概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.12課件

1、主講人 概率論與數(shù)理統(tǒng)計1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科，其理論方法與數(shù)學其它分支相互交叉、滲透，已經(jīng)成為許多自然科學、社會與經(jīng)濟科學、管理學科等重要的理論工具. 在經(jīng)濟學和管理學中，經(jīng)常會碰到如抽樣調(diào)查、預測、決策一類問題，在這些問題中我們研究的對象往往具有隨機性. 因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計在經(jīng)濟和管理中有著廣泛的應用.課程簡介2 本課程是經(jīng)濟類、管理類各專業(yè)的一門重要的基礎理論課，通過學習本課程，能掌握處理隨機現(xiàn)象的基本思想和方法，培養(yǎng)運用概率論的知識分析和解決實際問題的能力，能以“統(tǒng)計思想”去思考和用“統(tǒng)計方法”去處理遇到的隨機數(shù)據(jù)，從而作出正確的統(tǒng)計推斷.通

2、過學習本課程，使學生對于實際生活中的隨機性產(chǎn)生敏感、培養(yǎng)概率統(tǒng)計直覺能力，更重要的是能綜合利用所學知識分析和解決一些工作和生活中的實際問題.3概率論部分側(cè)重于理論探討，共包括七章內(nèi)容.第一章介紹概率論的基本概念，建立一系列定理和公式，尋求解決統(tǒng)計和隨機過程問題的方法.其中包括隨機事件和概率、條件概率與全概率公式、事件的獨立性等；第二章引進隨機變量的概念，研究隨機變量的概率分布以及隨機變量的數(shù)學期望、方差等數(shù)字特征.第三章講述隨機向量的概念，研究隨機變量的概率分布以及隨機向量的數(shù)學期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)等；第四章是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的連接界面，介紹大數(shù)定律和中心極限定理等；主要內(nèi)容4數(shù)理統(tǒng)計

3、則是以概率論作為理論基礎，研究如何有效地收集整理和分析受隨機影響的數(shù)據(jù)，并作出統(tǒng)計推斷、預測或者決策.包括兩章內(nèi)容：第五章介紹數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，有統(tǒng)計量、抽樣分布等；第六章講述了總體參數(shù)的點估計和區(qū)間估計方法及評價標準；第七章主要講述單正態(tài)總體的假設檢驗.5概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程特點1、靈活性強3、繼承性強學習前具備的基本知識排列組合微積分課程安排與考試情況每周4學時，共安排了64學時，4 學分。授課學時：6062 復習與答疑：42成績平時成績（出席、作業(yè)）和 期中成績：各10%期末考試成績：80%基本要求2、應用性強：與生活實際聯(lián)系密切6概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史17世紀，正當研究必然性事件的

4、數(shù)理關系獲得較大發(fā)展的時候，一個研究偶然事件數(shù)量關系的數(shù)學分支開始出現(xiàn)，這就是概率論 早在16世紀，賭博中的偶然現(xiàn)象就開始引起人們的注意數(shù)學家卡丹諾(Cardano)首先覺察到，賭博輸贏雖然是偶然的，但較大的賭博次數(shù)會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性, 卡丹諾為此還寫了一本論賭博的小冊子，書中計算了擲兩顆骰子或三顆骰子時，在一切可能的方法中有多少方法得到某一點數(shù)據(jù)說，曾與卡丹諾在三次方程發(fā)明權上發(fā)生爭論的塔爾塔里亞，也曾做過類似的實驗 促使概率論產(chǎn)生的強大動力來自社會實踐首先是保險事業(yè)文藝復興后，隨著航海事業(yè)的發(fā)展，意大利開始出現(xiàn)海上保險業(yè)務16世紀末，在歐洲不少國家已把保險業(yè)務擴大到其它工商業(yè)上，保險的對象

5、都是偶然性事件為了保證保險公司贏利，又使參加保險的人愿意參加保險，就需要根據(jù)對大量偶然現(xiàn)象規(guī)律性的分析，去創(chuàng)立保險的一般理論于是，一種專門適用于分析偶然現(xiàn)象的數(shù)學工具也就成為十分必要了 7概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史不過，概率論基礎并不是在上述實際問題的材料上形成的因為這些問題的大量隨機現(xiàn)象，常被許多錯綜復雜的因素所干擾，它使難以呈“自然的隨機狀態(tài)”因此必須從簡單的材料來研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，這種材料就是所謂的“隨機博弈”在近代概率論創(chuàng)立之前，人們正是通過對這種隨機博弈現(xiàn)象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次實驗中的頻率穩(wěn)定性”等，然后經(jīng)加工提煉而形成了概率論.荷蘭數(shù)學家、物理學家惠更斯（H

6、uygens）于1657年發(fā)表了關于概率論的早期著作論賭博中的計算在此期間，法國的費爾馬（Fermat）與帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探討了隨機博弈現(xiàn)象中所出現(xiàn)的概率論的基本定理和法則惠更斯等人的工作建立了概率和數(shù)學期望等主要概念，找出了它們的基本性質(zhì)和演算方法，從而塑造了概率論的雛形8概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史18世紀是概率論的正式形成和發(fā)展時期1713年，貝努利（Bernoulli）的名著推想的藝術發(fā)表在這部著作中，貝努利明確指出了概率論最重要的定律之一“大數(shù)定律”，并且給出了證明，這使以往建立在經(jīng)驗之上的頻率穩(wěn)定性推測理論化了，從此概率論從對特殊問題的求解，發(fā)展到了一般的理論概括繼

7、貝努利之后，法國數(shù)學家棣謨佛（Abraham de Moiver）于1781年發(fā)表了機遇原理書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎 1706年法國數(shù)學家蒲豐（Comte de Buffon）的偶然性的算術試驗完成，他把概率和幾何結合起來，開始了幾何概率的研究，他提出的“蒲豐問題”就是采取概率的方法來求圓周率的嘗試通過貝努利和棣謨佛的努力，使數(shù)學方法有效地應用于概率研究之中，這就把概率論的特殊發(fā)展同數(shù)學的一般發(fā)展聯(lián)系起來，使概率論一開始就成為數(shù)學的一個分支 9概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史19世紀概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛的應

8、用方向發(fā)展其中為之作出較大貢獻的有：法國數(shù)學家拉普拉斯（Laplace），德國數(shù)學家高斯（Gauss），英國物理學家、數(shù)學家麥克斯韋（Maxwell），美國數(shù)學家、物理學家吉布斯（Gibbs）等概率論的廣泛應用，使它于18和19兩個世紀成為熱門學科，幾乎所有的科學領域，包括神學等社會科學都企圖借助于概率論去解決問題，這在一定程度上造成了“濫用”的情況，因此到19世紀后半期時，人們不得不重新對概率進行檢查，為它奠定牢固的邏輯基礎，使它成為一門強有力的學科 1917年蘇聯(lián)科學家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系1933年柯爾莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率論的公理結構，從此，更現(xiàn)代意義上的完整的

9、概率論臻于完成10概率統(tǒng)計與金融學的關系現(xiàn)代金融理論伴隨著金融市場的發(fā)展大量應用概率統(tǒng)計，這是經(jīng)濟數(shù)學化的最大成就，從而出現(xiàn)了一個全新的學科-金融數(shù)學。金融數(shù)學是以概率統(tǒng)計和泛函分析為基礎，以隨機分析和鞅理論為核心，主要研究風險資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和金融工具）的定價、避險和最優(yōu)投資消費策略的選擇。近二十幾年來，金融數(shù)學不僅對金融工具的創(chuàng)新和對金融市場的有效運作產(chǎn)生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發(fā)項目的評估（如實物期權）以及在金融機構的風險管理中得到廣泛應用?，F(xiàn)在對它的研究方興未艾,21世紀肯定是它進一步蓬勃發(fā)展的時代。11概率統(tǒng)計與金融學的關系金融數(shù)學的歷史可以追溯到1900年法

10、國數(shù)學家巴謝利耶 (LBachelier)的博士論文“投機的理論”(Theoryof Speculation)，這宣告了金融數(shù)學的誕生。在文中他首次用布朗運動來描述股票價格的變化，他認為在資本市場中有買有賣, 買者看漲、賣者看跌, 其價格的波動是布朗運動(Brownian Motion) 其統(tǒng)計分布是正態(tài)分布, 這要比愛因斯坦1905年研究布朗運動早5年。然而，巴謝利耶的工作沒有引起金融學界的重視達50多年。20世紀50年代初，薩繆爾森（PaulA.Samuelson）通過統(tǒng)計學家薩維奇（LJ.Savage）重新發(fā)現(xiàn)了巴謝利耶的工作，這標志了現(xiàn)代金融學的開始?，F(xiàn)代金融學隨后經(jīng)歷了兩次主要的革命

11、，第一次是在1952年。12概率統(tǒng)計與金融學的關系那年，馬爾柯維茨（H.Markowitz,1952）發(fā)表了他的博士論文，提出了“資產(chǎn)組合選擇的均值方差理論”（mean-variance theory of portfolio selection）.它的意義是將原來人們期望尋找“最好”股票的想法引導到對風險和收益的量化和平衡的理解上來。給定風險水平極大化期望收益，或者給定收益水平極小化風險，這就是上述“均值方差理論”的主要思想，我們可以將它看成是一個帶約束的最優(yōu)化問題。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特納（J.Lintner,1965）進一步拓展了馬爾柯維茨的工作，提出了“資本

12、資產(chǎn)定價模型”（capital asset pricing model,簡稱CAPM）。它的要點是確定每一個股票和整個市場的相關性，于是，對于上述最優(yōu)化問題，每個股票的持有量可以由該股票的平均回報率和該股票與市場的相關系數(shù)來確定。13概率統(tǒng)計與金融學的關系值得一提的是20世紀60年代的另一個有影響的工作是薩繆爾森（Samuelson,1965）和法馬（E.Fama， 1965）的“市場有效性假設”（efficient market hypothesis）,這本質(zhì)上是對于市場完備性的某種描述。他們證明，在一個運作正常的市場中，資本價格過程是一個（下）鞅，換句話說，將來的收益狀況實際上是不可測的，

13、這項工作實際上為第二次革命做了鋪墊。費希爾（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的歷史數(shù)據(jù)檢測了“市場有效性假設”。他們的結果表明，在這段時間里，隨機的選擇股票并且持有，其平均回報率為每年9.4，它要比一般的專業(yè)經(jīng)紀人為他們的顧客運作所獲得的贏利來得高。14概率統(tǒng)計與金融學的關系金融數(shù)學的第二次革命發(fā)生在1973年。那年，費希爾布萊克和邁倫斯科爾斯（F.Black and M.Scholes,1973 ）發(fā)表了著名的Black-scholes公式，給出了歐式期權定價的顯示表達式。默頓和斯科爾斯在紀念布萊克的一篇文章（Merton and scholes,1995

14、）中敘述了當年布萊克和斯科爾斯的文章被接受的困難程度，其原因是他們的工作超前了那個時代。 不久，默頓獲得了另一種推導方法，并且給以了推廣。1979年，考克斯、羅斯和魯賓斯坦（Cox,Ross,and Rubinstein,1979）發(fā)表了二叉樹模型；同時哈里森和克雷普斯（Harrison and Kreps）提出了多時段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（Harrison and Pliska,1981）提出了等價鞅測度（這與“市場有效性假設”有密切的關系）。這些工作本質(zhì)上是為了風險管理這個主題服務的。15概率論在金融數(shù)學中最新的理論發(fā)展1、鞅理論 現(xiàn)代金融理論最新的研究成果是鞅理論

15、的引入。在市場是有效的假定下, 證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。由Karatzas 和Shreve 等人倡導的鞅方法直接把鞅理論引入到現(xiàn)代金融理論中，利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題,得到的結果不僅能深刻揭示金融市場的運行規(guī)律,而且可以提供一套有效的算法,求解復雜的衍生金融產(chǎn)品的定價與風險管理問題。利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進展。目前基于鞅方法的衍生證券定價理論在現(xiàn)代金融理論中占主導地位,但在國內(nèi)還是一個空白。16概率論在金融數(shù)學中最新的理論發(fā)展2、最憂停時理論 最優(yōu)停時理論是概率論中一

16、個具有很強應用背景的領域,他的蓬勃發(fā)展是60 年代以后的事。近幾年,在國內(nèi)也有一些學者開始熱心這一領域的研究,而且取得了可喜的成果運用最優(yōu)停時理論研究了具有固定交易費用的證券投資決策問題,給出了具有二個風險證券的投資決策問題一種簡化算法。在國內(nèi)有關這方面的研究尚不多見，相信運用最優(yōu)停時理論來研究投資決策問題和風險最小化問題會有更大的進展。17賭徒們最關心的就是：如何在賭博中不輸！ 概率的起源都是骰子惹的“禍”三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博，擲色子（又名骰子）是他們常用的一種賭博方式。 如同時擲兩顆骰子，則點數(shù)之和為9與點數(shù)之和為10，押在哪個點數(shù)上贏的機會較大？ 182345673

17、4567845678956789106789101178910111219將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個六點的機會比較多，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙六的機會卻很少。 德梅爾問題（法國） 諸如此類的需要計算可能性大小的賭博問題提出了不少，但賭徒他們自己無法給出答案 20“ 得 分 問 題 ” 甲、乙兩人各出同樣的賭注，用擲硬幣作為博奕手段 . 每擲一次，若正面朝上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，甲不得分. 誰先得到規(guī)定分數(shù)就贏得全部賭注. 當進行到甲還差 2分乙還差3分，就分別達到規(guī)定分數(shù)時，發(fā)生了意外使賭局不能進行下去，問如何公平分配賭注？21公元1651年夏天，當時盛

18、譽歐洲號稱“神童”的數(shù)學家帕斯卡（Pascal），在旅途中偶然遇到了賭徒德美爾，他對帕斯卡大談“賭經(jīng)”，以消磨旅途時光德美爾還向帕斯卡請教一個親身所遇的“分賭金”問題。 22 分賭金問題甲、乙二人賭技相同。各出賭注32個金幣。約定：不出現(xiàn)平局并且誰先勝三局，則誰拿走全部64個金幣。現(xiàn)已賭了三局，甲二勝一負。此時，因故要終止賭博，問這64個金幣要如何分，才算公平？ 23設想繼續(xù)賭兩局（排除不分勝負的平局），則結果無非一下四種情況之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 因此，甲、乙最終獲勝可能性大小之比為3:1。全部賭本應按這比例分，即甲分48個金幣，乙分16個金幣，才算公正合理。 這個例子頗給人以啟發(fā)，即

19、表面上看來簡單自然的東西，經(jīng)過深入一層的分析而揭示了其不合理之處。 24 使概率論成為數(shù)學的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利，而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后. 251933年，前蘇聯(lián)數(shù)學家科爾莫戈羅夫發(fā)表了概率論的基本概念奠定了概率論理論基礎，使其成為了一門嚴格的科學。Andrey NikolaevichKolmogorov英國生物學家和統(tǒng)計學家k.皮爾遜在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計的建立上起了重要作用。皮爾遜的工作是所謂“大樣本統(tǒng)計”的前驅(qū)?，F(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學作為一門獨立學科的奠基人是英國數(shù)學家R.A.Fisher,他也是另一門重要統(tǒng)計分支假設檢驗的先驅(qū)之一，他引進了顯著性檢驗概念

20、。26法國數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)說: “ 生活中最重要的問題 , 其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學家和經(jīng)濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：“ 概率論是生活真正的領路人, 如果沒有對概率的某種估計, 那么我們就寸步難行, 無所作為.27數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的 數(shù)學分支學科.28統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計學是概率論的一種應用.

21、但是它們是兩個并列的數(shù)學分支學科，并無從屬關系.29 第一章 隨機事件及其概率30 在我們所生活的世界上充滿了不確定性.從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性.引言31事實上，在自然界存在著兩類現(xiàn)象，一類是確定性現(xiàn)象，另一類是隨機性現(xiàn)象.所謂確定性現(xiàn)象，即在一定條件下必然會發(fā)生（或必然不會發(fā)生）的現(xiàn)象，例如：(1)在一標準大氣壓下，純水加熱到100必然沸騰；(2)在標準大氣壓下，溫度高于4的純水不會結冰; 32 （3）重物在高處必然下落；（4）異性電荷必相互吸引. 上述

22、現(xiàn)象，我們可以根據(jù)其賴以生存的條件，事先準確地斷定其未來的結果，稱之為確定性現(xiàn)象.33 所謂非確定性現(xiàn)象，即在一定條件下具有多種可能的結果，究竟是發(fā)生那種結果事先無法確定的現(xiàn)象.例如：（1）擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)可能是1，2，3，4，5，6中的某一個；（2）保險公司的年賠償金額；（3）從某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中，任意抽取4件進行檢驗，抽到的次品數(shù)可能是0，1，2，3或4. 隨機現(xiàn)象34結果有可能為:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”. 實例 “拋擲一枚骰子,觀 察出現(xiàn)的點數(shù)”. 實例 “用同一門大炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā) , 觀察彈落點的情況”.結果: “彈落點可能會

23、不同”.35實例 “從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結果可能為: 正品 、次品.實例 “一只新燈泡的壽命” 可長可短.36 上述現(xiàn)象，在相同的可控制條件下進行一系列重復的觀察或?qū)嶒灒看纬霈F(xiàn)的可能結果不止一個，而在每次實驗或觀察之前無法預知確切的結果，呈現(xiàn)出偶然性即不確定性，我們稱之為隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象的特征：（1）隨機性（偶然性）；（2）大量試驗的條件下其結果的發(fā)生又具有規(guī)律性.37 例如，拋擲一枚形狀對稱、質(zhì)地均勻的硬幣一次，其結果可能是正面（徽花面）朝上，也可能是反面（數(shù)字面）朝上，正面出現(xiàn)與否，拋擲之前是無法確切地預言的.但多次重復地拋擲這枚硬幣，正面出現(xiàn)的次數(shù)大約占

24、拋擲總次數(shù)的一半.這種在大量重復實驗或觀察中呈現(xiàn)出的量的規(guī)律性，稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性. 38 隨機現(xiàn)象是偶然性與必然性的辯證統(tǒng)一. 其偶然性表現(xiàn)在每次實驗或觀察之前，不能準確地預言發(fā)生哪種結果；其必然性表現(xiàn)在大量重復實驗或觀察中，它的結果呈現(xiàn)出某種量的規(guī)律性. 即隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性. “在表面上是偶然性起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱蔽著的規(guī)律支配的，而問題只是在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律. ”391.1.1 兩個基本原理1.1 預備知識40例1.1.1 飛行在北京-天津-上海-廣州航空線上的民航飛機，要準備多少種不同的飛機票？加法原理和乘法原理是排列組合的基礎.411.1.2 排列組合4

25、21.2 隨機事件1.2.1 隨機事件 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科.為了對隨機現(xiàn)象的規(guī)律性進行研究，就要對客觀事物進行觀察或?qū)嶒? 如，觀察某種商品的日銷量，各種福利彩票的搖獎、某地區(qū)夏季暴雨的次數(shù)等.對隨機現(xiàn)象的觀察或?qū)嶒灲y(tǒng)稱為隨機試驗，簡稱試驗.43概率論中所研究的隨機試驗具有以下特點：（1）在可控條件相同的前提下，試驗可以（或原則上可以）重復進行，即重復性；（2）每次試驗的結果具有多種可能性，但是試驗之前可以明確試驗的所有可能結果，即明確性；（3）在每次試驗之前不能準確地預言該次試驗將會出現(xiàn)哪一種結果，即隨機性.44例1.2.1 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)就是一

26、個隨機試驗.例1.2.2 拋一枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況也是一個隨機試驗. 在概率論中，將隨機試驗的結果稱為隨機事件，簡稱事件.即，在每次隨機試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結果稱為隨機事件，通常用大寫拉丁字母A,B,C 表示.45例如，在擲骰子的試驗中，“出現(xiàn)2點”、“出現(xiàn)偶數(shù)點”，在拋硬幣的試驗中，“正面朝上”等都是隨機事件.基本事件： 隨機試驗中不能再分解的最簡單的隨機事件.有時也用小寫希臘字母表示.如， “出現(xiàn)2點”、“出現(xiàn)5點”等都是基本事件.復合事件： 由若干個基本事件組合而成的事件稱為復合事件. 如“出現(xiàn)偶數(shù)點” 是由“出現(xiàn)2點”、“出現(xiàn)4點”、“出現(xiàn)6點”這三個基本事件組成的.

27、46試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”, “出現(xiàn)2點”, ,“出現(xiàn)6點”為六個基本事件. 例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù).A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”C=“出現(xiàn)不小于2的點”=1,3,5=2,4,6=2,3,4,5,6471.2.2 樣本空間48例1.2.3 將一枚硬幣連拋3次，觀察正反面出現(xiàn)的情況，試寫出該隨機試驗的樣本空間.解 用“H”表示出現(xiàn)正面，“T”表示出現(xiàn)反面.于是，由題設，基本事件是從兩個相異元素H、 T中，允許重復地取出3個元素的排列，而所有這種排列共有種可能結果，所以，樣本空間是49注1.2.1隨機試驗的樣本空間是由試驗的所有基本事件組成的集合.所以，只要根據(jù)題設條件，分析

28、基本事件的特征，則樣本空間為樣本空間可以是有限集，也可以是無限集.如觀察“某射擊手在擊中目標之前的射擊次數(shù)”的樣本空間是501.2.3 隨機事件之間的關系與運算同一試驗的各種事件之間的幾種主要關系和運算.1.包含關系2.相等關系3.事件的和（并）4.事件的積（交）5.事件的差6.互不相容事件7.對立事件8.完備事件組51文氏圖 在集合論中，常常用“文（Venn）氏圖”直觀地描述集合及其相互關系. 可以借助文氏圖來直觀地描述一個隨機試驗以及隨機試驗所包含的隨機事件及其相互關系.即用平面上某一方形（或矩形、或其他平面圖形）區(qū)域表示必然事件即樣本空間，用該區(qū)域上的子區(qū)域表示隨機事件，如圖 52 1. 包含關系若事件 A 發(fā)生, 必然導致 B 發(fā)生 ,則稱事件 B 包含事件 A,記作圖示 B 包含 A.BA 1. 包含關系53若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 則稱事件A與事件B相等,記作 A=B. 2. 相等關系BA圖示 A=B .543. 事件的和(并)實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此 “產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件 A 與 B 的并. BA55圖示事件A與B 的積事件.ABAB實例 某種產(chǎn)品的合