備戰(zhàn)2021年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破專題15 數(shù)形結(jié)合思想

1、1 2 1 21 2 1 2專題 15數(shù)形結(jié)合想專點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和的 嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合(1)數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常以下幾種：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像求參數(shù)的取值范圍；構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究方程根的范圍；構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究量與量之間的大小關(guān)系；構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等(2)數(shù)形結(jié)合思想是解答

2、高考數(shù)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解填空題、選擇題時(shí)發(fā)揮著奇 特功效，這就要求我們在平時(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)應(yīng)注意以 下幾點(diǎn)：準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像，注意函數(shù)的定義域；用圖像法討論方程(特別是含數(shù)的方程 )的的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式 (有可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖 ，然作出兩函數(shù)的 圖像，由圖求解(3)在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；精心聯(lián)

3、想“數(shù)”與“形些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求 例剖一、數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代式的取值范圍、最值問題中的應(yīng)用【例 】 若程 x 在 x，時(shí)有唯一實(shí)，求實(shí)數(shù) m 取值范圍【解析】 利數(shù)形結(jié)合的方法直接觀察得出結(jié)果原方程可化為23)， y (21(03)， ，同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像如所原方程(，3)內(nèi)唯一解，知 與 y 的像只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得 m 的取值范圍1 21 2是，1【變式訓(xùn)練 1】 已函數(shù) f(x 若函數(shù) gxx) 有 個(gè)點(diǎn)則數(shù) m 的取值范圍為_【答案】，【解析】 函 fx x0 x x0 1，x畫出其圖像如圖所示又由函數(shù) (x(x 有 3 零點(diǎn)，知 (

4、x與 有 3 個(gè)點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍(，1).【例 】 若系數(shù)一元二次方 b 有個(gè)根，一個(gè)在區(qū)(，內(nèi)另一個(gè)根在區(qū)間 (1，內(nèi)求：(1)點(diǎn)a，b對的區(qū)域的面積；b(2) 的值范圍；a1)22的值域【解析】可將ba看作點(diǎn)a，)和(，連的斜率，而 a 2 2)2 表點(diǎn)a，與點(diǎn) ，之間的距離的平方方程 2ax2b0 的兩根在區(qū)間，和，上幾何意義分別是：函數(shù) y()x2b 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)(，和，2)內(nèi)且 x x ， ， 由此可得不等式） 0，） eq oac(,S)ABCCDCD y x eq oac(,S)ABCCDCD y x 在如圖所示的 坐平面內(nèi)，滿足約束條件的(a，

5、對的平面區(qū)域 ABC不括邊界 ，由 解 ，由 解得 ，由 解 ，1 (1) 的積為 BC h 到 Oa 軸的距2 2b(2) 幾意義是，)點(diǎn) D，連的斜率a2 1 2 ， ，1 4 1b由圖可知 k ，a1 b b 1 1即 ， .4 a 4(3)a1)2b2)2表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)ab與點(diǎn)，之距離的平方，由圖可知，當(dāng)取點(diǎn) C，0)時(shí)最小值 8，當(dāng)點(diǎn) ，時(shí)最大值 17，(2b2的值域(，二、數(shù)形結(jié)合思想在不等式求最問題、求方程的根的相關(guān)問題中的應(yīng)用，【例 】若 xy 滿約束條0， 則 的大值為_x，【答案】 3y【解析】 作約束條件確定的行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知， 是行域內(nèi)一點(diǎn)原x 點(diǎn)

6、連線的斜率，由圖可知，點(diǎn) A 與點(diǎn)連線的斜率最大聯(lián)立 ，解得 A(1，以 的最值1 2 1 2 3.，【例 】設(shè)函數(shù) fx 若 f，(，則函數(shù) (xf(x 零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【答案】 3【解析】 圖像進(jìn)行解決將函數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)有相等的解的問題，再利用函數(shù)的由 f4)f， 16b由 f，得 聯(lián)立兩方程解得b，2. 0，于是fx) 在同一直角標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù) f(x與數(shù) 圖像，知它們有 3 個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而函數(shù)亦有 3 個(gè)點(diǎn)【例 】 若程 2x)在 x，內(nèi)唯一解，求實(shí)數(shù) m 的值范圍【解析】將對數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)

7、行解決原方程變形，即.設(shè)曲線 y 2，和線 y ，圖像如圖所示由圖可知： 當(dāng) 時(shí)，有唯一解，1；當(dāng) 4 時(shí)，有唯一解，即0.A DmaxA Dmax綜上可知，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 或0. 三、數(shù)形結(jié)合思想在平面解析幾中的應(yīng)用【例 】已知直線 與 y 及物線 2 依交于 A、C、D 四點(diǎn)，則CD等( )A B C D16 【答案】 C【解析】 直 y 恰經(jīng)過拋物線 y2x 的點(diǎn) F(20) x2 的心坐標(biāo)為，0)，徑為 ，有AD |ABCD CDAD R. 由 2x，知AD x ，CD ，故選 C. 鞏訓(xùn) 已知 x， 滿約束條0，則 zy 的大值是【答案】【解析】 約條，表示的可行域如圖中陰影

8、部分所示：1 z 1 z 1 z目標(biāo)函數(shù) y，即 y ，平移直線 x ，可當(dāng)直線 x 經(jīng)過線 3x2 2 2 2 2 2 與 的交點(diǎn)，時(shí)2y 得最大值，為 z 345.2設(shè)奇函數(shù) f(x在，上單調(diào)遞增函數(shù)，且 (2)0，則不等式 x(fx)0 的解集_a a a aa a a a【答案】，【解析】由 f(xf(xxf(xx)0 的 集為(2)(23.已知點(diǎn) P 在拋物線 yx 上，那么點(diǎn) P 到 Q(2，的離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最 小值時(shí)，點(diǎn) 的標(biāo)為1【答案】 ，1)4【解析】 定 (2，1)在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定知，動(dòng)點(diǎn)P 到物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn) 線的距離，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)

9、點(diǎn) P 到 和拋物線準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)，顯然點(diǎn) 是線y 和拋物線 y21x 的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，1)4若 (，)【答案】，時(shí)，不等式x1)log x 恒立，則實(shí)數(shù) a 的值范圍_【解析】 設(shè) ()(x1)2，f(x)log x，要使當(dāng) x，)afx x 的方即可a時(shí)，不等式1)log x 恒立，只需 gx1)2a在12)的圖像在當(dāng) 0sin2 (0a對意 ， )都立，則數(shù) 取值范圍為( )4 A， ) ， ，1) D ，4 4 4 4【答案C【解析】 記 x， ，不等式相當(dāng)于 y ，出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖所示，知 y x 過點(diǎn) A( ，1)時(shí) ，以當(dāng) ay .4 4 7已知 yfx是最小正周期為 2 的函數(shù)，當(dāng) 11時(shí)，x2，函 fxx)圖與 y 圖的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 )5A B9 C D 【答案C【解析】 因數(shù) yxx)與 y|log 均偶函數(shù)，故研究它們在 右側(cè)交點(diǎn)情況即作函數(shù)圖像如圖所示，從圖可知，當(dāng) 5 時(shí)有交點(diǎn)，故在 y 右交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ，由對稱性知， 軸左側(cè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)也是 5.則兩個(gè)函圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 10 77三解題x，8.已知函數(shù) () 是偶函數(shù)，直線 yt 與數(shù) (x)的像自左右依次交于四個(gè)不，0同