幾何體的外接球

1、幾何體的外接球幾何體的外接球8/8幾何體的外接球幾何體的外接球一、球的性質(zhì)回顧如右圖所示：O為球心，O為球O的一個小圓的圓心，則此時OO垂直于圓O所在平面。二、常有平面幾何圖形的外接圓外接圓半徑（r）的求法1、三角形：1）等邊三角形：等邊三角形也即正三角形，其滿足正多邊形的基本特色：五心合一，即內(nèi)心、外心、重心、垂心、中心重合于一點。內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，各角角均分線的交點；外心：外接圓圓心，各邊中垂線的交點；重心：各邊中線的交點；垂心：各邊垂線的交點；中心：正多邊形特有。從而等邊三角形的外接圓半徑平時結(jié)合重心的性質(zhì)進行求解：r23a3a（其中a為等邊三角形的邊長）323（2）直角三角形：結(jié)合直角

2、三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；可知：直角三角形的外接圓圓心位于斜邊的中點處，求解過程比較簡單，該處不做重點說明。3）等腰三角形：結(jié)合等腰三角形中三線合一的性質(zhì)可知：等腰三角形的外接圓圓心位于底邊的高線即中線上。由圖可得：r(hr)2(a)22思慮：鈍角三角形和銳角三角形外接圓圓心地址的差異。（4）非特別三角形：察看較少，若出現(xiàn)除以上三種情況以外的三角形在求解外接圓半徑時可以參照使用正弦定理。2、四邊形常有擁有外接圓的四邊形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形與長方形半徑求解方法近似，等腰梯形的外接圓圓心不在中學察看范圍內(nèi)，不用掌握。外接圓圓心是在幾何圖形所在平面的一個到

3、各個極點距離相同的點；外接球球心則是空間中到幾何體各個極點距離相同的點。結(jié)合上述所講內(nèi)容，外接圓圓心與外接球球心有好多相似之處以三角形為例，過三角形的外接圓圓心作三角形所在平面的一條垂線，不難獲?。涸摯咕€上的任意一點到該三角形三個極點的距離恒定相等。轉(zhuǎn)變到幾何體中，如正方體，其外接球球心位于體心地址，其與正方體任一表面正方形的中心連線均垂直于該正方形。從而我們得出以下結(jié)論：幾何體的外接球球心與底面外心的連線垂直于底面，也即球心落在過底面外心的垂線上，簡單稱之為：球心落在底面外心的正上方。三、常有幾何體的外接球半徑的求法1、直（正）棱柱以三棱柱為例例：在正三棱柱ABCA1B1C1中，三角形ABC

4、是邊長為2的正三角形，AA13，求該三棱柱的外接球半徑.解析：如右圖，由正三角形的邊長可知底面的外接圓半徑r，要求R，只需確定OO的長度，結(jié)合正棱柱也是直棱柱的特色可知，上下兩底面三角形的外心連線與側(cè)棱平行與底面垂直，從而球心O必位于上下兩底面外心連線的中點處，即OO1AA1，從而R可求.2由題可得：r23,OO13,32在直角三角形AOO中，R2r2OO2從而R12962、棱錐常有有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相比較較簡單，此處重點解析三棱錐的外接球。1）含有線面垂直關(guān)系（側(cè)棱垂直與底面）的三棱錐該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說明以下。例：在三棱錐P-ABC中，三角

5、形ABC是邊長為2的正三角形，PA平面ABC，PA=3，求該三棱錐的外接球半徑.解析：如右圖法一：該幾何體可由正三棱柱沿老百姓啊棱柱的外接球；法二：先確定底面三角形ABC的外心同時：OP=OA，故，過O作OMPA于PBC切割而產(chǎn)生，故該三棱錐的外接球可轉(zhuǎn)變成原三O，從而球心位于O的正上方，即OO平面ABC，M，此時M必為PA中點，從而四邊形OMAO為矩形，所以O(shè)OAM1PA3，在直角三角形OOA中有：R2r2OO2.22計算過程略.2）正棱錐以正三棱錐為例在正三棱柱中極點與底面中心的連線垂直于底面，即PO面ABC，故球心O落在直線PO上.例：在正三棱錐P-ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三

6、角形，PA=3，球該三棱錐的外接球半徑.解析：如圖由底面正三角形邊長可得r，在直角三角形OOA中，R2r2OO2，故只需確定OO的長度即可，結(jié)合圖形，OO=PO-OP=H-R，帶入上式中即可求解.由題可知：r23,HPA2OA26933所以R2r2(HR)2969解得：R463）含有側(cè)面垂直于底面（不含側(cè)棱垂直于底面）的三棱錐該類問題的求解難點在于球心地址的搜尋，確定球心時需要分別取兩互相垂直的面的過外心的垂線，球心位于兩垂線的交點處。例：在三棱錐P-ABC中，面PAB面ABC，三角形ABC和三角形PAB均為等邊三角形，且AB=3，求該幾何體外接球半徑.解析：設(shè)ABC和PAB的球心分別為O,O

7、，取AB中點M，球心設(shè)為O，則OO平面ABC，OO平面PAB，從而四邊形OOMO是矩形，可得：OO=OM，在三角形OOC中結(jié)合溝通定理即可求解.由題可得：OOOM1333PM,rAB323所以Rr2OO2152練習題組一1某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有極點都在一個球面上，則該球面的表面積為（）A4BCD202三棱錐PABC的四個極點都在球O的球面上，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PA=1，PB+PC=4，當三棱錐的體積最大時，球心O到平面ABC的距離是（）ABCD3體積為的球有一個內(nèi)接正三棱錐PABC，PQ是球的直徑，APQ=60，則三棱錐PABC的體積為（）ABCD4周圍體ABCD的

8、四個極點都在某個球O的表面上，BCD是邊長為3的等邊三角形，當A在球O表面上運動時，周圍體ABCD所能達到的最大體積為，則周圍體OBCD的體積為（）ABC9D5點A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，則該球的表面積為（）A7B14CD6已知點A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱錐DABC體積的最大值為，則球O的表面積為（）A36B16C12D7已知直三棱柱ABCA1B1C1的各極點都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的體積為，則這個直三棱柱的體積等于（）ABC2D8已知正三棱錐PABC，點P，A，B，C都在半

9、徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（）ABCD9已知三棱錐PABC的所有極點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為，則球O的表面積為（）A4B8C12D1610四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有極點都在體積為同一球面上，則PA=（）A3BC2D練習題組二1九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐PABC為鱉臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱錐PABC的四個極點都在球O的球面上

10、，則球O的表面積為（）A8B12C20D242已知三棱錐PABC的四個極點均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA平面ABC，PA=2AB=2，則該球的表面積為（）A8B16C32D363已知三棱錐ABCD的四個極點A、B、C、D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC=，BC=2，CD=，則球O的表面積為（）A12B7C9D84已知A，B，C三點都在以O(shè)為球心的球面上，OA，OB，OC兩兩垂直，三棱錐OABC的體積為，則球O的表面積為（）AB16CD325已知四棱錐PABCD的極點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，PAD為正三角形，AB=2AD=4，則

11、球O的表面積為（）ABC24D6已知三棱錐PABC中，PA底面ABC，ABBC，PA=AC=2，且該三棱錐所有極點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A4B8C16D207點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB=BC=，ABC=90，若周圍體ABCD體積的最大值為3，則這個球的表面積為（）A2B4C8D168三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且ABBC，AB=BC=AA1=2，若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A48B32C12D89三棱錐PABC中，側(cè)棱PA=2，PB=PC=，則當三棱錐PABC的三個側(cè)面的面積和最大時，經(jīng)過點P，A，B，C的球的表面積是（）A4B8C12D1610如圖1，ABCD是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P，若周圍體PAEF的四個極點在同一個球面上，則該球的表面積是（）AB6CD1211如圖某空間幾何體的正視圖和俯視圖分別