必修4平面向量數(shù)量積考點歸納

1、“平面向量”概念繁多容易混淆，對于初學(xué)者更是一頭霧水現(xiàn)將與平面向量基本概念相關(guān)的誤區(qū)整理如下向量就是有向線段解析：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向有向線段是向量的一種表示方法，不能說向量就是有向線段uuuuruuuur若向量 AB與 CD 相等，則有向線段 AB與 CD重合uur uur解析：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量因此，若AB CD ，則有向線段 AB與 CD長度相等且方向相同，但它們可以不重合uuuuruuuur若向量 AB CD ，則線段 ABCDuuruuur解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量故由AB 與 CD

2、平行，只能得到線段AB與 CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線uuuuruuuur若向量 AB 與 CD 共線，則線段 AB與 CD共線解析：平行向量也叫做共線向量，共線向量就是方向相同或相反的非零向量uuruuurAB與 CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線故由 AB 與 CD 共線，只能得到線段urururrurr若 a b ， b c ， 則 a cur urur r解析：由于零向量與任一向量平行，故當b 0 時，向量 a 、 c 不一定平行ururrur r當且僅當 a 、 b 、 c 都為非零向量時，才有a c 若 |urururururura | |b| ，則 a b

3、或 a burururur解析：由 | a | | b | ，只能確定向量a 與b 的長度相等，不能確定其方向有何關(guān)系ur urur ururur當 a 與 b 不共線時，a b 或 a b 都不能成立單位向量都相等解析：長度等于一個長度單位的向量叫做單位向量，由于單位向量的方向不一定相同，故單位向量也不一定相等urur若 | a | 0，則 a 0解析：向量和實數(shù)是兩個截然不同的概念，向量組成的集合與實數(shù)集合的交集是空集urururur故若 | a | 0，則 a 0 ，不能夠說a 0平面向量數(shù)量積四大考點解析考點一 .考查概念型問題例 1. 已知 a 、 b 、 c 是三個非零向量，則下列

4、命題中真命題的個數(shù)() a baba / b ; a,b 反向a bab ababab ; a = ba bb c.2C評注： 兩向量同向時，夾角為0( 或 0 ) ；而反向時，夾角為( 或 180 ) ；兩向量垂直時，夾角為90，因此當兩向量共線時，夾角為0 或，反過來若兩向量的夾角為0 或，則兩向量共線.考點二、考查求模問題例 2. 已知向量 a2,2 ,b5, k ，若 ab 不超過 5，則 k 的取值范圍是 _ 。評注： 本題是已知模的逆向題，運用定義即可求參數(shù)的取值范圍。例 3. （1）已知 a, b 均為單位向量，它們的夾角為60 , 那么 a3b （）A.7B.10C.13D.4

5、（ 2）已知向量acos , sin，向量 b3, 1 ，則 2ab 的最大值是 _。評注： 模的問題采用平方法能使過程簡化?？键c三、考查求角問題例 4. 已知向量 a +3 b 垂直于向量7 a -5 b ，向量 a -4 b 垂直于向量7 a -2 b ，求向量 a 與 b 的夾角 .練習(xí)一：數(shù)量積（內(nèi)積）的意義及運算rrrrr r1已知向量 | a | 4 ，e為單位向量， 當它們之間的夾角為時，a 在 e方向上的投影與e 在 a 方向上的投影分別為 （）323， 32，13，3 1，222222rrrr練習(xí)目的：區(qū)別a 在 e方向上的投影與e 在 a 方向上的投影，達到正確理解投影的概

6、念uuuruuur2在邊長為 2 的等邊ABC 中， AB? BC 的值是（）uuuruuur練習(xí)目的：結(jié)合圖形，根據(jù)投影的意義，理解AB ? BC 的幾何意義圖 1uurrr r60orrr urrr3已知 | a | 3,| b |2, a與 b 的夾角為， c=3a5b, dma3b .rrr r(1)求 | ab |的值； (2)當 m為何值時， c與d 垂直練習(xí)目的：結(jié)合以前所學(xué)向量垂直的等價關(guān)系，類比數(shù)量積的運算與實數(shù)多項式的運算關(guān)系，達到鞏固數(shù)量積的運算目的練習(xí)二：數(shù)量積的坐標運算、模及夾角r rxyABC4直角坐標系 xOy 中， i ， j分別是與軸正方向同向的單位向量在直角

7、三角形中，uuurrruuurrr若 AB2ij ,AC3ik j ，則 k 的可能值個數(shù)是（） 1 2 3 4練習(xí)目的：結(jié)合向量垂直的等價關(guān)系，練習(xí)數(shù)量積的坐標運算，體會分類討論的數(shù)學(xué)思想方法rr2rr5. 已知向量 | a |2 ， | b |3 ， ab (2 3, 2)rrrrrr求（ 1） | ab | ；（ 2） ab 與 ab 的夾角練習(xí)目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運算與實數(shù)多項式的運算的關(guān)系r rrrr rrrrr6設(shè)向量 a, b 滿足 | a |2,| b |1， a, b 的夾角為 60o，若向量 2ta7b與向量 atb 夾角為鈍角，求實數(shù) t 的取值

8、范圍。練習(xí)目的：綜合運用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題，在解題時要特別注意特殊情況，才能不遺漏地正確解題練習(xí)三平面向量的綜合應(yīng)用uuurr uuurrr r0 ，則ABC 的形狀為 _.7（ 1）已知ABC 中， ABa, BCb ，是ABC 中的最大角，若 a ? b練習(xí)目的：體會應(yīng)用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀rr平面向量鞏固檢測,sin)，其中 01 已知 a (cos) ， b (cos ,sinrrrr(1) 求證： ab與 ab 互相垂直；(2) 若 ka b 與 ak b 的長度相等，求的值 ( k 為非零的常數(shù) )2已知 a 、 b 是兩個不共線的向量，且a

9、 =（cos，sin） , b =（ cos， sin）（）求證： a+ b 與 a b 垂直；（）若 （, ），=，且 | a + b | =16，求 sin .44453設(shè) ae12 e2 ，b3 e12 e2 ，其中 e1e2 且 e1 e1e2 e21.計算 | a b | 的值；（2）當 k為何值時k ab 與 a3 b 互相垂直？33xx4 已知向量 a (cos2x，sin2x) ， b (cos 2， sin2) ，其中 x 0 ， 2 3(1) 求 a b及 | a b | ； (2)若 f(x) a b 2| a b| 的最小值為2，求 的值平面向量數(shù)量積四大考點解析考點一

10、 .考查概念型問題例 1. 已知 a 、 b 、 c 是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)() a ba ba / b ; a,b 反向a ba b a ba b a b ; a = ba bb c.2C分析： 需對以上四個命題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一仍是向量數(shù)量積的定義；二是向量加法與減法的平行四邊形法則 .解： (1) a b = a b cos 由 a b a b 及 a 、 b 為非零向量可得cos =1 =0 或， a b 且以上各步均可逆，故命題(1) 是真命題 .若 a , b 反向，則 a 、 b 的夾有為， a b = a b cos =- a b 且以上各步可逆，故命題

11、 (2) 是真命題 .(3) 當 a b 時，將向量a ， b 的起點確定在同一點，則以向量a ， b 為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等，即有a + b a - b . 反過來，若a +b a - b , 則以 a ， b 為鄰邊的四邊形為矩形，所以有a b ，因此命題 (3) 是真命題 .當 a b 但 a 與 c 的夾角和 b 與 c 的夾角不等時， 就有 a c b c ，反過來由 a c b c 也推不出 a b . 故 (4)是假命題 .綜上所述，在四個命題中，前3 個是真命題，而第4個是假命題，應(yīng)選擇 (C).評注： 兩向量同向時，夾角為0( 或

12、0 ) ；而反向時，夾角為 ( 或 180) ；兩向量垂直時，夾角為 90，因此當兩向量共線時，夾角為0 或，反過來若兩向量的夾角為0 或，則兩向量共線 .考點二、考查求模問題例 2. 已知向量 a2,2 ,b5, k ，若 ab 不超過5，則 k 的取值范圍是 _ 。2y2 ，或 ax2y 2分析： 若 ax, y則 ax 2，對于求模有時還運用平方法。解：由 ab3,2k，又 ab 5 ，由模的定義，得：92 k 225 解得：6 k2 ，故填 6,2 。評注： 本題是已知模的逆向題，運用定義即可求參數(shù)的取值范圍。例 3. （ 1）已知 a, b均為單位向量，它們的夾角為60 , 那么 a

13、3b （ ）A.7B.10C.13 D.4（ 2）已知向量 acos , sin，向量 b3,1 ，則 2ab 的最大值是 _。222解：（ 1）a3a6a bcos60 9b13913b所以 a3b13 ，故選 C。（ 2）由題意，知a1, b2, a b2 sin3224a b28sin16又 2a b4ab83則 2ab的最大值為4。評注： 模的問題采用平方法能使過程簡化?？键c三、考查求角問題例 4. 已知向量a +3 b 垂直于向量7 a -5b ，向量a -4b 垂直于向量7 a -2 b ，求向量a 與 b 的夾角 .分析： 要求a 與 b 的夾角，首先要求出a 與 b 的夾角的余

14、弦值，即要求出a 及b 、 a b ，而本題中很難求出 a 、 b 及 a b ，但由公式cos = a ? b 可知，若能把a b ， a 及 b 中的兩個用另一個表示出來，a b即可求出余弦值，從而可求得a 與 b 的夾角 .解：設(shè) a 與 b 的夾角為 . a +3 b 垂直于向量 7 a -5b ， a -4 b 垂直于7 a -2 b ，a3b7a5b0216 a b207a15ba4b7a2b0即2230a b7a8b0解之得 b2a2a ba22a b =2 a b=2=b12 cos = a ?b =2b= 1 =因此 a 與 b 的夾角為.a ba ? b233練習(xí)一：數(shù)量積

15、（內(nèi)積）的意義及運算rrrrr r1已知向量 | a |4 ， e為單位向量，當它們之間的夾角為3時， a 在 e 方向上的投影與e在 a 方向上的投影分別為（）23，32， 13，31，2222221答案 Brrr412解答：a 在 e方向上的投影 | a | cosrrr32111e在 a 方向上的投影 | e | cos322rrrr練習(xí)目的：區(qū)別a 在 e 方向上的投影與e在 a 方向上的投影，達到正確理解投影的概念2在邊長為 2 的等邊uuuruuurABC 中， AB ? BC 的值是（）2答案解答：由平面向量數(shù)量積公式得：uuuruuuruuuruuuro1AB? BC | AB

16、 |?| BC |COS120 22(2)uuuruuur2圖 1因此 AB ? BC 的值為uuuruuur練習(xí)目的：結(jié)合圖形，根據(jù)投影的意義，理解AB ?BC 的幾何意義uurrrrrrrurrr3已知 | a |3,| b |2, a與 b 的夾角為 60o， c=3 a5b, dma3b .rr(1)求 | ab |的值r當 m為何值時， c與d 垂直rruurr3213.3解答 (1)ab| a | b | cos60orrrr 2r r2222222319| a b | | a |b | 2a b 3rr所以 | ab | 19(2)rrrr0 ，即由 c與 d 垂直，得 cdrr

17、rr0(3a5b)(ma3b)r2r2rrrr0 3m | a | 15 | b |9a b5ma buurrrr又因為 | a |3,| b |2, a與 b 的夾角為 60orruurr3213所以 a b| a | b | cos60o292代入得 m14rr因此當 m2914時， c與 d 垂直 .練習(xí)目的：結(jié)合以前所學(xué)向量垂直的等價關(guān)系，類比數(shù)量積的運算與實數(shù)多項式的運算關(guān)系，達到鞏固數(shù)量積的運算目的練習(xí)二：數(shù)量積的坐標運算、模及夾角rr分 別 是 與 x，y 軸 正 方 向 同 向 的 單 位 向 量 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 若4 直 角 坐 標 系 xOy 中 ，

18、 i， juuurrruuurrrAB2 ij ,AC3ik j ，則 k 的可能值個數(shù)是（） 1 2 3 44答案 Buuurr(kr提示：由題設(shè)BCi1) j ，uuur(2,1),uuuruuur(1,k 1)轉(zhuǎn)化為坐標表示：ABAC(3, k) ， BCABC 是直角三角形可以分為三種情況：uuuruuuruuuruuur（1） AB AC , AB AC 2 3 1 k 0得 k 6gguuuruuuruuuruuur211 (k1)0（2） ABBC,AB BC得 k1guuuruuuruuuruuur31k (k1)0（3） ACBC, AC BCg即 k2k30，無解故k 的可

19、能有兩個值1， 6，練習(xí)目的：結(jié)合向量垂直的等價關(guān)系，練習(xí)數(shù)量積的坐標運算，體會分類討論的數(shù)學(xué)思想方法5.已知向量r| a|r2 ， | b |r23 ， arb(23, 2)rrrrrr求（ 1） | ab | ；（ 2） ab 與 ab 的夾角uurr23,解答：由題設(shè)| a |2,| b |rr(2rr16（ 1）由 ab3, 2) 得 | ab |2rrrrr 2r 2rr即 | ab |2(ab)2ab2agb 16r解得： agb 0rrrrr 2r 2r r所以 | ab |2(ab)2ab2agb22(2 3)2rr162agbrr因此 | ab |=42）設(shè)夾角為所以 cos

20、rrrrr 2r 2(2 3)28，又 ( ab)g(ab)ab 22rrrr-8(a（a）1g=rrrr| ab |? | a b |4 42練習(xí)目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運算與實數(shù)多項式的運算的關(guān)系r rrrrr60orrrrt 的取6設(shè)向量 a, b 滿足 | a |2,| b |1 ， a,b 的夾角為，若向量 2ta7b 與向量 atb 夾角為鈍角，求實數(shù)值范圍。rruurr21116解答：由題設(shè)ab| a | b | cos60orrrr2因為向量 2ta7b 與向量 atb 夾角為鈍角，rrrrrrrr所以(2ta7b) g( atb )00rrrr(2 ta

21、7b)g(atb )| 2ta7b | ? | atb |rr(2t 2rr2t 215t70由 2t | a |27t |b |27) agb解得7t12rrrr時，也有 2t 215t70另一方面，當夾角為，所以由向量 2ta7b 與向量 atb 同方向得：rrrr0 ）2ta7b （ atb ）（因此 2t,7t解得： t1414，2由于0，所以 t0，得 t142因此，當 t14時，兩向量的夾角為不合題意rr2rrt 的取值范圍是：所以，若向量 2ta7b 與向量 atb 的夾角為銳角，實數(shù)(7,14)U(14 ,1)222練習(xí)目的：綜合運用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題

22、，在解題時要特別注意特殊情況，才能不遺漏地正確解題練習(xí)三平面向量的綜合應(yīng)用7（1）已知uuurr uuurrr r0 ，則ABC 中， ABa, BCb ，是ABC 中的最大角，若 a ? bABC 的形狀為 _.7答案：銳角三角形r r提示：由 cosra ? br0| a | ? | b |可得 cos0uuuruuurABC 為銳角，即 AB與 BC 的夾角為鈍角，所以，因此ABC 為銳角三角形練習(xí)目的：體會應(yīng)用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀平面向量鞏固檢測rr(cos,sin(cos,sin1 已知 a) ， b(1) 求證：rr與rrabab 互相垂直；rrrrr2r 2(cos

23、2證明： Q ( ab)g(ab ) abrrrrab與 ab 互相垂直)，其中 0sin 2)(cos2sin 2)0(2) 若 ka b 與 ak b的長度相等，求的值 ( k 為非零的常數(shù) )解析： ka b(k coscos, k sinsin) ；ak b(cosk cos,sink sin)rk 212k cos()k a bark 212k cos()kb而k212k cos()k 212k cos()cos()0 ，22已知 a 、 b 是兩個不共線的向量，且a =（cos，sin） ,b =（ cos， sin）（）求證： a+ b 與 a b 垂直；（）若（,4），=4，且 | a + b | =16，求 sin .45解：（ 1） a =（ 4cos， 3sin）， b = （ 3cos， 4sin）|a | = |b | =1又（ a + b ）（ a b ） = a 2 b 2=|a | 2 | b | 2 = 0（ a + b ）（ a b ）（ 2） | a + b | 2 = （ a + b ） 2 = | a | 2 +| b | 2 +2 a b = 2 + 2 a b = 16） = 35又 a b =（ cos cossinsin5 cos()3(, ) 05442sin （） =4 s