin 30)，即eq f(10r(3)t,r(3)eq r(6)，得teq f(r(6),10).所以當(dāng)緝私船

11、沿東偏北30的方向能最快追上走私船，最少要花eq f(r(6),10)小時(shí)解決測(cè)量角度問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)明確方位角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用 3.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解：在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos

12、 1202 800BC20eq r(7).由正弦定理，得eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinBAC)sinACBeq f(AB,BC)sinBACeq f(r(21),7).由BAC120，知ACB為銳角，則cosACBeq f(2r(7),7).由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30eq f(r(21),14).12.函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用【典例】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)

13、該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由思路點(diǎn)撥(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時(shí)間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題(2)注意t的取值范圍規(guī)范解答(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則Seq r(900t2400230t20cos9030)eq r(900t2600t400)eq r(900blc(rc)(avs4alco1(tf(1,3

14、)2300).故當(dāng)teq f(1,3)時(shí)，Smin10eq r(3)，veq f(10r(3),f(1,3)30eq r(3).即小艇以30eq r(3)海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)如圖，設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900eq f(600,t)eq f(400,t2).0v30，900eq f(600,t)eq f(400,t2)900，即eq f(2,t2)eq f(3,t)0，解得teq f(2,3).又teq f(2,3)時(shí)，v30，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于eq f(2,3).此時(shí)，在OAB中

15、，有OAOBAB20.故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/小時(shí)思想點(diǎn)評(píng)(1)三角形中的最值問(wèn)題，可利用正、余弦定理建立函數(shù)模型(或三角函數(shù)模型)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題(2)求最值時(shí)要注意自變量的范圍，要考慮問(wèn)題的實(shí)際意義.A組考點(diǎn)能力演練1如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A50eq r(2) m B50eq r(3) mC25eq r(2) m D.eq f(25r(2),2) m解析：本題考查正弦定理依題意與正弦定理得eq f(AC,sin

16、B)eq f(AB,sin C)，ABeq f(ACsin C,sin B)eq f(50sin 45,sin18045105)50eq r(2) m，故選A.答案：A2在一條東西走向的水平公路的北側(cè)遠(yuǎn)處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上為測(cè)量該塔的高度，測(cè)量人員在公路上選擇了A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A處測(cè)得該塔底部C在西偏北的方向上；在B處測(cè)得該塔底部C在西偏北的方向上，并測(cè)得塔頂D的仰角為.已知ABa,0eq f(,2)，則此塔的高CD為()A.eq f(asin,sin )tan B.eq f(asin ,sin)tan C.eq f(asinsin ,sin )tan D.eq f

17、(asin sin ,sin)tan 解析：本題考查正弦定理依題意得，在ABC中，CAB，ACB，由正弦定理得eq f(AB,sin)eq f(BC,sin)，BCeq f(asin ,sin)；在BCD中，CBD，CDBCtan eq f(asin ,sin)tan ，故選B.答案：B3如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(eq r(3)1) m B180(eq r(2)1) mC120(eq r(3)1) m D30(eq r(3)1) m解析：tan 15tan(6045)eq f(tan 60tan

18、 45,1tan 60tan 45)2eq r(3)，BC60tan 6060tan 15120(eq r(3)1)(m)，故選C.答案：C4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為()A8 km/h B6eq r(2) km/hC2eq r(34) km/h D10 km/h解析：設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin eq f(0.6,1)eq f(3,5)，從而cos eq f(4,

19、5)，所以由余弦定理得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)v)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)2)2122eq f(1,10)21eq f(4,5)，解得v6eq r(2).選B.答案：B5.(南昌模擬)如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東30角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，sin 的值為()A.eq f(r(21),7) B.eq f(r(2),2)C.eq f(r(3),2) D.eq f(5r(7),14)解

20、析：連接BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10eq r(7)，再由正弦定理，得eq f(BC,sinBAC)eq f(AB,sin )，sin eq f(r(21),7).答案：A6(濰坊調(diào)研)為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得BDC45，則塔AB的高是_米解析：在BCD中，由正弦定理，得eq f(BC,sinBDC)eq f(CD,sinDBC)，解得BC10eq r(2)米，在RtABC中，塔AB的高是

21、10eq r(6)米答案：10eq r(6)7如圖，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測(cè)站A距離20eq r(2)海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北(045)的C處，且cos eq f(4,5).已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為_(kāi)海里/小時(shí)解析：本題考查解三角形知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用利用余弦定理求解在ABC中，AB20eq r(2)，AC10，BAC45，又cos(45)eq f(r(2),2)eq f(4,5)eq f(r(2),2)eq f(3,5)eq f(7r(2),10)，由余弦定理可得BC2(20eq r(2)

22、2102220eq r(2)10eq f(7r(2),10)340，所以BC2eq r(85).又行駛時(shí)間是eq f(1,2)小時(shí)，所以該貨船的速度為eq f(2r(85),f(1,2)4eq r(85)海里/小時(shí)答案：4eq r(85)8如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C可以觀察到點(diǎn)A、B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從點(diǎn)D可以觀察到點(diǎn)A、C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從點(diǎn)E可以觀察到點(diǎn)B、C.并測(cè)量得到一些數(shù)據(jù)：CD2，CE2eq r(3)，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，則A、B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi).eq blc(rc)(avs4alco1(其中cos

23、48.19取近似值f(2,3)解析：依題意知，在ACD中，A30，由正弦定理得ACeq f(CDsin 45,sin 30)2eq r(2).在BCE中，CBE45，由正弦定理得BCeq f(CEsin 60,sin 45)3eq r(2).在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB10，所以ABeq r(10).答案：eq r(10)9.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60，在A地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比B地晚eq f(2,17)秒在A地測(cè)得

24、該儀器至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340米/秒)解：由題意，設(shè)ACx，則BCxeq f(2,17)340 x40，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC，即(x40)210 000 x2100 x，解得x420.在ACH中，AC420，CAH30，ACH90，所以CHACtanCAH140eq r(3)(米)故該儀器的垂直彈射高度CH為140eq r(3)米10.某航模興趣小組的同學(xué)，為了測(cè)定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸邊設(shè)置兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B，且AB長(zhǎng)為80米，當(dāng)航模在C處時(shí)，測(cè)得ABC105和BAC3

25、0，經(jīng)過(guò)20秒后，航模直線航行到D處，測(cè)得BAD90和ABD45.請(qǐng)你根據(jù)以上條件求出航模的速度(答案保留根號(hào))解：在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80eq r(2).在ABC中，eq f(BC,sin 30)eq f(AB,sin 45)，BCeq f(ABsin 30,sin 45)eq f(80f(1,2),f(r(2),2)40eq r(2).在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80eq r(2)2(40eq r(2)2280eq r(2)40eq r(2)eq f(1,2)9 600.DC40eq r(6)，航模的速度veq f(4

26、0r(6),20)2eq r(6)米/秒B組高考題型專練1.(高考福建卷)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBACeq f(2r(2),3)，AB3eq r(2)，AD3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)解析：因?yàn)閟inBACeq f(2r(2),3)，且ADAC，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)BAD)eq f(2r(2),3)，所以cosBADeq f(2r(2),3)，在BAD中，由余弦定理得，BDeq r(AB2AD22ABADcosBAD)eq r(3r(2)23223r(2)3f(2r(2),3)eq r(3).答案：eq r(3)2(2014高考重

27、慶卷)在ABC中，B120，ABeq r(2)，A的角平分線ADeq r(3)，則AC_.解析：如圖，在ABD中，由正弦定理，得sinADBeq f(ABsinB,AD)eq f(r(2)f(r(3),2),r(3)eq f(r(2),2).由題意知0ADB60，所以ADB45，則BAD180BADB15，所以BAC2BAD30，所以C180BACB30，所以BCABeq r(2)，于是由余弦定理，得ACeq r(AB2BC22ABBCcos 120)eq r(r(2)2r(2)22r(2)r(2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq r(6).答案：eq r(6)3(高考湖北卷)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.解析：依題意，BAC30，ABC105.在ABC中，由ABCBACACB180，所以ACB45，因?yàn)锳B600 m由正弦定理可得eq f(600,sin 45)eq f(BC,sin 30)，即BC300eq r(2) m在RtBCD中，因?yàn)镃BD30，BC300eq r(2) m，所以tan 30eq f(CD,BC)eq f(CD,300r(2)，所以CD100eq r(6) m.答