2022年秋高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第二冊

1、PAGE 5PAGE 第四章4.4A級基礎(chǔ)過關(guān)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)時，若記f(n)n(n1)(n2)(3n2)，則f(k1)f(k)()A3k1B3k1C8kD9k【答案】C【解析】因為f(k)k(k1)(k2)(3k2)，f(k1)(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)，所以f(k1)f(k)3k13k3k1k8k.2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n1)n(nN*且n1)時，第一步即證下列哪個不等式成立()A12B1eq f(1,2)2C1eq f(1,2)eq f(1,3)2D1eq f

2、(1,3)2【答案】C3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1時正確，再推n2k3時正確B假使n2k1時正確，再推n2k1時正確C假使nk時正確，再推nk1時正確D假使nk(k1)時正確，再推nk2時正確(以上kN*)【答案】B4(2022年山南一模)某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n7時該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時該命題不成立B當(dāng)n6時該命題成立C當(dāng)n8時該命題不成立D當(dāng)n8時該命題成立【答案】A【解析】由題意可知，P(n)對n7不成立，P(n)對n6也不成立，否則n6時，由

3、已知推得n7也成立，與當(dāng)n7時該命題不成立矛盾5一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時命題成立，且由nk時命題成立可以推得nk2時命題也成立，則()A該命題對于n2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取值無關(guān)D以上答案都不對【答案】B【解析】由nk時命題成立可推出nk2時命題也成立，又因為n2時命題成立，根據(jù)逆推關(guān)系，該命題對于所有的正偶數(shù)都成立故選B6已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為()A18B36C48D54【答案】B【解析】因為f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1

4、)，f(2)，f(3)能被36整除，推測m的最大值為36.可作如下簡要證明：f(n1)2(n1)73n19，所以f(n1)f(n)(4n20)3n.當(dāng)n1時，該式的值為72，可被36整除；當(dāng)n2時，4n20可被4整除，3n可被9整除，則(4n20)3n可被36整除，即證7(多選)用數(shù)學(xué)歸納法證明eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)對任意nk(n，kN*)都成立，則以下滿足條件的k的值為()A1B2C3D4【答案】CD【解析】取n1，則eq f(2n1,2n1)eq f(1,3)，eq f(n,n1)eq f(1,2)，eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)不成立；取n2，則e

5、q f(2n1,2n1)eq f(3,5)，eq f(n,n1)eq f(2,3)，eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)不成立；取n3，則eq f(2n1,2n1)eq f(7,9)，eq f(n,n1)eq f(3,4)，eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)成立；取n4，則eq f(2n1,2n1)eq f(15,17)，eq f(n,n1)eq f(4,5)，eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)成立；下證：當(dāng)n3時，eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)成立當(dāng)n3，則eq f(2n1,2n1)eq f(7,9)，eq f(n,n1)eq f(3,4)，

6、eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)成立；設(shè)當(dāng)nk(k3)時，有eq f(2k1,2k1)eq f(k,k1)成立，則當(dāng)nk1時，有eq f(2k11,2k11)eq f(f(3(2k1),2k1)1,f(2k1,2k1)3)，令teq f(2k1,2k1)，則eq f(2k11,2k11)eq f(3t1,t3)3eq f(8,t3).因為teq f(k,k1)，故eq f(2k11,2k11)3eq f(8,f(k,k1)3)eq f(4k1,4k3).因為eq f(4k1,4k3)eq f(k1,k2)eq f(2k1,(4k3)(k2)0，所以eq f(2k11,2k11)e

7、q f(k1,k2)eq f(k1,(k1)1)，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，eq f(2n1,2n1)eq f(n,n1)對任意的n3都成立故選CD8已知f(n)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)(nN*)，計算得f(2)eq f(3,2)，f(4)2，f(8)eq f(5,2)，f(16)3，f(32)eq f(7,2)，由此推測，當(dāng)n2時，有_【答案】f(2n)eq f(n2,2)9用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2nn3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個值n0最小應(yīng)當(dāng)是_【答案】10【解析】2101 024103，2951293

8、，n0最小應(yīng)為10.10已知11，134，1359，135716，.(1)猜想135(2n1)的值；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想(1)解：猜想135(2n1)n2.(2)證明：當(dāng)n1時，左邊1，右邊121，左邊右邊假設(shè)nk時等式成立，即135(2k1)k2，則當(dāng)nk1時，等式左邊135(2k1)(2k1)k2(2k1)(k1)2.綜上，可知135(2n1)n2對于任意的正整數(shù)成立B級能力提升練11用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時的情況，只需展開()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3【答案】A【解析】當(dāng)nk

9、時，k3(k1)3(k2)3能被9整除；當(dāng)nk1時，左邊式子為(k1)3(k2)3(k3)3(kN*)，顯然只需展開(k3)3.12(多選)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,n3)eq f(1,nn)eq f(13,24)的過程中，下列說法正確的是()A使不等式成立的第一個自然數(shù)n01B使不等式成立的第一個自然數(shù)n02Cnk推導(dǎo)nk1時，不等式的左邊增加的式子是eq f(1,(2k1)(2k2)Dnk推導(dǎo)nk1時，不等式的左邊增加的式子是eq f(1,(2k2)(2k3)【答案】BC【解析】由于nN*，當(dāng)n1時，左邊eq f(1,2)eq f(13,2

10、4)，當(dāng)n2時，左邊eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(7,12)eq f(13,24)成立，故使不等式成立的第一個自然數(shù)n02；當(dāng)nk時，左邊為eq f(1,k1)eq f(1,k2)eq f(1,k3)eq f(1,kk)，當(dāng)nk1時，左邊為eq f(1,k2)eq f(1,k3)eq f(1,kk)eq f(1,kk1)eq f(1,k1k1)eq f(1,k1)eq f(1,k2)eq f(1,k3)eq f(1,kk)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2k1)f(1,2k2)f(1,k1)，故左邊增加的式子是eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)eq

11、f(1,k1)eq f(1,2k1)eq f(1,2k2)eq f(1,(2k1)(2k2).故選BC13對任意nN*，34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a_【答案】5【解析】當(dāng)n1時，36a3能被14整除的數(shù)為a3或5；當(dāng)a3且n2時，31035不能被14整除，故a5.14已知數(shù)列an滿足an0，前n項和為Sn，若a33，且對任意的kN*，均有aeq oal(2,2k)2a2k11，a2k12log2a2k1，則a1_，S20_【答案】12146【解析】因為an0，nN*，由已知a332log2a21，a22，2a11aeq oal(2,2)4，a11，aeq oal(2,4)2

12、a312416，a44，a52log2a415，aeq oal(2,6)2a5126，a68，歸納結(jié)論a2n12n1，a2n2n.證明：(1)n1，由上面已知成立；假設(shè)nk時，假設(shè)成立，即a2k12k1，a2k2k，則a2k12log2a2k12log22k12k1，aeq oal(2,2k2)2a2k1122k2，a2k22k1，由數(shù)學(xué)歸納法知a2n12n1，a2n2n，對一切nN*成立S20(1319)(222210)102eq f(2(1210),12)2146.15各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq r(2n1)對一切nN*恒成立(1)解：aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)2，aeq oal(2,1)121，數(shù)列aeq oal(2,n)是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，aeq oal(2,n)1(n1)22n1.又an0，aneq r(2n1).(2)證明：由(1)知，只需證1eq f(1,r(3)eq f(1,r(2n1)eq r(2n1).當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，不等式成立；當(dāng)n2時，左邊右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時不等式成立，即1eq