福州大學質點動力學

1、第二章 質點動力學基本定律2.1 牛頓運動定律2.1.1 牛頓運動定律 牛頓第一定律（慣性定律）:任何物體都具有保持靜止或勻速直線運動的性質，直到其他物體迫使它改變這種狀態(tài)為止。說明：1.慣性： 任何物體保持其運動狀態(tài)不變的性質。2.牛頓第一定律只適用于慣性參照系。 滿足牛頓第一定律的參照系為慣性參照系。相對慣性系靜止或勻速直線運動的參照系也是慣性系。牛頓第二定律：物體受到外力作用時，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。數學形式：或在直角坐標系Oxyz中： 在自然坐標系中 ：2.牛頓第二定律給出了慣性的確切定義：質量是物體慣性的量度。

2、質量越大慣性越大，改變物體的運動狀態(tài)就越不容易；說明：1.牛頓第二定律中 和 的關系為瞬時關系。牛頓第三定律（作用力與反作用規(guī)律）：作用力和反作用力總是大小相等、方向相反、作用在同一條直線上。說明：牛頓第三定律對力的性質加以補充，力的來源為物體間的的相互作用，數學形式：2.1.2 力學中常見的幾種力 1.萬有引力萬有引力定律：任何兩個質點之間都存在互相作用的引力,引力的方向沿著兩個質點的連線方向；其大小與兩個質點質量ml和m2的乘積成正比，與兩質點之間的距離R的平方成反比。 數學矢量形式：是由施力質點指向受力質點的單位矢量， 稱為引力常量負號表示萬有引力 的方向與 的方向相反。 在地球表面附近

3、：2.彈力彈力：發(fā)生形變的物體，由于力圖恢復原狀，對與它接觸的物體產生的作用力。如壓力、張力、拉力、支持力、彈簧的彈力。（1）輕繩中的張力T處處相同，指向繩子收縮方向。（3）彈簧中的彈力F=-kx指向彈簧原長處（k為彈簧的勁度系數 ）。（2）物體間的正壓力、支持力總是垂直于接觸點的切面指向對方。Ox3.摩擦力（1）靜摩擦力 當物體與接觸面存在相對滑動趨勢時，物體所受到接觸面對它的阻力。其方向與相對滑動趨勢方向相反。靜摩擦力的大小隨外力的變化而變化。（2）滑動摩擦力 當物體相對于接觸面滑動時，物體所受到接觸面對它的阻力。其方向與滑動方向相反。為滑動摩擦系數最大靜摩擦力：S為靜摩擦系數2.1.3

4、牛頓運動定律的應用 求解動力學問題的原則依據和思想方法 力對質點運動情況的影響是通過加速度表現出來的。 牛頓運動定律與質點運動學相結合，就提供了解決各種各樣動力學問題的原則依據，其中“加速度”這個物理量起著重要的“橋梁”作用。 質點在各個瞬時的加速度再附以適當的初始條件，就完全可以確定物體的運動情況。 反過來，知道質點的運動情況就能確定物體的加速度，而由加速度可以知道質點的受力情況。1.確定研究對象，對于物體系，畫出隔離圖 ；2.進行受力分析，畫出受力圖；3.分析研究對象的運動過程，確定加速度a；4.建立坐標系，列方程求解。運用牛頓定律解決問題的步驟: 應用牛頓運動定律求解問題，一般有兩種類型

5、：一類是已知力求運動，另一類是已知運動求力。 重點掌握變力的問題!質點動力學基本運動方程:例：一根長為L，質量為M的柔軟的鏈條，開始時鏈條靜止，長為Ll 的一段放在光滑的桌面上,長為l 的一段鉛直下垂。(1)求整個鏈條剛離開桌面時的速度；(2)求鏈條由剛開始運動到完全離開桌面所需要的時間。例：已知一質量為 m 的質點在 x 軸上運動,質點只受到指向原點的引力作用,引力大小與質點離原點的距離 x 的平方成反比,即f = -k/x2, k 是比例常數,設質點在 x = A 時的速度為零,求 x = A / 2 處的速度大小。解:小球受力如圖，根據牛頓第二定律:例：質量為 m 的小球在水中受的浮力為

6、常力 F,當它靜止開始沉降時,受到水的沾滯阻力為 f = kv（ k為常數 ）,求小球在水中豎直沉降的速度 v 與時間 t 的關系。例：鉛直平面內的圓周運動。如圖所示，長為l的輕繩，一端系質量為 m 的小球，另一端系于定點O。開始時小球處于最低位置。若使小球獲得如圖所示的初速 v0，小球將在鉛直平面內作圓周運動。求小球在任意位置的速率 v 及繩的張力 T。解：t=0時，小球位于最低點，速率為 v0。 時刻 t 時，小球位于 P 點，輕繩與鉛直成 角，速率為 v。建立自然坐標系，由牛頓第二定律：有由（1）式右邊上下同乘將上式代入（2）式，得：2.2 動量定理和動量守恒定律2.2.1 動量定理 1

7、.動量 物體的運動狀態(tài)不僅取決于速度，而且與物體的質量有關。動量：運動質點的質量與速度的乘積。大小：m v；單位：kgm/s方向：速度的方向；由n個質點所構成的質點系的動量：2.沖量沖量反映力對時間的累積效應。沖量：大小：方向：速度變化的方向單位：Ns恒力的沖量： 運動員在投擲標槍時，伸直手臂，盡可能的延長手對標槍的作用時間，以提高標槍出手時的速度。 3.質點動量定理牛頓運動定律：動量定理的微分式：如果力的作用時間從 ，質點動量從 質點動量定理：質點所受合外力的沖量，等于該質點動量的增量。質點動量定理積分式動量定理的分量式：平均沖力：物體動量變化一定的情況下，作用時間越長，物體受到的平均沖力越

8、??；反之則越大。 說明：2. 計算物體沖量時，只須知道質點始末兩態(tài)的動量的變化即可，無須確定各個外力 。1.沖量的方向與動量增量的方向一致。例：以速度v0水平拋出一質量為m的小球，小球與地面作用后反彈為原高度h時速度仍為v0，作用時間t 求地面對小球的平均沖力。4.質點系的動量定理處理方法：先研究每一個質點，然后再對它們求和。對質點系中第i個質點應用動量定理，有：將上式對所有質點求和，得：上式可寫成：把作用力分為外力和內力，即：系統(tǒng)末動量系統(tǒng)初動量質點系的動量定理：質點系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。強調：系統(tǒng)的內力不能改變系統(tǒng)的總動量。2.2.2 動量守恒定律 質點系的動量定理：當

9、 時：動量守恒定律：當系統(tǒng)所受的合外力為零時，系統(tǒng)的總動量守恒。說明： 前者保證整個過程中動量守恒，后者只說明始末時刻動量相同。2.質點系所受合外力為零，每個質點的動量可能變化，系統(tǒng)內的動量可以相互轉移，但它們的總和保持不變。3.若合外力不為零，但在某個方向上合外力分量為零，則在該方向上動量守恒。4.自然界中不受外力的物體是沒有的，但如果系統(tǒng)的內力外力，可近似認為動量守恒。在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程中，往往可忽略外力。5.動量守恒定律只適用于慣性系，在微觀高速范圍仍適用。解：無牽引力和摩擦力，動量守恒。有牽引力：例：煤粉從漏斗中以dm/dt的流速豎直卸落在沿平直軌道行駛的列車中

10、，列車空載時質量為M0，初速為v0，求在加載過程中某一時刻t 的速度和加速度。如果要使列車速度保持v0，應用多大的力牽引列車？（忽略摩擦力）2.2.3 質心和質心運動定律1.質心設由n個質點構成一質點系 質量：m1， m2， mn位矢： ， ， 直角坐標分量式 連續(xù)體的質心位置：直角坐標分量式 ：1.對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質心都在它的幾何中心。說明：2.質心并不一定處在物體內部。2.質心運動定理質心位置公式：結論：質點系的總動量等于總質量與其質心運動速度的乘積。 質點系的總動量 質心運動的加速度質心運動定理：作用于質點系上的合外力等于質點系的總質量與質心加速度的乘積。質心的兩個重要性

11、質：1.系統(tǒng)在外力作用下，質心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質量。2.系統(tǒng)所受合外力為零時，質心的速度為一恒矢量，內力既不能改變質點系的總動量,也就不能改變質心的運動狀態(tài) 。2.3 角動量定理和角動量守恒定律2.3.1 角動量定理 1.角動量mo設：t時刻質點的位矢質點的動量運動質點相對于參考原點O的角動量定義為：大小：Lrmvsin方向：右手螺旋定則判定單位：kgm2/s如果質點繞參考點O 做圓周運動1.角動量是描述轉動狀態(tài)的物理量；說明：2.角動量與所取的慣性系有關；角動量與參考點O的位置有關。 設各質點對O點的位矢分別為動量分別為質點系的角動量2.力矩反映力的大小、方向和作用點對物

12、體轉動的影響大?。篗Frsin=Fdod方向：右手螺旋定則判定單位：Nm（不能寫為功的單位J）力臂d=rsin力與力臂的乘積。設：t時刻質點的位矢質點的受力為外力 對參考點O的力矩：設作用于質點系的作用力分別為：作用點相對于參考點O的位矢分別為： 相對于參考點O的合力矩為：注意合力矩與合力的矩的區(qū)別！3.質點的角動量定理質點的角動量 隨時間的變化率為 式中角動量定理微分形式結論：質點對某一參考點的合外力矩等于質點對同一參考點的角動量隨時間的變化率。將兩邊同時乘以dt，得：積分：角動量定理積分形式合力矩在t0到t時間內的沖量矩。結論：質點角動量的增量等于作用于質點上的沖量矩。4.質點系的角動量定

13、理第i個質點所受到的系統(tǒng)外物體對它的合作用力， 第i個質點所受到的系統(tǒng)內第j個質點對它的作用力， 第i個質點相對固定參考點O的位矢， 對第i個質點應用質點的角動量定理，有：對系統(tǒng)內所有質點求和，得到為質點系所受的合外力矩，為各質點所受的合內力矩的矢量和。 式中：有：式中：結論：質點系對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于系統(tǒng)所受各個外力對同一參考點力矩之矢量和。質點系角動量定理微分形式質點系角動量定理的積分式： 結論：作用于質點系的沖量矩等于質點系在作用時間內的角動量的增量 。2.3.2 角動量守恒定律 無論是一個質點還是由n個質點所組成的質點系： 質點或質點系的角動量守恒定律： 當系統(tǒng)所受外

14、力對某參考點的力矩之矢量和始終為零時，質點系對該點的角動量保持不變。 角動量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應用。 例：在光滑的水平面上,一根長L=2m的繩子,一端固定于O點,另一端系一質量為m=0.5kg的物體,開始時,物體位于位置A，OA間距離D=0.5m，繩子處于松弛狀態(tài),現在使物體以初速度vA=4ms-1垂直于OA向右滑動,如圖所示。設以后的運動中物體到達位置B,此時物體速度的方向與繩垂直,求此時刻物體角動量的大小和速率。解：在A點角動量為：在B點角動量為：根據角動量守恒定律，有：由得：解：在彗星繞太陽軌道運轉過程中，只受萬有引力作用，萬有引力不產生力矩，系統(tǒng)角動量守恒。近

15、日點遠日點由質點的角動量定義：有例：彗星繞太陽作橢圓軌道運動，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上，問系統(tǒng)的角動量是否守恒？近日點與遠日點的速度誰大？式中2.4 功和能2.4.1 動能定理 1.功和功率功是描寫力對空間積累作用的物理量。功的定義： 在力 的作用下，物體發(fā)生了位移 ，則把力在位移方向的分力與位移 的乘積稱為功。功的單位：J（焦耳）元功： 質點由a點沿曲線運動到b點的過程中，變力 所做的功 。在直角坐標系Oxyz中： 在自然坐標系中： 質點從s0位置沿曲線運動到s1位置時 ：合力的功：多個力對物體做功，等于各力對物體做功的代數和。1.功是標量，只有大小正負之分。說明：3.做功與參照系有關。

16、2.功是力對空間的積累作用，是過程量，與路徑有關。功率是反映做功快慢程度的物理量。功率：單位時間內所做的功。單位：W = Js-12.質點的動能定理 質點m在力的作用下沿曲線從a點移動到b點，質點在a點和b點的速度分別為 和 。元功：是描寫物體運動狀態(tài)的物理量，稱為動能 質點的動能定理：作用在質點上的合力對質點所做的功等于質點動能的增量。1.動能是描寫物體狀態(tài)的物理量，物體狀態(tài)的改變是靠做功實現的。說明：2.功是過程量，動能是狀態(tài)量，動能定理建立起過程量功與狀態(tài)量動能之間的關系。在計算復雜的外力做功時只須求始末兩態(tài)的動能變化，即求出該過程的功。功是能量變化的一種量度。3.質點系的動能定理（1）

17、內力的功為質點j對質點i的作用力，為質點i對質點j的作用力， 設t時刻第i和第j兩個質點相對于某參考系的位矢分別為 和 。在dt時間內第i和第j兩個質點相對于該參考系有位移 和 。 這兩個內力所做的元功之和 ：為第i個質點相對于第j個質點的位矢， 為第i個質點相對于第j個質點的位移。 同理：為第i個質點相對于第j個質點的位移。 結論：相互作用的一對內力的元功之和等于其中一個質點受的力與該質點相對于另一個質點的位移的標積。 一對相互作用的內力所做的功之和只決定于兩質點的相對位移，與所選的參考系無關。 （2）質點系的動能定理一個由n個質點組成的質點系，考察第i個質點。 其中對所有質點求和： 注意：

18、內力可能改變系統(tǒng)的總動能。質點系的動能定理：所有外力所做功和所有內力所做功之和等于質點系總動能的增量。例：質量為2kg的質點在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運動。求前三秒內該力所做的功。解法一：（一維運動可以用標量）解法二：例：如圖所示，用質量為m0 的鐵錘把質量為m 的釘子敲入木板。設木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？解： 設鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。有： 如圖建立坐標系，設x為鐵釘進入木板的深度，則木板對鐵釘的阻力為：

19、解得：第二次能敲入的深度為： 設鐵錘兩次錘擊時鐵釘進入木板的深度分別為s1和s2，根據動能定理，有：2.4.2 保守力和勢能 1.保守力（1）重力的功 質量為m的質點在重力作用下，從a點沿任意路徑運動到b點。 za和zb分別是物體的始末位置相對于參考平面的高度。結論：重力做功僅取決于質點的始末位置，與質點經過的具體路徑無關。 （2）萬有引力的功 設質量為M的質點固定，另一質量為m的質點在M 的引力場中從a點運動到b點。m受M的萬有引力為：式中：ra和rb分別為初態(tài)和末態(tài)時m相對于M的距離 結論：萬有引力做功只與質點的始、末位置有關，而與具體路徑無關。 （3）彈力的功由胡克定律： 物體從a點運動

20、到b點時，彈性力對物體做功為：xa和xb分別是物體的始末位置。結論：彈性力做功只與彈簧的起始和末了位置有關，而與彈性變形的過程無關。 如果一對力所作的功與相對路徑的形狀無關，而只決定于相互作用的質點的始末相對位置，這種力稱為保守力。 沿任意閉合路徑移動一周時,保守力所作的功所作的功必然為零。 要計算保守力的功，可以任意選擇你認為方便的路徑積分求功。作功與路徑有關的力為非保守力，如摩擦力。保守力性質：2.勢能保守力做功引起的能量變化只取決于質點位置的變化。 勢能（Ep）:由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量 當質點從a點運動到b點時，以EPa和EPb分別表示質點在a點和b點所具有的勢能， 保守力做功

21、Aab與勢能的關系可表示為 :結論：系統(tǒng)狀態(tài)變化時，保守力所做的功等于相應勢能增量的負值，或者說等于相應勢能的減少。勢能是一個相對的量。 要確定質點系在任一給定位置時的勢能值，就必須選擇某一位置作為參考點，并規(guī)定這個參考位置的勢能為零。這一參考位置叫做勢能零點。如果把b點作為勢能零點，即規(guī)定EPb=0，則空間a點的勢能為 :結論：質點在空間某點的勢能在數值上等于質點從該點沿任意路徑移到勢能零點的過程中保守力所做的功。 勢能的零點可以任意選取。重力勢能：（地面（h = 0）為勢能零點）彈性勢能：（彈簧原長位置為勢能零點）引力勢能：（無限遠處為勢能零點）1.勢能是由于物體的位置（或狀態(tài)）的變化而具

22、有的能量。2.引入勢能條件：質點系;保守力作功。說明：3.勢能是系統(tǒng)的，說物體的勢能不切確。5.選擇不同的勢能零點，系統(tǒng)在同一位置的勢能值是不同的。但根據A= -(EPb-Epa)可知，某兩個位置的勢能差是一定的，與勢能零點的選擇無關。6.勢能的絕對值沒有意義，只關心勢能的相對值。4.保守力做功與勢能的關系：A= -(EPb-Epa)=-EP。 如果把石頭放在樓頂，并搖搖欲墜，你就不會不關心它。一塊石頭放在地面你對它并不關心。例：豎直懸掛的輕彈簧下端掛一質量為m的物體后彈簧伸長y0且處于平衡。若以物體的平衡位置為坐標原點，相應狀態(tài)為彈性勢能和重力勢能的零點，求物體處在坐標為y時系統(tǒng)彈性勢能與重

23、力勢能之和。解：由題意有 以物體的平衡位置為坐標原點，相應狀態(tài)為彈性勢能和重力勢能的零點時2.4.3 機械能守恒定律 1.質點系的功能原理質點系的動能定理：機械能：其中質點系的功能原理：質點系機械能的增量等于所有外力和所有非保守內力所做功的代數和。 說明：1.注意與動能定理的區(qū)別。2. 功能定理也只適用于慣性系。 動能定理給出的是動能的改變與功的關系，應計算包括保守力在內的所有力的功； 功能原理給出的是機械能的改變與功的關系，它只須計算保守內力之外的其它力的功。例：一物體質量為 2kg，以初速 3.0m/s從斜面的點 A 處下滑，它與斜面之間的摩擦力為 8N，到達點 B 時，壓縮彈簧20cm 達到C點停止，然后又被彈送回去。求彈簧的勁度系數k和物體最后能到達的高度h。設彈簧系統(tǒng)的質量略去不計。解：(1