2023屆高三新高考數(shù)學(xué)試題一輪復(fù)習(xí)專題3.7函數(shù)與方程 教案講義 （Word解析版）

1、第 Page * MergeFormat 13 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 頁(yè)3.7 函數(shù)與方程課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).新高考3年考題題 號(hào)考 點(diǎn)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理直觀想象2022()卷22 函數(shù)零點(diǎn)、方程根個(gè)數(shù) 2021()卷22 函數(shù)零點(diǎn)、方程根個(gè)數(shù)1.函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD（2）特別提醒： = 1 * GB3 函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是方程fx=0的實(shí)根； = 2 * GB3 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)

2、間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn).2.三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x3.零點(diǎn)存在性定理（1）如果函y=在區(qū)間afa則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上存在零點(diǎn)，即存在（2）特別提醒：連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.4. 二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且fafb0的函數(shù)y=1.若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(2.圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)3.圖象連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)4.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).1.【P155 T1】下

3、列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()A. B. C. D. 2.【P155 T2】已知函數(shù)f(x12345f-147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(xA. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)考點(diǎn)一判斷函數(shù)零點(diǎn)、方程的根所在區(qū)間【方法儲(chǔ)備】判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：充分利用三個(gè)等價(jià)關(guān)系，利用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根與圖象交點(diǎn)問(wèn)題解決.【典例精講】例1.(2021遼寧省沈陽(yáng)市期中.多選) 若ab0)，gxA. x1x2x【名師點(diǎn)睛】1.函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，不滿足條件時(shí)，一定要綜合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.2.對(duì)于

4、函數(shù)零點(diǎn)、方程根、圖象交點(diǎn)三者的轉(zhuǎn)化，可參照“結(jié)合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù),從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系”，加深理解.【靶向訓(xùn)練】 練1-1(2022湖北省武漢市月考) 已知a是函數(shù)f(x)=lnxA. 正數(shù)B. 0C. 負(fù)數(shù)D. 無(wú)法判斷練1-2(2022湖南省長(zhǎng)沙市月考) 函數(shù)f(x)=|lnx|-ax恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，A. (0,1e3)B. (考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)【方法儲(chǔ)備】判斷函數(shù)y=f(1.直接法：令f(x)=0，方程根2.定理法： = 1 * GB3 要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線； = 2 * GB3 確定函數(shù)在區(qū)間a,b

5、上的單調(diào)性 = 3 * GB3 每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)分別確定端點(diǎn)處函數(shù)值是否異號(hào)，從而確定是否存在零點(diǎn)；3.圖象法： = 1 * GB3 畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； = 2 * GB3 將函數(shù)f(x)拆成兩個(gè)函數(shù)h(x)和g(x)的差，y=g4.性質(zhì)法： = 1 * GB3 若函數(shù)具有奇偶性：y軸左右兩側(cè)零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同； = 2 * GB3 若函數(shù)具有周期性：先確定一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再擴(kuò)展到整個(gè)區(qū)間內(nèi).【典例精講】例3. (2022江西省九江市模擬) 已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽x0,1時(shí)，f(x)=A. 4B. 5C. 6D. 8例

6、4. (2022湖北省黃岡市月考) 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且xfA. 1B. 2C. 3D. 4【名師點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在導(dǎo)數(shù)部分的解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，常用定理法解決：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，含參數(shù)時(shí)需討論單調(diào)性；每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)要利用零點(diǎn)存在性定理判斷是否存在零點(diǎn)，形成結(jié)論.【靶向訓(xùn)練】練2-1(2022山東省日照市月考) 已知函數(shù)f(x)=xA. 0B. 1C. 2D. 3練2-2(2022遼寧省大連市月考) 若函數(shù)f(x)=A. 3B. 4C. 5D. 6 考點(diǎn)三求與零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)的取值范圍【方法儲(chǔ)備】求與零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)的取值范圍，大致分為三個(gè)方向：根據(jù)函

7、數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參、根據(jù)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)求參、根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參.常用的求參數(shù)的方法有：【典例精講】例5.(2021山東省青島市聯(lián)考.多選) 若函數(shù)f(x)=1+lnA. -1B. 13C. 1例6.(2022河北省石家莊市模擬) 若關(guān)于x的方程2x-x2A. (-,-43)B. (-,-32(-【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或有無(wú)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，要將復(fù)雜的方程fx=0通過(guò)化簡(jiǎn)變形為gx【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022江蘇省南京市月考) 方程x2+(m-2)xA. (-5,-4)B. -練3-2(2022廣東省深圳市月考) 已知函數(shù)f(x)=x22A. (

8、0,1e2)B. (-核心素養(yǎng)系列 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想之一,函數(shù)y=f(x)可以看成是二元方程g(x,y)=0.通過(guò)函數(shù)關(guān)系,建立方程或方程組,梳理變量間的等量關(guān)系,運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析問(wèn)題,【方法儲(chǔ)備】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用： = 1 * GB3 已知零點(diǎn)問(wèn)題求參：上述考點(diǎn)三. = 2 * GB3 考查各零點(diǎn)的和或與零點(diǎn)有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍：求零點(diǎn)的和，兩個(gè)函數(shù)有相同的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，利用對(duì)稱性求和；求零點(diǎn)有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍，確定零點(diǎn)的等量關(guān)系，將代數(shù)式表示成關(guān)于一個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)，求值域； = 3 * GB3 零點(diǎn)存在性問(wèn)題：零點(diǎn)的存在性問(wèn)題有別于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

9、,此類問(wèn)題核心是有,多少并不重要.所以,可以從單調(diào)性、解方程、數(shù)形結(jié)合、極值點(diǎn)、零點(diǎn)化簡(jiǎn)代換等各層面來(lái)思考問(wèn)題的解決. = 4 * GB3 解決方程根問(wèn)題：函數(shù)的零點(diǎn)就是該函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根,解決方程相關(guān)問(wèn)題時(shí)，轉(zhuǎn)化為求解零點(diǎn)問(wèn)題. = 5 * GB3 嵌套函數(shù)的零點(diǎn)：通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖像、性質(zhì)求解. = 6 * GB3 零點(diǎn)與極值點(diǎn)：原函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，再解決問(wèn)題.（在專題4.3闡述） = 7 * GB3 借助零點(diǎn)解（證明）某些特殊的不等式：一般做法研究單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合確定曲線形態(tài),用觀察法、解方程等找零點(diǎn)等,特別是超越不等式

10、用此解決的比較多.（如解不等式lnx-1x+10【典例精講】例7.(2022江西省吉安市月考) 函數(shù)f(x)=|x-2|,xA. 0,14)B. (0,14C. (0,12)D. (0,12例8.(2021陜西省西安市模擬A. (-,-1B. (-,-1)C. -1,+)D. (-1,+)【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)常與其他知識(shí)綜合考查，滲透函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，在高考?jí)狠S題中經(jīng)常出現(xiàn),題目難度大，所以要搞清零點(diǎn)的概念,研究零點(diǎn)問(wèn)題的題型,理清零點(diǎn)問(wèn)題解題思路十分必要. 【靶向訓(xùn)練】練4-1(2022湖北省武漢市月考) 已知函數(shù)f(x)=ae練4-2. (2022福建省福州市月

11、考.多選)已知函數(shù)f(x)=ex,(x0)-x2-4xA. x1x4(-6ln2,0B. x1+x2【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】易錯(cuò)點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)致錯(cuò)函數(shù)零點(diǎn)分為“變號(hào)零點(diǎn)”和“不變號(hào)零點(diǎn)”，函數(shù)零點(diǎn)定理僅適用于“變號(hào)零點(diǎn)”，對(duì)“不變號(hào)零點(diǎn)”無(wú)能為力.例9.(2022廣東省深圳市月考)求下列函數(shù)的零點(diǎn)，可以采用二分法的是()A. f(x)=x4B. f(答案解析【教材改編】1.【解析】利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)用二分法只能求變號(hào)零點(diǎn)的近似值，A、C、D中的零點(diǎn)都是變號(hào)零點(diǎn)，但B中的零點(diǎn)是不變號(hào)零點(diǎn)，故它不能用二分法求解故選：B2.【解析】由所給的函數(shù)值的表格可以看出，在x=2與

12、x=3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，即f(2)f(3)0，【考點(diǎn)探究】例1.【解析】因?yàn)閍b0，f(b)=(b-c)(b-a)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a,b)，(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)，(b,c)內(nèi)故選BC例2.【解析】令f(x)=0，g(x則x1，x2，x3分別為函數(shù)y在同一平面直角坐標(biāo)系下作出他們的圖象，易得x1=1，x20，所以，x2x30時(shí)，考查函數(shù)g(x)=|lnx|與h(x)=ax圖象易知，g(x)與h(x)圖象在區(qū)間(0,1)上必有一個(gè)交點(diǎn)，則在區(qū)間(1,+)上有且僅有一

13、個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)x(1,+)時(shí)，g(x)=lnx，g(x)=1x，則由題意可得，g(x)例3. 【解析】函數(shù)F(x)=f(x)-94x-2-12(x(-7,8)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程f(x)-94x-2-12=0在(-7,8)上的解的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=94x-2+12例4. 【解析】由xf(x)=x3ex+2f(x)，可得x2f(x)-2xf(x)=x4ex，則x2f(x)-2xf(x)x4=ex，即(f(x)x2)=ex，則f(x)x2=ex+c，f(x)=x2(ex+c)，又f(2)=4e2+4，4e2+4=4(e2+c)，c=1練2-1【解析】當(dāng)x0時(shí)，由x2+2x-1=-

14、2得x2+2x+1=0，解得x=-1; 當(dāng)x0時(shí)，由lnx練2-2【解析】函數(shù)f(x)=2x設(shè)t=f(x)，則f(t)=2，先解方程f(t)=2的根t，再計(jì)算t=f(x)的解t2時(shí)，|2t-1|=2得t=log23；t2時(shí)3t例5.【解析】函數(shù)f(x)=1+ln(x+a)ex有正零點(diǎn)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程1+ln(x+a)ex=0有正實(shí)數(shù)解，即-ex=lnx+a有正實(shí)數(shù)解，設(shè)hx=-ex,gx=lnx例6.【解析】關(guān)于x的方程程2x-x2-mx-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即是y=2x-x2，y=mx+3的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閥=2x-x2是以(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓，而y=mx+3是過(guò)定

15、點(diǎn)(0,3)的直線，由圖可知，當(dāng)直線在AB和AC之間時(shí)符合要求，當(dāng)直線為AB練3-1【解析】令f(x)=x2+(m-2)x+5-m，其對(duì)稱軸方程為x=2-m2，由已知方程x2+(練3-2【解析】如圖，作出函數(shù)f(x)=-x則函數(shù)f(x)函數(shù)y=kx+1圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1)函數(shù)f(x)當(dāng)直線y=kx+1與y=lnlnx0=1x0 x【素養(yǎng)提升】例7.【解析】作出函數(shù)f(x)=|x-2|,x02x+1,x0的圖象如圖，不妨設(shè)x1x2x3，則x2+x3=4，x2(0,2)，由f(x1)=f(x2)，得2x1+1=2-x2，x2f(x1)x2+x3=x2(2-x2)4=14(-x22+2x2)，x2(0,2)，練4-1【解析】f(x)=aex-2x，若函數(shù)f(x)=aex-x2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程f(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，