一題學(xué)懂函數(shù)奇偶性問題

1、一題搞定函數(shù)奇偶性問題偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)镮 ,如果x I ,都有 x I ，且f(x) f(x) 那么函數(shù)f(x) 就叫做偶函數(shù)。，f(x) f(x) f(x) 為偶函數(shù) f(x) 圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱。【變形： f(x) f(x) 0 ； 1 ， f(x) 0 】奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)镮 ,如果x I ,都有 x I ，且 f(x) f(x) ，那么函數(shù)f(x) 就叫做偶函數(shù)。f(x) f(x) f(x) 為奇函數(shù) f(x) 圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，若0 I, 則 f(x) 0 。反之f(x) 0, 則0 I 。fxfxfx】例：若函數(shù)f(x) ax2

2、 (b 1)x 3a b 是定義域在a 1，2a 上的偶函數(shù)，求 a，b aa的a .方法一：定義法因?yàn)閒(x) 為偶函數(shù)，所以f(x) f(x) ，即：a (x)2 (b 1) (x) 3a b a x2 (b 1) x 3a b ， a x2 (b 1) x 3a b a x2 (b 1) x 3a b ，解得b 1 .對(duì)于函數(shù)問題， 利用定義求解是基本方法之一。5. f ( x ) a x a x方法二：特殊值法， 由偶函數(shù)定義可知，對(duì)于定義域內(nèi)任意x 都滿足關(guān)系式f(x) f(x) ，所以f() f() ，即：2 2 a () b 1 3a b a () b 1 3a b ，解得b 1

3、 .這樣也就簡(jiǎn)化了計(jì)算。對(duì)一般函數(shù)而言，通?？梢杂胒(1) f(1) 來計(jì)算，會(huì)使得計(jì)算方法三： 由題意知，函數(shù)為偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于 y 軸 (x=0) 對(duì)稱，本題函數(shù)解析式為二次函數(shù)可知， 圖像關(guān)于x 對(duì)稱，即 0 ，解得b 1 ，對(duì)于函數(shù)問題，考慮“數(shù)形結(jié)合”。方法四：法則設(shè)f(x) ， g (x) 的定義域分別是D1 , D2 ，那么在它們的公共定義域上有：奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇非偶，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù) 奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù) 偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)， 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)。 常見奇函數(shù)：1.f(x) xa (a 為奇數(shù)) ， f(x) sin x2. f ( x ) a x a x3.f(x) 4.f(x) loga (1 x) loga (1 x) loga () ， ( a 0 ,且a 1 )5.f(x) loga ( (mx)2 1 mx), ( a 0 ,且a 1 ) 常見偶函數(shù)：1.f(x) xa ( a 為偶數(shù)) ，2.f(x) cos x ，3.y f(x ) ，4.f(x) c ( c 為常數(shù))本題f(x) ax2 (b 1)x 3a b 為偶函數(shù)，偶+奇+偶 非奇非偶，而本題為