第7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計

1、第7章 有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 7.2 利用窗函數(shù)法設計FIR濾波器7.3 利用頻率采樣法設計FIR濾波器7.4 利用切比雪夫逼近法設計FIR濾波器7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點、網(wǎng)絡結構的特點。 1. 線性相位條件 對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為(7.1.1) (7.1.2) 式中，Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()為的實函數(shù)，可能取負值，而|H(ej)|總是正值。H(e

2、j)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()=, 為常數(shù) (7.1.3) 如果()滿足下式： ()=0-,0是起始相位 (7.1.4) 嚴格地說，此時()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即 也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(7.1.3)式是第一類線性相位；滿足(7.1.4)式為第二類線性相位。 下面推導與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6) (1) 第一類線性相位條件證明

3、：將(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有(7.1.7) 按照上式可以將H(z)表示為 將z=e j代入上式，得到： 按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為(7.1.8) (7.1.9) (2) 第二類線性相位條件證明：(7.1.10) 令m=N-n-1,則有 同樣可以表示為因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為(7.1.11) (7.1.12) 2. 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù) 按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)H g()為 式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中

4、心，把兩兩相等的項進行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為令m=(N-1)/2-n,則有(7.1.13) (7.1.14) 式中 按照(7.1.13)式，由于式中cosn項對=0,2皆為偶對稱，因此幅度特性的特點是對=0,2是偶對稱的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點是由于N=偶數(shù)，Hg()中沒有單獨項，相等的項合并成N/2項。 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫如下：令m=N/2-n,則有(7.1.15) (7.1.16) 4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類似上

5、面3)情況，推導如下： 令m=(N-1)/2-n，則有(7.1.17) (7.1.18) 令m=N/2-n,則有(7.1.19) (7.1.20) 3. 線性相位FIR濾波器零點分布特點 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來用下式表示：(7.1.21) 圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點分布 4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡結構 設N為偶數(shù)，則有令m=N-n-1,則有(7.1.22)如果N為奇數(shù)，則將中間項h(N-1)/2單獨列出， (7.1.23) 圖7.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡結構圖7.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡結構7.2 利用窗函數(shù)法

6、設計FIR濾波器 設希望設計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej),hd(n)是與其對應的單位脈沖響應，因此 一般hd(n)為無窮長序列，需對其進行截斷。（1）設Hd (ejw)是實偶函數(shù)， 則hd k也是實偶序列。例：設計一個線性相位的FIR濾波器。其頻率響應能逼近截頻為wc的理想低通。(2)設Hd (ejw)為 Hd (ejw) =Ad(w)exp(j( -0.5Mw+b)I型和II: b=0 ; III型和IV:b=pi/2, M=(N-1)/2例：設計一個線性相位的FIR濾波器。其頻率響應能逼近截頻為wc的理想低通。解：設 相應的單位取樣響應h-d(n)為(7.2.1)(7.2.2) hd(n

7、)為無窮長序列，為了構造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將h-d(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3) 我們實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應為h(n),長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應及矩形窗 以上就是用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e j)是一個以2為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級數(shù)，即對(7.2.3)式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得到：(7.2.4) 式中，Hd(e j)和RN(e j)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即(7.2.

8、5) RN()稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Ha(ej)寫成下式：按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為將Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到： 將H(ej)寫成下式： (7.2.6)矩形窗對H(e jW)的影響矩形窗的幅度函數(shù)為窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度函數(shù)窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象000.510.2p0.4p0.6p0.8ppwA(W)M=14M=600.2p000.510.4p0.6p0.8ppA(W)w窗函數(shù)法國家電工

9、電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組)(wAwcwcw-pp-qpp-cwcw-)(q-wW)(qdA窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組)(wAwcwcw-pp-qcwcw-pp-)(qdA)(q-wW窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組 圖7.2.2 矩形窗對理想低通 幅度特性的影響 通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H()和原理想低通Hd()差別有以下兩點： (1)在理想特性不連續(xù)點=c附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。與N成反比。 (2)通帶內增加了波動，最大的峰值在c-2/N處。阻帶內產(chǎn)生了余振，最大的負峰在c+2

10、/N處。波動的幅度取決于窗函數(shù)旁瓣的相對幅度，旁瓣的面積越大，波動就越大，阻帶的衰減就越小。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似為 用矩形窗設計的wc=p/2 FIR濾波器的幅度響應00.250.50.751-40-30-21-100M=14M=30Gain db窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組常用窗函數(shù)矩形窗 Ap 0.82dB, As 21dB窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組Hann(漢納)窗(w=hanning(M+1)Ap 0.056dB, As 44dB窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組由Hanning窗設計的wc=p

11、/2 FIR濾波器的頻響特性(M=38)00.250.50.751-80-60-44-200Square HanningGain dB窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組00.250.50.751-80-60-52-200Square HammingHamming（哈明）窗( w=hamming(M+1) )Gain db窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組Blackman窗 ( w=blackman(M+1) )00.250.50.751-100-75-60-40-200Square BlackmanGain db窗函數(shù)法國家電工電子教學基地 信號與系統(tǒng)系列課程組

12、 下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設 h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應為 2. 三角形窗(Bartlett Window)(7.2.8) 其頻率響應為 (7.2.9) 3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗當N1時，N-1N， 圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性 4. 哈明(Hamming)窗改進的升余弦窗(7.2.11)其頻域函數(shù)WHm (e j)為其幅度函數(shù)WHm()為當N1時，可近似表示為 5. 布萊克曼(Blackman)窗(7.2.13) 其頻域函數(shù)為

13、其幅度函數(shù)為(7.2.14) 圖7.2.4 常用的窗函數(shù) 圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗 圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗 6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 式中 I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算： 一般I0(x)取1525項，便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4，如有，再在該點附近

14、找出局部極值點，并用該點代替原來的點。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E()|的點作為新的局部極值點，從而又得到一組新的交錯點組。圖7.4.2 雷米茲算法流程圖 3. 線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式 在7.1節(jié)，我們已推導出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g()分別如下式： 奇數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 偶數(shù) 經(jīng)過推導可把H-g()統(tǒng)一表示為 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系數(shù)不同的余弦組合式，Q()是不同的常數(shù)，四種情況的Q()和P()如表7.4.1所示。表7.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況 表中 、 和 與原系數(shù)b(n)，c(n)和d(n)之間關系如下： (7.4.14) (7.4.15) (7.4.16) 將(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:(7.4.17) (7.4.18) 圖7.4.3 利用切比雪夫逼近法設計線性相位 FIR濾波器程序框圖圖7.4.4 利用切比雪夫逼近法設計的低通濾波器幅度特