數(shù)學(xué)建模概率算法

1、【算法】數(shù)學(xué)建模常用算法簡介概率算法很多算法的每一個(gè)計(jì)算步驟都是固定的，而在下面我們要討論的概率算法，允許算法在執(zhí)行的過程中隨機(jī)選擇下一個(gè)計(jì)算步驟。許多情況下，當(dāng)算法在執(zhí)行過程中面臨一個(gè)選擇時(shí)，隨機(jī)性選擇常比最優(yōu)選擇省時(shí)。因此概率算法可在很大程度上降低算法的復(fù)雜度。 慨率算法的一個(gè)基本特征是對所求解問題的同一實(shí)例用同一概率算法求解兩次可能得到完全不同的效果。這兩次求解問題所需的時(shí)間甚至所得到的結(jié)果可能會有相當(dāng)大的差別。一般情況下，可將概率算法大致分為四類:數(shù)值概率算法，蒙特卡羅（Monte Carlo）算法，拉斯維加斯（Las Vegas）算法和舍伍德（Sherwood）算法。數(shù)值概率算法常用

2、于數(shù)值問題的求解。這類算法所得到的往往是近似解。而且近似解的精度隨計(jì)算時(shí)間的增加不斷提高。在許多情況下，要計(jì)算出問題的精確解是不可能或沒有必要的，因此用數(shù)值概率算法可得到相當(dāng)滿意的解。蒙特卡羅算法用于求問題的準(zhǔn)確解。對于許多問題來說，近似解毫無意義。例如，一個(gè)判定問題其解為“是”或“否”，二者必居其一，不存在任何近似解答。又如，我們要求一個(gè)整數(shù)的因子時(shí)所給出的解答必須是準(zhǔn)確的，一個(gè)整數(shù)的近似因子沒有任何意義。用蒙特卡羅算法能求得問題的一個(gè)解，但這個(gè)解未必是正確的。求得正確解的概率依賴于算法所用的時(shí)間。算法所用的時(shí)間越多，得到正確解的概率就越高。蒙特卡羅算法的主要缺點(diǎn)就在于此。一般情況下，無法有

3、效判斷得到的解是否肯定正確。 拉斯維加斯算法不會得到不正確的解，一旦用拉斯維加斯算法找到一個(gè)解，那么這個(gè)解肯定是正確的。但是有時(shí)候用拉斯維加斯算法可能找不到解。與蒙特卡羅算法類似。拉斯維加斯算法得到正確解的概率隨著它用的計(jì)算時(shí)間的增加而提高。對于所求解問題的任一實(shí)例，用同一拉斯維加斯算法反復(fù)對該實(shí)例求解足夠多次，可使求解失效的概率任意小。 舍伍德算法總能求得問題的一個(gè)解，且所求得的解總是正確的。當(dāng)一個(gè)確定性算法在最壞情況下的計(jì)算復(fù)雜性與其在平均情況下的計(jì)算復(fù)雜性有較大差別時(shí)，可以在這個(gè)確定算法中引入隨機(jī)性將它改造成一個(gè)舍伍德算法，消除或減少問題的好壞實(shí)例間的這種差別。舍伍德算法精髓不是避免算法

4、的最壞情況行為，而是設(shè)法消除這種最壞行為與特定實(shí)例之間的關(guān)聯(lián)性。 本文簡要的介紹一下數(shù)值概率算法和舍伍德算法。 首先來談?wù)勲S機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)在概率算法設(shè)計(jì)中扮演著十分重要的角色。在現(xiàn)實(shí)計(jì)算機(jī)上無法產(chǎn)生真正的隨機(jī)數(shù)，因此在概率算法中使用的隨機(jī)數(shù)都是一定程度上隨機(jī)的，即偽隨機(jī)數(shù)。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)最常用的方法是線性同余法。由線性同余法產(chǎn)生的隨機(jī)序列a1,a2,.,an滿足a0=dan=(ban-1+c)mod m n=1,2.其中,b=0, c=0, d=m。d稱為該隨機(jī)序列的種子。下面我們建立一個(gè)隨機(jī)數(shù)類RadomNumber，該類包含一個(gè)由用戶初始化的種子randSeed。給定種子之后，既可產(chǎn)生與之相應(yīng)的

5、隨機(jī)數(shù)序列。randseed是一個(gè)無符號長整型數(shù)，既可由用戶指定也可由系統(tǒng)時(shí)間自動產(chǎn)生。 const unsigned long maxshort=65536L;const unsigned long multiplier=1194211693L;const unsigned long adder=12345L;class RandomNumberprivate:/當(dāng)前種子unsigned long randseed;public:/構(gòu)造函數(shù)，缺省值0表示由系統(tǒng)自動產(chǎn)生種子RandomNumber(unsigned long s=0);/產(chǎn)生0-n-1之間的隨機(jī)整數(shù)unsigned short

6、 Random(unsigned long n);/產(chǎn)生0，1)之間的隨機(jī)實(shí)數(shù)double fRandom(void);RandomNumber:RandomNumber(unsigned long s)if(s=0)randseed=time(0);elserandseed=s;unsigned short RandomNumber:Random(unsigned long n)randseed=multiplier*randseed+adder;return (unsigned short)(randseed16)%n);double RandomNumber:fRandom(void)r

7、eturn Random(maxshort)/double(maxshort);函數(shù)Random在每次計(jì)算時(shí)，用線性同余式計(jì)算新的種子。它的高16位的隨機(jī)性較好，將randseed右移16位得到一個(gè)0-65535之間的隨機(jī)整數(shù)然后再將此隨機(jī)整數(shù)映射到0-n-1范圍內(nèi)。對于函數(shù)fRandom,先用Random(maxshort)產(chǎn)生一個(gè)0-(maxshort-1之間的整型隨機(jī)序列)，將每個(gè)整型隨機(jī)數(shù)除以maxshort，就得到0，1）區(qū)間中的隨機(jī)實(shí)數(shù)。下面來看看數(shù)值概率算法的兩個(gè)例子：1.用隨機(jī)投點(diǎn)法計(jì)算設(shè)有一半徑為r的圓及其外切四邊形，如圖所示。向該正方形隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)。設(shè)落入圓內(nèi)的點(diǎn)在正方形

8、上均勻分布，因而所投入點(diǎn)落入圓內(nèi)的概率為r2/4r2，所以當(dāng)n足夠大時(shí)，k與n之比就逼近這一概率，即/4。由此可得使用隨機(jī)投點(diǎn)法計(jì)算值的數(shù)值概率算法。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，只需要在第一次象限計(jì)算即可。double Darts(int n)static RandomNumber dart;int k=0;for(int i=1;i=n;i+)double x=dart.fRandom();double y=dart.fRandom();if(x*x+y*y)1)k+;return 4*k/double(n);再簡單舉個(gè)舍伍德算法的例子。我們在分析一個(gè)算法在平均情況下的計(jì)算復(fù)雜性時(shí)，通常假定算法的輸入數(shù)據(jù)服

9、從某一特定的概率分布。例如，在輸入數(shù)據(jù)是均勻分布時(shí)，快速排序算法所需的平均時(shí)間是O(nlogn)。但是如果其輸入已經(jīng)基本上排好序時(shí)，所用時(shí)間就大大增加了。此時(shí)，可采用舍伍德算法消除算法所需計(jì)算時(shí)間與輸入實(shí)例間的這種聯(lián)系。在這里，我們用舍伍德型選擇算法隨機(jī)的選擇一個(gè)數(shù)組元素作為劃分標(biāo)準(zhǔn)。這樣既能保證算法的線性時(shí)間平均性能又避免了計(jì)算擬中位數(shù)的麻煩。非遞歸的舍伍德型算法可描述如下：templateType select(Type a, int l, int r, int k)static RandomNumber rnd;while(true)if(l=r)return al;int i=l, j

10、=l=rnd.Random(r-l+1);Swap(ai, aj);j=r+1;Type pivot=al;while(true)while(a+ipivot);if(i=j)break;Swap(ai, aj);if(j-l+1=k)return pivot;al=aj;aj=pivot;if(j-l+1k)k=k-j+l-1;l=j+1;elser=j-1;template Type Select(Type a, int n, int k)if(kn)throw OutOfBounds();return select(a, 0, n-1, k);平時(shí)我們一般開始考慮的是一個(gè)有著很好平均性能的選擇算法，但在最壞情況下對某些實(shí)例算法效率較低。這時(shí)候我們用概率算法，將上述算法改造成一個(gè)舍伍德型算法，使得該算法對任何實(shí)例均有效。不過在有些情況下，所給的確定性算法無法直接改造成舍伍德型算法。這時(shí)候就可以借助隨機(jī)預(yù)處理技術(shù)，不改變原有的確定性算法，僅對其輸入進(jìn)行隨機(jī)洗牌，同樣可以得到舍伍德算法的效果。還是剛才的例子，換一種方法實(shí)現(xiàn)：templatevoid Shuffle(Ty