平穩(wěn)時(shí)間序列的ARMA模型

1、 ARMA1平穩(wěn)性有一類描述時(shí)間序列的重要隨機(jī)模型受到了人們的廣泛關(guān)注，這就是所謂的平穩(wěn)模型。這類模型假設(shè)隨機(jī)過(guò)程在一個(gè)不變的均值附近保持平衡。其統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。移發(fā)生變化。平穩(wěn)的定義分為定義1（嚴(yán)平穩(wěn)） # 設(shè)x,t,T是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程t量，在不同的時(shí)刻x是在不同的時(shí)刻tt的隨機(jī)變t是不同的隨機(jī)變量，任取n個(gè)值t,t和任1n 意的實(shí)數(shù)汕則xx分布函數(shù)滿足關(guān)系式1nF（x，x;t，t）F（x，x;t+h，t+h）n1n1nn1n1n則稱,x,tt為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。t在實(shí)際中，這幾乎是不可能的。由此考慮到是否可以把條件放寬，僅僅要求其數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差）相等。定義2（寬平

2、穩(wěn)）若隨機(jī)變量,x,tT的均值（一階矩）和協(xié)方差（二階矩）t存在，且滿足：任取tT，有E(x)二c；t任取tT，t+，T，有E(X(t)a)(X(t+,)a)=R(,)協(xié)方差是時(shí)間間隔的函數(shù)。則稱x,tT為寬平穩(wěn)過(guò)程,t其中R(,)為協(xié)方差函數(shù)。2各種隨機(jī)時(shí)間序列的表現(xiàn)形式白噪聲過(guò)程（whitenoise,如圖1）。屬于平穩(wěn)過(guò)程。兒=u,uIID(0,0)tt3whitenoise210-1-2-3100120140160180200220240260280300圖1白噪聲序列（0=1）隨機(jī)游走過(guò)程（randomwalk，如圖11）。屬于非平穩(wěn)過(guò)程。yt=yt-1+ut,utiid(o,10y

3、=y(-1)+u5-5-1020020406080100120140160180圖2隨機(jī)游走序列（2=1）2DJPY1-1-2220240260280300320340360380400220020001800160014001200圖3日元兌美元差分序列 #50100150200250300 圖4深圳股票綜合指數(shù)10080604020750800400450500550600650圖5隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（=0.1）200-20-40-60-80100200300400500600700800圖6隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（=-0.1）10.0Ln(Income)9.59.08.58.07.57.05

4、560657075808590圖7對(duì)數(shù)的中國(guó)國(guó)民收入序列 1412108640050556065707580859095圖8中國(guó)人口序列3延遲算子延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過(guò)去撥了一個(gè)時(shí)刻，記B為延遲算子，有x=Bpx,p1。tpt特別1-B)是差分算子。4ARMA(p,q)模型及其平穩(wěn)性和可逆性4.1模型類型及其表示在平穩(wěn)時(shí)間序列的分析中，應(yīng)用最廣泛的是有限參數(shù)模型。p階自回歸模型：用自己的過(guò)去和現(xiàn)在的隨機(jī)干擾表X。tx，X+X+X+aa是白噪聲。t1t12t2ptpttq階移動(dòng)平均模型：用現(xiàn)在和過(guò)去的隨機(jī)干擾表x。tX，aaaatt

5、1t12t2qtqp階自回歸和q階移動(dòng)平均模型：自己的過(guò)去及過(guò)去和現(xiàn)在的隨機(jī)干擾表X。tX一X一X一一X，a一a一a一一at1t12t2ptpt1t12t2qtq其中a是白噪聲序列。t4.2平穩(wěn)性X，X+X+X+a是平穩(wěn)時(shí)間序列的反映t1t12t2ptpt嗎？如果它是平穩(wěn)時(shí)間序列的模型，回歸系數(shù)應(yīng)該滿足何種條件呢？例設(shè)X是一階自回歸模型，即X，X+a或tt1t1t(B)X，a，其中(B)，1Btt11則X，；a(利用等比級(jí)數(shù)的通項(xiàng)和公式)t(1B)t=無(wú)jBja1tj，o=藝ja1tjj，o如果I1，X，藝4ja,a的系數(shù)隨著j的增加而1t1tjtjj,o趨于無(wú)窮大，這顯然違背了“遠(yuǎn)小近大”的

6、原則，由此可見(jiàn)，平穩(wěn)的充分必要條件是II1，II1,X二-jXatit-jtX的系數(shù)隨著j的增加而趨于無(wú)窮大，這顯然違背了“遠(yuǎn)小t-j丿近大”的原則，由此可見(jiàn)，X=a，a的逆轉(zhuǎn)形式存在的tt1t1充分必要條件為I11，I1p。kk注：偏自相關(guān)函數(shù)的概率意義是在給定X，,X的條件t1tk+1下，X和X的相關(guān)系數(shù)。ttkARMA（p，q）模型自相關(guān)和偏自相關(guān)均拖尾，但是快速收斂到零。表1自相關(guān)和偏自相關(guān)特征表偏自相關(guān)函數(shù)AR(p)MA(q)ARMA(P,q)拖尾截尾拖尾截尾拖尾拖尾型自相關(guān)函數(shù)對(duì)一個(gè)實(shí)際時(shí)間序列，我們能掌握的是一段樣本數(shù)據(jù)，所以首先要利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。

7、【例】利用1997年1月2002年12月到北京海外旅游人數(shù)資料繪制自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，在這里去掉了2003年的數(shù)據(jù)是由于非典的流行使2003年到北京旅游的人數(shù)銳減，出現(xiàn)奇異值，不具有一般性。如圖17所示。 1 #圖171997年1月2002年12月到北京海外旅游人數(shù)曲線圖 1 #Autocorrelations:SARSAuto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1.587.115.o*.*25.892.0002.358.115.o*.*35.657.

8、0003.166.114o*37.775.0004.074.113O*38.205.0005.068.112O*38.573.0006.183.111.o*41.281.0007.034.110o*41.377.0008.011.110.*.41.387.0009.095.109o*42.154.00010.253.108.o*.*47.641.00011.427.107.o*.*63.578.00012.660.106.o*.*102.277.00013.386.105.o*.*115.737.00014.179.104.o*118.679.00015.038.103.o*.118.814.

9、00016-.022.103.*.118.860.000Autocorrelations:SARSPlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.圖1897年1月到02年12月到北京海外旅游人數(shù)自相關(guān)圖圖18顯示滯后一期和滯后兩期的自相關(guān)函數(shù)分別為0.5874和0.35818，超過(guò)了兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，顯著不為零，以后的自相關(guān)函數(shù)均顯著為零，直到滯后期為周期的長(zhǎng)度12時(shí)，自相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)了峰值，為0.66015，這是季節(jié)性時(shí)間序列的十分典型的特征，該序列從自相關(guān)函數(shù)看長(zhǎng)期趨勢(shì)并不十分顯著。而且可能建立MA模型會(huì)產(chǎn)生過(guò)多的參數(shù)，于是可能適應(yīng)的AR模型

10、。根據(jù)偏相關(guān)系數(shù)，如圖19所示PartialAutocorrelations:SARSPr-Aut-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1.587.118.o*.*2.020.118.*.3-.080.118.*o.4.003.118.*.5.064.118.o*.6.197.118.o*.7-.255.118*O.8.036.118o*9.223.118.o*.10.248.118.o*11.239.118.o*12.391.118.o*.*13-.305.118*.*o.14-

11、.165.118.*o.15-.044.118.*o.16-.029.118.*o.PlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.圖1997年1月到02年12月到北京海外旅游人數(shù)偏自相關(guān)圖偏自相關(guān)函數(shù)圖19顯示滯后期為1，7，12和13的偏自相關(guān)函數(shù)分別為0.5874、-0.2555、0.39145和-0.30474，顯著不為零，該時(shí)間序列的偏自相關(guān)函數(shù)顯示該時(shí)間序列可能適應(yīng)的模型(1B)(lB12)X，a和112tt(1BB7B12B13)X，a。171213tt我們模擬模型為(1B)(1B12)X，a。112tt表2模型(1B)(1

12、B12)X，a的參數(shù)估計(jì)表112tt參數(shù)參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差t值P值110.4959420.09480105.2314030.00000.7672140.076675610.0059730.000012卩22.7398662.186436110.4004260.0000StandarderrorAIC3.1740588Loglikelihood-189.48646384.97291SBC391.80291表2顯示，該模型為aX，22.739866+tt(10.495942B)(10.767214B12)進(jìn)一步對(duì)模型的適應(yīng)性進(jìn)行檢驗(yàn)，回歸系數(shù)均顯著外，殘差的自相關(guān)函數(shù)均落在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，可以認(rèn)為殘差序

13、列是白噪聲序列，如圖20所示。Auto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.口卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩卩口1-.048.115.*o.175.6762.039.115.O*.292.8643.040.114.o*.416.9374.056.113.O*.664.9565-.007.112.*.668.9856.112.111o*.1.681.9477.028.110o*.1.747.9728-.045.110*o.1.917.9839.117.109o*.3.083.96110.03

14、1.108o*.3.167.97711-.037.107*o.3.286.98612-.047.106*o.3.485.99113.130.105o*.5.011.97514.025.104o*.5.070.98515.017.103*.5.096.99116.067.103o*5.517.993圖20最終模型殘差的自相關(guān)函數(shù)圖最終模型殘差的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果表明殘差序列可以視為白噪聲序列，模型是適應(yīng)的。當(dāng)模型通過(guò)了檢驗(yàn)，我們可以用該模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和預(yù)測(cè)分析了。3時(shí)間序列建模的方法為了對(duì)時(shí)間序列建模有一個(gè)較全面的了解，下面從樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)出發(fā)，介紹建立時(shí)間序列模型的基本步驟。Box-Jenkins

15、方法是以序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性為依據(jù)，找出序列可能適應(yīng)的模型，然后對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)。通?？梢钥紤]的模型ARMA、ARIMA和乘積型季節(jié)模型。（一）模型的識(shí)別對(duì)于一組長(zhǎng)度為N的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)x,x,x，首先要對(duì)12N數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理的目的是實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)化，處理的手段包括差分和季節(jié)差分等。經(jīng)過(guò)預(yù)處理的新序列能較好滿足平穩(wěn)性條件。模型的識(shí)別包括差分階數(shù)d、季節(jié)差分階數(shù)D、模型階數(shù)、q、k和m的識(shí)別。識(shí)別的工具是自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。如果樣本的自相關(guān)函數(shù)(s)當(dāng)sq時(shí)顯著為零，則序列適應(yīng)的模型是MA(q)。如果樣本的偏自相關(guān)函數(shù)當(dāng)sp時(shí)顯ss著為零，則序列適應(yīng)的模型是AR,p)。若

16、樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾，并且按負(fù)指數(shù)衰減，則序列是ARMA序列，這時(shí)應(yīng)該從高階到低階擬合模型，從中選擇最佳的。當(dāng)自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，或是具有季節(jié)變化，那么觀測(cè)的序列是具有趨勢(shì)變動(dòng)或季節(jié)變動(dòng)的非平穩(wěn)序列，則需要做差分或季節(jié)差分，如果差分后的序列的樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不截尾又不拖尾，而在周期s的整倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，則序列遵從乘積型季節(jié)模型，否則遵從ARIMA模型。（二）模型的估計(jì)當(dāng)模型的階數(shù)確定之后，利用有效的擬合方法。如最小二乘估計(jì)，極大似然估計(jì)等方法，估計(jì)模型各部分的參數(shù)。（三）診斷性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦x擇檢驗(yàn)所選擇的模型是否能較好地?cái)M合數(shù)據(jù)。它包括模型過(guò)擬合和欠擬合檢驗(yàn)。通過(guò)檢

17、驗(yàn)的結(jié)果，修改模型。時(shí)間序列建模應(yīng)該基于簡(jiǎn)約的原則，即用盡可能少的模型參數(shù)，對(duì)模型做出盡可能精確估計(jì)。所以在選擇模型時(shí)應(yīng)該反復(fù)試探，這是一個(gè)識(shí)別，建模，再識(shí)別，再建模的過(guò)程。附錄1AR模型平穩(wěn)的充分必要條件。由于(B)X=att有X二1at(B)t111設(shè)(B)=0有個(gè)根，則(B)可表示為，九九12p(B)=c(1-,B)(1-,B)(1-,B)，c為常數(shù)，不妨假設(shè)12p11為1。貝0X二a=at(B)t(1-,B)(1-,B)(1-,B)t12p用待定系數(shù)法，有是有限實(shí)數(shù)）kX1a=YAka(其中t(B)t(1-,B)tTOC o 1-5 h zk1k再用等比級(jí)數(shù)通項(xiàng)和公式，有X1at(B)

18、t=pA.(1-LB)/k1k=YA(藝,jBj)akktk1j0=藝(YAkkt-jj0k1,Aj是把X表示為白噪聲的加權(quán)和的系數(shù)，根據(jù)前面kktk=11的結(jié)論，如果X=a平穩(wěn)，其充分必要條件為權(quán)系數(shù)絕t(B)tk1,的模大于1，即在單位圓外。p對(duì)收斂，權(quán)系數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件為所有的模小于111，所以其根121,1,12可見(jiàn)自回歸模型的自回歸多項(xiàng)式如果有在單位圓上的根,的模大于1，則,的模小于1。12Pp1則可以稱為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，或存在趨勢(shì)。附錄2MA模型可逆的充分必要條件設(shè)時(shí)間序列X是m階滑動(dòng)平均模型，有tX，aaaa，0(B)att1t12t2qtqt其中：0(B)，1BB2Bq12qX可逆的充分必要條件是：t特征方程0(z)，1zz2Zq，0的根在單位圓外。證：假設(shè)0(z)，1一z-z2Zq，0有m個(gè)根TOC o 1-5 h z12q11120(B)，1-B-B2Bq12q(1-vB)(1-vB)(1-vB)12q11故a，X，.Xt0(B)t(1-vB)(1-vB)(1-vB)t HYPERLINK l bookmark7312q用待定系數(shù)法，有上式為：