一元函數(shù)微分學一

1、 15/15一元函數(shù)微分學一 第二章 一元函數(shù)微分學 2.1 導數(shù)與微分 （甲） 內(nèi)容要點 一、導數(shù)與微分概念 1、導數(shù)的定義 設(shè)函數(shù))(x f y =在點0 x 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x 在0 x 處有增量x ?，相應(yīng)地函數(shù)增量)()(00 x f x x f y -?+=?。如果極限 x x f x x f x y x x ?-?+=?)()(lim lim 0000 存在，則稱此極限值為函數(shù))(x f 在0 x 處的導數(shù)（也稱微商），記作0()f x ，或0 x x y = ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并稱函數(shù))(x f y =在點0 x 處可導。如

2、果上面的極限不存在，則 稱函數(shù))(x f y =在點0 x 處不可導。 導數(shù)定義的另一等價形式，令x x x ?+=0，0 x x x -=?，則 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x -= - 我們也引進單側(cè)導數(shù)概念。 右導數(shù)：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +?-+?-=-? 左導數(shù)：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -?-+?-=-? 則有：)(x f 在點0

3、 x 處可導)(x f ?在點0 x 處左、右導數(shù)皆存在且相等。 2導數(shù)的幾何意義與物理意義 如果函數(shù))(x f y =在點0 x 處導數(shù)0()f x 存在，則在幾何上0()f x 表示曲線)(x f y =在點（)(,00 x f x ）處的切線的斜率。 切線方程：000()()()y f x f x x x -=- 法線方程：00001 ()()()0)() y f x x x f x f x -=- - 設(shè)物體作直線運動時路程S 與時間t 的函數(shù)關(guān)系為)(t f S =，如果0()f t 存在，則0()f t 表示物體在時刻0t 時的瞬時速度。 3函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系 如果函數(shù)

4、)(x f y =在點0 x 處可導，則)(x f 在點0 x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù) )(x f y =在點0 x 處連續(xù)，卻不一定在點0 x 處可導。例如，|)(x x f y =，在00=x 處連 續(xù)，卻不可導。 4微分的定義 設(shè)函數(shù))(x f y =在點0 x 處有增量x ?時，如果函數(shù)的增量)()(00 x f x x f y -?+=?有下面的表達式 0()()y A x x o x ?=?+? （0?x ） 其中)(0 x A 為x ?為無關(guān)，()o x ?是0?x 時比x ?高階的無窮小，則稱)(x f 在0 x 處可微， 并把y ?中的主要線性部分x x A ?)(0稱

5、為)(x f 在0 x 處的微分，記以0 x x dy =或0 ) (x x x df =。 我們定義自變量的微分dx 就是x ?。 5微分的幾何意義 )()(00 x f x x f y -?+=?是曲線)(x f y =在點0 x 處相應(yīng) 于自變量增量x ?的縱坐標)(0 x f 的增量，微分0 x x dy =是曲線 )(x f y =在點)(,(000 x f x M 處切線的縱坐標相應(yīng)的增量。 6可微與可導的關(guān)系 )(x f 在0 x 處可微?)(x f 在0 x 處可導。 且0 00()()x x dy A x x f x dx =?= 一般地，)(x f y =則()dy f x

6、 dx = 所以導數(shù)()dy f x dx = 也稱為微商，就是微分之商的含義。 7高階導數(shù)的概念 如果函數(shù))(x f y =的導數(shù)()y f x =在點0 x 處仍是可導的，則把()y f x =在點0 x 處的導數(shù)稱為)(x f y =在點0 x 處的二階導數(shù)，記以0 x x y =，或0()f x ，或 2 2x x dx y d =等，也 稱)(x f 在點0 x 處二階可導。 如果)(x f y =的1-n 階導數(shù)的導數(shù)存在，稱為)(x f y =的n 階導數(shù)，記以)(n y ， )() (x y n ，n n dx y d 等，這時也稱)(x f y =是n 階可導。 二、導數(shù)與微

7、分計算 1導數(shù)與微分表 2導數(shù)與微分的運算法則 （1）四則運算求導和微分公式 （2）反函數(shù)求導公式 （3）復合函數(shù)求導和微分公式 （4）隱函數(shù)求導法則 （5）對數(shù)求導法 （6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導公式 （乙） 典型例題 一、用導數(shù)定義求導數(shù) 例 設(shè))()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =處連續(xù)，求()f a 解：()()()()0 ()lim lim ()x a x a f x f a x a g x f a g a x a x a =- 二、分段函數(shù)在分段點處的可導性 例1 設(shè)函數(shù) ?+=1 ,1,)(2x b ax x x x f 試確定a 、b 的值，使)(

8、x f 在點1=x 處可導。 解：可導一定連續(xù)，)(x f 在1=x 處也是連續(xù)的。 由 1lim )(lim )01(2 1 1 =- -x x f f x x b a b ax x f f x x +=+=+ +)(lim )(lim )01(1 1 要使)(x f 在點1=x 處連續(xù)，必須有1=+b a 或a b -=1 又 2111()(1)1(1)lim lim lim(1)21 1x x x f x f x f x x x =+=- 1 11()(1)1(1) (1)lim lim lim 111 x x x f x f ax b a x f a x x x + +-= 要使)(x

9、 f 在點1=x 處可導，必須(1)(1)f f -+=，即a =2. 故當1211,2-=-=-=a b a 時，)(x f 在點1=x 處可導. 例2 設(shè)1 lim )()1()1(2+=-x n x n n e b ax e x x f ，問a 和b 為何值時，)(x f 可導，且求()f x 解：1x 時，+=- ) 1(lim x n n e ， 1=,1,12,1,1, 1,)(2x x x x x x f 2,1, ()2,1,x x f x x ?=? x ，求 dx dy 解：x x y x ln ln = 對x 求導，得 11()ln x x y x x x y x =+

10、再令x x y =1，x x y ln ln 1=，對x 求導， 11 1 ln 1y x y =+， ()(ln 1)x x x x x =+ 于是 x x x x x x x x x dx dy 1ln )1(ln -+= （0 x ） 例3 設(shè))(x y y =由方程x y y x =所確定，求dx dy 解：兩邊取對數(shù)，得y x x y ln ln =， 對x 求導，ln ln y x y x y y x y + =+ (ln )ln x y y x y y x -=-，22n ln y xy y y x xy x -=- 例4 設(shè) ? ? ?+=?t u t t u du u e y

11、 udu e x 20)1ln(sin 2 2 求dy dx 解：)21ln(2sin sin 2222 4t e t e t te dt dy dt dx dy dx t t t +-= 四、求切線方程和法線方程 例1 已知兩曲線)(x f y =與2 arctan 0 x t y e dt -= ? 在點（0，0）處的切線相同，寫出此切線方 程，并求2lim ()n nf n 。 解：由已知條件可知0)0(=f ，(arctan )2 2 (0)11x x e f x -= =+ 故所求切線方程為x y =，2 ()(0) 2lim ()lim 22(0)2n n f f n nf f n

12、 n -=?= 例2 已知曲線的極坐標方程cos 1-=r ，求曲線上對應(yīng)于6 =處的切線與法線的直角 坐標方程。 解：曲線的參數(shù)方程為?-=-=-=-= cos sin sin sin )cos 1(cos cos cos )cos 1(2y x 1sin cos 2sin sin cos cos 6 226 6 =+-+-= = = = d dx d dy dx dy 故切線方程)4323(14321+-?=+- x y 即 04 5 343=+- -y x 法線方程 13()24 y x - +=- 即 04 1 341=+-+y x 例 3設(shè))(x f 為周期是 5 的連續(xù)函數(shù)，在0=

13、x 鄰域內(nèi)，恒有 (1s i n )3(1s i n )f x f x x x +-=+。其中0) (lim =x x x ，)(x f 在1=x 處可導， 求曲線)(x f y =在點（)6(,6f ）處的切線方程。 解：由題設(shè)可知)1()6(f f =，(6)(1)f f =，故切線方程為 (1)(1)(6)y f f x -=- 所以關(guān)鍵是求出)1(f 和(1)f 由)(x f 連續(xù)性)1(2)sin 1(3)sin 1(lim 0 f x f x f x -=-+ 由所給條件可知0)1(2=-f ， 0)1(=f 再由條件可知8)sin ) (sin 8(lim sin )sin 1(

14、3)sin 1(lim 00=+=-+x x x x x x f x f x x 令8) 1(3)1(lim ,sin 0=-+=t t f t f t x t ，又0)1(=f 上式左邊=) () 1()1(lim 3)1()1(lim 00t f t f t f t f t t +-+ =(1)3(1)4(1)f f f += 則4(1)8f = (1)2f = 所求切線方程為)6(20-=-x y 即 0122=-y x 五、高階導數(shù) 1求二階導數(shù) 例1 設(shè))ln(22a x x y +=，求y 解：y x = + 2 2 2 2 2 2 1)1(1a x a x x a x x +=

15、+ += 32223 22) (2)(21a x x x a x y +-=?+-=- 例2 設(shè)2ln(1)x arctan t y t =?=+? 求 2 2dx y d 解：t t t t dt dx dt dy dx dy 211122 2 =+= 2 222 ()()2 /2(1)11dy dy d d d y dx dx dx t dx dx dt dt t =+ 例3 設(shè))(x y y =由方程12 2=+y x 所確定，求y 解：022=+yy x ，y x y - = 222 1x y y xy y y y y + ?-=-=- 2233 1 y x y y +=-=- 2求n

16、 階導數(shù)（2n ，正整數(shù)） 先求出, y y ，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出)(n y ，最后用歸納法證明。 有一些常用的初等函數(shù)的n 階導數(shù)公式 （1）x e y = x n e y =)( （2）)1,0(=a a a y x n x n a a y )(l n )(= （3）x y sin = )2sin()( n x y n += （4）x y cos = )2 cos() ( n x y n += （5）x y ln = n n n x n y =)!1()1(1)( 兩個函數(shù)乘積的n 階導數(shù)有萊布尼茲公式 )()() ()(0 )() () (x v x u C x v x u n k

17、k n k k n n =-= 其中)! (! k n k n C k n -= ，)()()0(x u x u =，)()()0(x v x v = 假設(shè))(x u 和)(x v 都是n 階可導 例1 設(shè)k x y =（k 正整數(shù)），求) (n y （n 正整數(shù)） 解：? ?+-=-k n k n x n k k k y n k n , 0, ,)1()1() ( 例2 設(shè)x x y n -=1，求)(n y （n 正整數(shù)） 解：)1(11 11)1(21+-=-+-= -x x x x x x y n n n 1 )(1)() 1(! )1(+-= -=n n n x n x y 例3 設(shè)

18、2 132 y x x =-+，求) (n y （n 正整數(shù)） 解：11)1()2(1 1 21)2)(1(1=-= x x x x x x y 22(2)(1)y x x -= 33(1)(2)(2)(1)y x x -= ()(1)(1)(1)!(2)(1)n n n n y n x x -+-+= 例4 設(shè)x x y 44cos sin +=，求)(n y （n 正整數(shù)） 解：2 2)22cos 1()22cos 1( x x y +-= x x 4c o s 4143)2c o s 22(412 +=+= )2 4cos(4)24cos(4411)(n x n x y n n n +=

19、+?=- 例5 設(shè)x e x y 23=，求)(n y （n 正整數(shù)） 解：用萊布尼茲公式 )(2)(30 ) ()()(k n x k n k k n n e x C y -= ) 3(2)2(2)1(22)(23)(66 ) 2)(1()(62)1()(3)(?-+-+ +=n x n x n x n x e n n n e x n n e nx e x )2)(1()1(612822323-+-+=-n n n x n n nx x e x n 2.2 微分中值定理 本節(jié)專門討論考研數(shù)學中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ恚毫_爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中 值定理和泰勒定理（泰勒公式）。 這部分有關(guān)考題

20、主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細。 （甲） 內(nèi)容要點 一、羅爾定理 設(shè)函數(shù))(x f 滿足 （1）在閉區(qū)間b a ,上連續(xù)； （2）在開區(qū)間（b a ,）內(nèi)可導； （3）)()(b f a f = 則存在),(b a ，使得()0f = 幾何意義：條件（1）說明曲線)(x f y =在)(,(a f a A 和)(,(b f b B 之間是連續(xù)曲線；包括點A 和點B。 條件（2）說明曲線)(x f y =在B A ,之間是光滑曲線，也即每一點都有不垂直于x 軸的切線不包括點A 和點B 。 條件（3）說明曲線)(x f y =在端點A 和B 處縱坐標相等。 結(jié)論說

21、明曲線)(x f y =在點A 和點B 之間不包括點A 和點B 至少有一點，它的切線平行于x 軸。 二、拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù))(x f 滿足 （1）在閉區(qū)間b a ,上連續(xù)； （2）在開區(qū)間（b a ,）內(nèi)可導 則存在),(b a ，使得 ()() ()f b f a f b a -=- 或?qū)懗?)()()()()f b f a f b a a b -=-k ，有? -=k x dx x f xe k f 10 1)()1(， 求證存在)1,0(使1()(1)()f f -=- 證：由積分中值定理可知存在10,c k 使得)01)()(11 01-=-?k c f ce dx x f xe

22、 c k x 令)()(1x f xe x F x -=，可知)1()1(f F = 這樣1 110 (1)(1)()()()x c k F f k xe f x dx ce f c F c -=? ，對)(x F 在1,c 上用羅爾定理 （三個條件都滿足）存在)1,0()1,(?c ，使()0F = 而111()()()()x x x F x e f x xe f x xe f x =-+ 11 ()()(1)()0F e f f -=-= 又01-e ，則1 ()(1)()f f =- 在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對)(x f 用羅爾定理，否則結(jié)論只是()0f =，而且條件也不滿足。

23、因此如何構(gòu)造一個函數(shù))(x F ，它與)(x f 有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個條件，從()0F =就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個合適的)(x F 是非常關(guān)鍵，下面的模型，就在這方面提供一些選擇。 模型：設(shè))(x f 在,b a 上連續(xù)，（b a ,）內(nèi)可導，0)()(=b f a f 則下列各結(jié)論皆成立。 （1）存在),(1b a 使11()()0f lf +=（l 為實常數(shù)） （2）存在),(2b a 使1 222()()0k f k f -+=（k 為非零常數(shù)） （3）存在),(3b a 使333()()()0f g f +=（)(x g

24、 為連續(xù)函數(shù)） 證：（1）令)()(x f e x F lx =，在,b a 上用羅爾定理 ()()()lx lx F x le f x e f x =+ 存在),(1b a 使()()()011111 =+=f e f le F l l 消去因子1 l e ，即證. （2）令()()k x F x e f x =，在,b a 上用羅爾定理 1()()() k k k x x F x kx e f x e f x -=+ 存在),(2b a 使2212222()()()0k k k F k e f e f -=+= 消去因子k e 2 ，即證。 （3）令)()()(x f e x F x G

25、=，其中()()G x g x = () () ()()() ()G x G x F x g x e f x e f x =+ 由3()0F = 清去因子) (3G e ，即證。 例4 設(shè))(x f 在1,0上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，0)1()0(=f f ，1)2 1 (=f ，試證： （1）存在)1,2 1(，使=)(f 。 （2）對任意實數(shù)，存在),0(，使得()()1f f -= 證明：（1）令x x f x -=)()(，顯然它在0, 1上連續(xù)，又 021)21(,01)1(=x f ； （2）在),(b a 內(nèi)存在，使 ) (2)(2 2 f dx x f a b b a = -

26、? ； （3）在),(b a 內(nèi)存在與（2）中相異的點，使 222()()()b a f b a f x dx a -= -? 證：（1）因為a x a x f a x -+ ) 2(lim 存在，故0)2(lim =-+ a x f a x ，由)(x f 在b a ,上連續(xù)，從而0)(=a f . 又()0f x 知)(x f 在),(b a 內(nèi)單調(diào)增加，故 ),(,0)()(b a x a f x f = （2）設(shè))()()(,)(2b x a dt t f x g x x F x a = =? ， 則()()0g x f x =，故)(x F ，)(x g 滿足柯西中值定理的條件，于是

27、在),(b a 內(nèi) 存在點，使 22 2()() ()()() ()()()x b a x a a a F b F a b a x g b g a f t dt f t dt f t dt =-= = - -? ?， 即 ) (2)(2 2 f dx x f a b b a = -? （3）因)()(0)()(a f f f f -=-=，在,a 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在 (,)a 內(nèi)存在一點，使()()()f f a =-，從而由（2）的結(jié)論得 22 2()() ()b a b a f a f x dx -= -? ， 即有 2 2 2()()()b a f b a f x dx a -

28、=-?. 三、泰勒公式 例1 設(shè))(x f 在-1，1上具有三階連續(xù)導數(shù)，且0)1(=-f ，1)1(=f ，(0)0f =. 求證：)1,1(-?，使3)(=f . 證：麥克勞林公式 ()()()()()3 2! 3!2000 x f x f x f f x f + += 其中1,1x -，介于0與x 之間。 (0)0f = 2311(0)1 0(1)(0)(1)()(1)(10)2!6f f f f =-=+ -+-，則稱()0 x f 為函數(shù)()x f 的一個極小值，稱0 x 為函數(shù)()x f 的一個極小值點。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點與極小值點統(tǒng)稱極值點。 2、必要條件（

29、可導情形） 設(shè)函數(shù)()x f 在0 x 處可導，且0 x 為()x f 的一個極值點，則()00f x = 我們稱滿足()00f x =的0 x 為()x f 的駐點，可導函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。 極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。 3、第一充分條件 設(shè)()x f 在0 x 處連續(xù)，在0如果在()00,x x -內(nèi)的任一點x 處，有()0f x ，而在()+00,x x 內(nèi)的任一點x 處，有()0f x 如果在()00,x x -內(nèi)的任一點x 處，有()0f x ，則()0 x f 為極小值，0 x 為極小值點； 如果在()00,x x -內(nèi)與()+00,

30、x x 內(nèi)的任一點x 處，()f x 的符號相同，那么 ()0 x f 不是極值，0 x 不是極值點 4、第二充分條件 設(shè)函數(shù)()x f 在0 x 處有二階導數(shù)，且()00=x f ，()00f x ，則 當 ()00f x ，()0 x f 為極小值，0 x 為極小值點 三、函數(shù)的最大值和最小值 1求函數(shù))(x f 在,b a 上的最大值和最小值的方法。 首先，求出)(x f 在),(b a 內(nèi)所有駐點，和不可導點k x x .,1。 其次計算)(),(),(.,),(1b f a f x f x f k 最后，比較)(),(),(.,),(1b f a f x f x f k ，其中最大者

31、就是)(x f 在,b a 上的最大值M ；其中最小者就是)(x f 在,b a 上的最小值m 。 2最大（小）值的應(yīng)用問題 首先要列出應(yīng)用問題中的目標函數(shù)及其考慮的區(qū)間，然后再求出目標函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲怠?四、凹凸性與拐點 1凹凸的定義 設(shè))(x f 在區(qū)間上連續(xù)，若對任意不同的兩點21,x x ，恒有 )()(21)2( 2121x f x f x x f + （)()(2 1 )2(2121x f x f x x f +x 時，2 2)1x (lnx )1(-x 證：令2 2 )1x (lnx )1x ()x (f = 只需證明0 x 時，0)x (f 易知0)1(f =，1()2ln 2f x x x x x =-+- ， 0)1(f=，由于f (x)的符號不易判斷，故進一步考慮 21 f (x)2lnx 1x