量綱分析與相似原理流體力學(xué)

1、量綱分析與相似原理流體力學(xué)第1頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三應(yīng)變率 角速度，角加速度 其他量粘度，運動粘度壓強，壓力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質(zhì)量流量 速度，加速度 常用量 B5.1 量綱與物理方程的量綱齊次性(5-2)第2頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三注： 為溫度量綱比焓，比內(nèi)能比熵 導(dǎo)熱系數(shù)比定壓（容）熱容表面張力功率能量，功，熱動量，動量矩慣性矩，慣性積B5.1 量綱與物理方程的量綱齊次性(5-3)第3頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三同一方程中各項的量綱必須相同。用基本量綱的冪次式表示時，每個基

2、本量綱的冪次應(yīng)相等，稱為量綱齊次性。量綱齊次性原理常數(shù) （沿流線）B5.1 量綱與物理方程的量綱齊次性(5-4)單位體積流體伯努利方程第4頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無量綱化伯努利方程 在無粘性圓柱繞流中上下側(cè)點其他點 以上結(jié)果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。前后駐點柱面上：柱面外：流場中 還與無量綱半徑 r/a 有關(guān)CDABaB5.1 量綱與物理方程的量綱齊次性(5-5)第5頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.2 量綱分析與定理量綱分析概念一個方程中各項的量綱必須齊

3、次； 一個流動過程中各物理量在量綱上存在相互制約關(guān)系，可以按量綱齊次性原理作分析。類比：角色分析 量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過對有關(guān)的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數(shù)之間的關(guān)系代替有量綱的物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導(dǎo)理論分析和實驗研究。 B5.2 量綱分析與定理第6頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三x1 =(x 2，x 3, , x n ) 1 = f (2, 3, , n-r ) 提議用量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎(chǔ)的是布金漢（E.Bu

4、ckingham,1914): B5.2.1 定理定理方 法充要條件n個物理量r個獨立基本量n-r個導(dǎo)出量選r個獨立基本量組成n-r個獨立數(shù)量綱分析方法等B5.2.1 定理第7頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.2.2 量綱分析法一般步驟：以圓柱繞流為例第1步、列舉所有相關(guān)的物理量。第2步、選擇包含不同基本量綱的物理量為基本量（或稱為 重復(fù)量，取3個）。 第3步、將其余的物理量作為導(dǎo)出量，分別與基本量的冪次式 組成表達式。 阻力密度速度直徑粘度系數(shù)選 、V 、d導(dǎo)出量即 、 B5.2.2 量綱分析法(4-1)第8頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星

5、期三B5.2.2 量綱分析法(4-2)第4步、用量綱冪次式求解每個表達式中的指數(shù)，組成數(shù)。 解得 a1 = -1 , b1 = -2 , c1= -2（CD 稱為阻力系數(shù)） 第9頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.2.2 量綱分析法(4-3)解得: a 2 = -1, b 2 = -1, c 2 = -1 （Re為雷諾數(shù)） 第5步、用數(shù)組成新的方程。 1 = f (2 ) 第10頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.2.2 量綱分析法(4-4)量綱分析優(yōu)點FDFDFDVdFD第11頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三

6、不可壓縮牛頓粘性流體在內(nèi)壁粗糙的直圓管中作定常流動，分析壓強降低與相關(guān)物理量的關(guān)系。 例B5.2.1 粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟(4-1) 解：1列舉物理量。p，V，d，l，共7個2選擇基本量：、V、d 3列表達式求解數(shù) 1=a V bd cp M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 )b L c (M L 1 T 2 )第12頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三例B5.2.1粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟(4-2) 解得： a = -1 , b = -2 , c = 0（歐拉數(shù)，1/2是人為加上去的） 2 =a b b c

7、 c M 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 ) b L c (M L 1 T 1 ) 第13頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三例B5.2.1粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟 (4-3)解得：a = b = c = -1 (雷諾數(shù)) 3 =a V bd cM 0 L 0 T 0 = (M L 3 ) a (L T 1 ) b L c L 解得：a = b = 0， c = -1 第14頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三例B5.2.1粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟(4-4) （相對粗糙度） 4 =a V b

8、d c l (同上) （幾何比數(shù)） 4列數(shù)方程即或第15頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三不可壓縮流體在重力作用下從三角堰中定常泄流，求泄流量的表達式。 例B5.2.2三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-1) 2選擇基本量：、g、h 3列表達式求解數(shù)解：1列舉物理量。Q ,，g ，h ， 共5個 M 0 L 0 T 0 = ( M L 3 ) a ( L T 2 ) b L c ( L 3 T 1 ) 第16頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三例B5.2.2三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-2) 解得：a = 0, b = - 1 /

9、 2, c = - 5 / 24列數(shù)方程1= f (2) （弧度，無量綱） 第17頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三例B5.2.2三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-3) 或 討論：結(jié)果表明Q與無關(guān)，與h成5/2次方關(guān)系。與例B4.3.1B中的解析式一致，解析式為 對一孔口角已確定的三角堰，(c )式已明確地表達了Q與h的理論關(guān)系，在這里量綱分析結(jié)果與解析解起同樣的作用。 由實驗確定( c) 第18頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.3 流動相似與相似準則幾何相似同類現(xiàn)象相似現(xiàn)象B5.3.1 流動相似性流動相似形狀相似尺度成比例遵循同一

10、方程物理量成比例尺度成比例時間成比例速度成比例力成比例幾何相似時間相似運動相似動力相似B5.3 流動相似與相似準則第19頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.3.2 相似準則矩形相似稱為無量綱邊長，h 為特征長度。的數(shù)值代表所有相似矩形的特征（長寬比），稱為相似準則數(shù)。數(shù)相等的矩形相似。B5.3.2 相似準則(2-1)第20頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.3.2 相似準則(2-2)流動相似當(dāng)F 為粘性力， 為粘性流動動力相似準則數(shù)以慣性力為特征力幾何相似準則數(shù)：以b 為特征長度 運動相似準則數(shù)：以 為特征速度 動力相似準則數(shù)：當(dāng)F 為重

11、力， 為重力流動動力相似準則數(shù)第21頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.4 相似準則數(shù)的確定量綱分析法對不可壓縮粘性流體的流動：，V，l，g，p， 雷諾數(shù) 弗勞德數(shù) 歐拉數(shù) 斯特哈爾數(shù) 優(yōu)點：適用未知物理方程的流動。 缺點：選準物理量較難，物理意義不明確。B5.4 相似準則數(shù)的確定(7-1)第22頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三方程分析法引入特征物理量，將各類物理量無量綱化后代入方程，在無量綱化的方程中，由特征物理量組成的無量綱數(shù)即相似準則數(shù)。以N-S 方程x 方向的投影式為例 引入特征速度V，特征長度l，特征壓強p0，特征質(zhì)量力g，特征時

12、間1/ (B5.4.2)B5.4 相似準則數(shù)的確定(7-2)第23頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三代入 ( B5.4.2 ) 無量綱系數(shù)為Sr，F(xiàn)r2，Eu和 Re1 數(shù)，分別代表了各種力與遷移慣性力的量級比值 B5.4 相似準則數(shù)的確定(7-3)第24頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三優(yōu)點：導(dǎo)出的相似準則數(shù)物理意義明確； 缺點：不能用于未知物理方程的流動。 無量綱方程既適用于模型也適用于原型。B5.4 相似準則數(shù)的確定(7-4)第25頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三物理法則分析法 根據(jù)物理法則或物理定律用特征物理量表

13、示各種力的量級，用這些力的量級比值構(gòu)成相似準則數(shù)。與流體元尺度相應(yīng)的特征物理量 l與流體元速度相應(yīng)的特征速度 V與流體元質(zhì)量相應(yīng)的特征質(zhì)量 與流體元粘性相應(yīng)的粘度 與流體元壓強相應(yīng)的壓強差 與流體元不定常運動相應(yīng)的特征角速度B5.4 相似準則數(shù)的確定(7-5)第26頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三遷移慣性力粘性力重力B5.4 相似準則數(shù)的確定(7-6)第27頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三遷移慣性力壓差力不定常慣性力優(yōu)點：導(dǎo)出的相似準則數(shù)物理意義明確； 缺點：當(dāng)無法判定控制流動的物理定律時不能運用。 適用于未知物理方程的流動。B5.4 相似準

14、則數(shù)的確定(7-7)第28頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三氣體高速運動時壓縮性可用體積彈性模量K表示；在毛細管液面上的表面張力用表面張力表示。例B5.4.1用物理法則確定Ma數(shù)和We數(shù)(2-1)馬赫數(shù)Ma定義為試用物理法則法確定（1）馬赫數(shù)Ma（2）韋伯?dāng)?shù)We。壓縮力解：因 按物理法則法 第29頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三例B5.4.1用物理法則確定Ma數(shù)和We數(shù)(2-2)表面張力= 。韋伯?dāng)?shù)定義為 第30頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.5 常用的相似準則數(shù)1. Re 數(shù)(雷諾數(shù)) 低雷諾數(shù)粘性流動平板邊界

15、層 外流速度 距前緣距離鈍體繞流 來流速度 截面寬度圓管流動 平均流速 管直徑 V l區(qū)分管內(nèi)粘性流動層流與湍流態(tài)邊界層外無粘流邊界層內(nèi)以 為界區(qū)分層流與湍流態(tài)B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-1)第31頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三2. Fr 數(shù)(弗勞德數(shù)) 明渠流 平均流速 水深水面船舶 船舶速度 船長 V l Fr 數(shù)是描述具有自由液面的液體流動時最重要的無量綱參數(shù)。如水面船舶的運動和明渠流中的水流。 B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-2)第32頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三3. Eu 數(shù)(歐拉數(shù)) p 可以是某一點的特征壓強，也可以是

16、兩點的壓強差；V 為特征速度，為流體密度。在描述壓強差時，Eu數(shù)常稱為壓強系數(shù)當(dāng)在液體流動中局部壓強低于當(dāng)?shù)卣羝麎簭?pv 時，Eu 數(shù)又稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù) B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-3)第33頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三4Sr數(shù)（斯特哈爾數(shù)） l 為特征長度，V 為特征速度， 為脈動圓頻率。 Wo數(shù)（沃默斯利數(shù)）v 為流體的運動粘度，Wo 數(shù)也稱為頻率參數(shù)，表示不定常慣性力與粘性力之量級比,用于描述粘性流體脈動流特征。 B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-4)第34頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三5Ma數(shù)（馬赫數(shù)） Ma = V /

17、 c V 為特征速度，c 為當(dāng)?shù)芈曀佟?Ma 數(shù)表示了慣性力與壓縮力之量級比，主要用于高速氣流，當(dāng)0.3 Ma 1時氣體速度大于聲速(超聲速）。 6We 數(shù)（韋伯?dāng)?shù)） 為液體的表面張力。 B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-5)第35頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三7Ne 數(shù)（牛頓數(shù)） F 為外力，Ne 數(shù)表示外力與流體慣性力之量級比，用于描述運動物體在流體中產(chǎn)生的阻力、升力、力矩和（動力機械的）功率等等影響。當(dāng)F 為阻力FD時，Ne 數(shù)稱為阻力系數(shù) We數(shù)表示慣性力與表面張力之量級比，研究氣液，液液及液固交界面上的表面張力作用。 B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-6)第3

18、6頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三描述力矩作用M 時，變?yōu)榱叵禂?shù) D 為動力機械旋轉(zhuǎn)部件的直徑，n 為轉(zhuǎn)速。 當(dāng)F 為升力FL 時，Ne 數(shù)稱為升力系數(shù) B5.5 常用的相似準則數(shù)(7-7)描述動力機械的功率 時，變?yōu)閯恿ο禂?shù) 第37頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三什么是模型實驗？ B5.6 模型實驗與相似原理B5.6.1 模型實驗 模型實驗通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實際發(fā)生的物理現(xiàn)象的實驗。實際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象。模型實驗的側(cè)重點是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)。只有保證模型實驗和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實驗才是有價值的。2為

19、什么要進行模型實驗？ 直接對原型做實驗既不經(jīng)濟又不方便 ，在生產(chǎn)設(shè)計過程中也需要模型實驗 。B5.6.1 模型實驗(2-1)第38頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.6.1 模型實驗(2-2) 并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實驗。能做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必做大量的模擬實驗。 并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實驗。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實驗。 B5.6.2 相似原理 定理指出，描述原型流動現(xiàn)象的方程可化為若干個獨立的數(shù)的方程1 = f (2, 3, n ) 也適用于相

20、似的模型現(xiàn)象（腳標m） 1m = f (2 m, 3 m, n m ) 第39頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三B5.6.2 相似原理(2-2)這就是模型實驗的相似原理.(B5.6.3)式稱為相似條件， (B5.6.4)式稱為相似結(jié)果。 在相似條件中找出支配流動現(xiàn)象的主要條件，該條件中的數(shù)是由支配流動現(xiàn)象的主要物理法則導(dǎo)出的相似準則數(shù)，稱為主相似準則數(shù)，或簡稱為主數(shù)。在幾何相似的條件下，保證模型和原型現(xiàn)象中的主數(shù)相等，就能保證模型和原型現(xiàn)象相似，并使除主數(shù)外的其他相關(guān)數(shù)也相等。 當(dāng) 2 m=2，3 m= 3，n m= n (B5.6.3) 1= 1 m (B5.6.4)

21、得第40頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三一塊長寬= lh 的光滑矩形板，迎面在粘度為的流體中以速度V作勻速運動，如圖示。用按一定比例縮小的模型作模型實驗，并測量其運動阻力FDm。例B5.6.2 矩形板繞流阻力：相似原理(3-1)試討論模型與原型相似的條件和結(jié)果。解：設(shè)矩形板繞流阻力FD= f (, , V, l, h ) 以，V，h 為基本量，數(shù)方程為 式中 為主數(shù) . (a) 式既適用于原型也適用于模型，在模型中(a)第41頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三根據(jù)相似原理，為保證模型和原型的流動相似，必須滿足相似條件 例B5.6.2 矩形板繞流阻力：相似原理(3-2)其中(d) 式稱為幾何相似條件，當(dāng)比例尺確定后，矩形的長和寬按比例縮小。(c)式稱為動力相似條件，當(dāng)選擇實驗流體的密度和粘度分別為m 和m 后，由(c )式確定速度條件Vm ： (c)和(d)(e)第42頁，共46頁，2022年，5月20日，21點50分，星期三在模型實驗中測得模型的阻力為FDm ，由( f )式計算原型的阻力為例B5.6.2 矩形板繞流阻力：相似原理(3-3) 對某一長度比 l1 /