山西省長治市常平中學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

1、山西省長治市常平中學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，得到g（x）的圖象若g（x1）?g（x2）=9，且x1，x22，2，則|x1x2|的最大值為（）AB2C3D4參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【分析】利用函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，得出結(jié)論【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，得到g（x）=sin2（x+）+2=sin（2x+

2、）+2的圖象，若g（x1）?g（x2）=9，則g（x1）=g（x2）=3x1，x22，2，2x+，2x1+=+2k，2x2+=+2n，k，nZ故當(dāng)2x1+=，2x2+=時，|x1x2|取得最大值為3，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，屬于中檔題2. 已知圓C：（x）2+（y1）2=1和兩點(diǎn)A（t，0），B（t，0），（t0），若圓上存在點(diǎn)P，使得APB=90，則t的最大值是（）A1B2C3D4參考答案：C【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系【分析】（x）2+（y1）2=1的圓心C（，1），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則=（a+t，b）

3、，=（at，b），由已知得t2=a2+b2=|OP|2，t的最大值即為|OP|的最大值【解答】解：圓C：（x）2+（y1）2=1的圓心C（，1），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則=（a+t，b），=（at，b），APB=90，?=（a+t）（at）+b2=0，t2=a2+b2=|OP|2，t的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=2+1=3故選：C3. 已知正項組成的等差數(shù)列的前項的和,那么最大值是( )ABCD不存在參考答案：A略4. 已知偶函數(shù)對任意都有，則的值等于（ ）A B C D參考答案：D5. 我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”已知、是

4、一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是它們在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（） 參考答案：A設(shè)橢圓的半長軸為，橢圓的離心率為，則.雙曲線的實半軸為，雙曲線的離心率為，.，則由余弦定理得，當(dāng)點(diǎn)看做是橢圓上的點(diǎn)時,有，當(dāng)點(diǎn)看做是雙曲線上的點(diǎn)時,有，兩式聯(lián)立消去得，即，所以，又因為，所以，整理得，解得，所以，即雙曲線的離心率為，選A.6. 集合，則（A） （B） （C） （D）參考答案：B，所以，所以，選B.7. 下列結(jié)論正確的是（）（A）當(dāng)（B）的最小值為2 （C）當(dāng)時，的最小值為（D）當(dāng)時，有最大值.參考答案：D略8. 設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A. 充分而不必要

5、條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件參考答案：C【分析】由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可.【詳解】A?B?C三點(diǎn)不共線,|+|+|-|+|2|-|2?0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|”的充分必要條件,故選C.9. 已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C D參考答案：C略10. 已知平面向量，且/，則（ ） D參考答案：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，那么當(dāng)時，.參考答案：略12. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C

6、的極坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為：.則它們相交所得弦長等于 .參考答案：3略13. 設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為。若，則則角_.參考答案：14. 已知在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，R為ABC外接圓的半徑，若a=1， sin2B+sin2Csin2A=sinAsinBsinC，則R的值為參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理【分析】由正弦定理可化sin2B+sin2Csin2A=sinAsinBsinC為b2+c2a2=bcsinA，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，化為：2（sinA2cosA）=+，再利用基本不等式的性質(zhì)得出sinA，即可求出R【解答】解：由正弦定理

7、可化sin2B+sin2Csin2A=sinAsinBsinC為b2+c2a2=bcsinA，再由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，代入上式可得：2（sinA2cosA）=+2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號即2sin（A）2，其中tan=2即sin（A）1，又sin（A）1，sin（A）=1A=+2k，即A=+2k，kN*tanA=tan（+2k）=tan（+）=，A（0，），sinA=，a=1，2R=，R=故答案為：15. 已知為第四象限角，則 .參考答案：，因為為第四象限角，所以16. 設(shè)a=log310，b=log，c=（），則a，b，c中最大的數(shù)是 參考答案：b【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性

8、質(zhì)【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小【解答】解：32.5=910，a=log310log39=2.5，b=log=log26log24=2.5c=（）=（）（）2=2，b最大，故答案為：b17. 在數(shù)列中，其中、為常數(shù)，則 。參考答案：【解析】 由知數(shù)列是首項為公差為4的等差數(shù)列，故。三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，證明:當(dāng) 且時，.參考答案：解：（1）因為，若，在為增函數(shù)；若，則或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）令，設(shè)的正根為，所以，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，令，

9、恒成立，所以在上為增函數(shù)，又，即，所以，當(dāng)時，.19. 己知橢圓C： =1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足（1，是常數(shù)）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，點(diǎn)M形成的曲線為C（I）求曲線C的軌跡方程；（II）直線l是橢圓C在點(diǎn)P處的切線，與曲線C的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，探究OAB的面積是否為定值若是，求OAB的面積，若不是，請說明理由參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)【分析】（）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），由點(diǎn)P在橢圓C上得曲線C的軌跡方程為（）由=0，得過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為，設(shè)切點(diǎn)A（x2，y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x28x1x+161

10、6=0，可得|AB|=|x3x4|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d=，OAB的面積s=|AB|d=2（定值）【解答】解：（）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）由于點(diǎn)P在橢圓C上，得，即曲線C的軌跡是橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為（）當(dāng)過點(diǎn)P（x1，y1）切線的斜率存在時，設(shè)該切線的方程為yy1=k（xx1），即y=kx+（y1kx1）聯(lián)立y=kx+（y1kx1）、橢圓C： =1得（）x2+2k（y1kx1）x+=0，由=0，得1+4k2=（y1kx1）2，的k=此時過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為過點(diǎn)P切線的斜率不存在時，切點(diǎn)為（2，0），方程為x=2，符合方程為過點(diǎn)P的切線方程為設(shè)切點(diǎn)A（x2，

11、y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x28x1x+1616=0|AB|=|x3x4|=原點(diǎn)O到直線AB的距離d=OAB的面積s=|AB|d=2（定值）故OAB的面積是定值220. （本小題15分）如圖所示，在三棱錐中，平面平面， （I）求證：平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值參考答案：（I）略（II）【知識點(diǎn)】單元綜合G12（I）過做于2分平面平面，平面平面平面 4分又 平面7分（II）解法1：平面 連結(jié)則為求直線與平面所成角11分 又 又15分直線與平面所成角的正弦值等于.解法2：設(shè)直線與平面所成角為，到平面的距離為 ， 9分 平面 12分又 15分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線線垂直證明線面

12、垂直，由 ，又 。21. 對于無窮數(shù)列an，bn，若，則稱bn是an的“收縮數(shù)列”.其中，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知an為無窮數(shù)列，其前n項和為Sn，數(shù)列bn是an的“收縮數(shù)列”.（1）若，求bn的前n項和；（2）證明：bn的“收縮數(shù)列”仍是bn；（3）若，求所有滿足該條件的an.參考答案：（1）（2）證明見解析（3）所有滿足該條件的數(shù)列為【分析】（1）由可得為遞增數(shù)列，從而易得；（2）利用，可證是不減數(shù)列（即），而，由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.（3）首先，由已知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（*），這里分析與的大小關(guān)系，均出現(xiàn)矛盾，結(jié)合(*)式可得，因此猜想（），用反證法證明此結(jié)論成立，證明

13、時假設(shè)是首次不符合的項，則，這樣題設(shè)條件變?yōu)椋?），仿照討論的情況討論，可證明【詳解】解：（1）由可得遞增數(shù)列， 所以，故的前項和為.（2）因為，所以所以.又因為，所以，所以的“收縮數(shù)列”仍是.（3）由可得當(dāng)時，；當(dāng)時，即，所以；當(dāng)時，即（*），若，則，所以由（*）可得，與矛盾；若，則，所以由（*）可得，所以與同號，這與矛盾；若，則，由（*）可得.猜想：滿足的數(shù)列是：.經(jīng)驗證，左式，右式.下面證明其它數(shù)列都不滿足（3）的題設(shè)條件.法1：由上述時的情況可知，時，是成立的.假設(shè)是首次不符合的項，則，由題設(shè)條件可得（*），若，則由（*）式化簡可得與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號，這與矛盾；

14、所以，則，所以由（*）化簡可得.這與假設(shè)矛盾.所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設(shè)條件.法2：當(dāng)時，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等號成立的條件是，所以，所有滿足該條件的數(shù)列為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問題，考查學(xué)生創(chuàng)新意識第（1）（2）問直接利用新概念“收縮數(shù)列”結(jié)合不等關(guān)系易得，第（3）問考查學(xué)生的從特殊到一般的思維能力，考查歸納猜想能力，題中討論與大小關(guān)系是解題關(guān)鍵所在本題屬于難題22. 設(shè)a，b，c均為正實數(shù)（1）若a+b+c=1，求證：a2+b2+c2；（2）求證：參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明【專題】推理和證明【分析】（1）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通過放縮證明即可（2）利用分析法由，得到條件（ab）2+（bc）2+（ca）20，推出結(jié)論【解答】證明：（1）a+b+c=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2