八年級秋季班-第20講：期末復習

1、 期末復習 期末復習內容分析內容分析 本講整理了八年級上學期的四個章節(jié)內容，重點是二次根式的混合運算、一元二次方程的求解及應用、正反比例函數的綜合及幾何證明，難點是二次根式的混合運算及幾何證明中需要添加輔助線和直角三角形的性質及推論的綜合運用，希望通過本節(jié)的練習，可以幫助大家把整本書的內容串聯起來，融會貫通，更快更好的解決問題知識結構知識結構二次根式的性質二次根式的性質解法二次三項式的因式分解配方法平行向量定理因式分解法實際問題應用二次根式的加減二次根式的乘除混合運算最簡二次根式有理化因式和分母有理化同類二次根式二次根式二次根式的運算一元二次方程開平方法平行向量定理公式法平行向量定理根的判別式

2、根的情況選擇題函數的定義域和求選擇題函數的定義域和求函數值定義依據函數勾股定理的逆定理直角三角形的性質演繹推理幾何證明勾股定理直角三角形全等的判定線段的垂直平分線定理及逆定理角的平分線定理及逆定理正比例函數概念、圖像和性質反比例函數概念、圖像和性質正反比例函數綜合運用命題實際問題變量與常量點的軌跡函數的常用表示法：解析法列表法圖像法公理定理逆命題逆定理下列二次根式中，最簡二次根式是（）ABCD【難度】【答案】【解析】；【總結】本題考查了最簡二次根式的定義若一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍正確的是（ ）ABC且D【難度】【答案】【解析】因為方程有兩個實數根，故，則， 又因為一元二次方程的二

3、次項系數不為零，即；故【總結】本題考查了一元二次方程根的情況如果正比例函數圖像與反比例函數圖像的一個交點的坐標為(2，3)，那么另一個交點的坐標為（）A（-3，-2）B（3，2）C（2，-3）D（-2，-3） 【難度】【答案】【解析】反比例函數的圖像與正比例函數圖像的兩個交點關于原點對稱【總結】本題考查了反比例函數圖像的性質下列命題中，哪個是真命題（）A同位角相等B兩邊及其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等C等腰三角形的對稱軸是底邊上的高D若，則點P在線段AB的垂直平分線上【難度】【答案】【解析】中只有兩條直線平行，同位角相等；中不能證明三角形全等； 中等腰三角形的對稱軸是底邊上的高所在直

4、線，對稱軸應該是直線； 中是垂直平分線的性質【總結】本題考查了平行線性質，全等三角形的判定，對稱軸及垂直平分線性質 以下說法中，錯誤的是（）A在ABC中，C=A-B，則ABC為直角三角形B在ABC中，若A：B：C=5:2:3，則ABC為直角三角形C在ABC中，若，則ABC為直角三角形D在ABC中，若，則ABC為直角三角形【難度】【答案】【解析】選項均由三角形內角和定理可求得；由勾股定理可得為直 角三角形；中有三邊關系知構造不了三角形，故錯誤【總結】本題考查了直角三角形的判定關于x軸上有一點A到點B（-3，4）的距離是5，則點A的坐標是（）A（-6，0）B（0，0）C（-6，0）或（0，0）D以

5、上都不對【難度】【答案】【解析】過點作軸的垂線交軸為點，則點的坐標為，又因為點到軸 的距離為，所以由勾股定理可得點的坐標為【總結】本題考查了勾股定理的應用化簡成最簡二次根式后等于（）ABCD【難度】【答案】【解析】，即，故原式故選C【總結】本題考查了二次根式的化簡某同學做了以下四題，其中做錯的有（ ）；A1個B2個C3個D4個【難度】【答案】【解析】 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 正確； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 錯誤； = 2 * GB3 * MERGEFO

6、RMAT 中； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 中，故選B【總結】本題考查了二次根式的運算及化簡如果關于x的方程（其中a、b、c均為正數）有兩個相等的實數根，則以a、b、c為長的線段促成的是（ ）A等腰非等邊三角形B等邊三角形C直角三角形D不能確定形狀【難度】【答案】【解析】原方程可以整理為 方程有兩個相等的實數根， 整理得： 即 ，即 三角形為等邊三角形【總結】本題考查了一元二次方程根的判別式及配方的運用已知一直角三角形ABC的三邊為a、b、c，B=90，那么關于x的方程的根的情況是（）A有兩個相等的實數根B有兩個不相等的實數根C沒有實數根D無法確定【難度】【答案】【解析】解

7、：， 化簡原方程為：， 方程有兩個相等的實數根，故選項正確【總結】本題考查了勾股定理的應用及根的判別式的綜合運用多項式進行因式分解正確的是（）ABCD【難度】【答案】C【解析】解：令，由 由公式法得：；所以，故選C【總結】本題考查了一元二次方程的應用-二次三項式的因式分解的運用已知函數中隨的增大而增大，那么它和函數在同一直角坐標系平面內的大致圖像可能是（）【難度】【答案】【解析】函數中隨的增大而增大； 函數和函數的圖像都在一、三象限，故正確【總結】本題考查了正反比例函數的圖像和性質如圖，A、C是函數的圖象上任意兩點，過點作軸的垂線，垂足為，過點作軸的垂線，垂足為，記的面積為，的面積為，則和的大

8、小關系是（ ） C=D由A、C兩點的位置確定【難度】【答案】【解析】點和點都在反比例函數圖像上， ，故選【總結】本題考查了反比例函數的性質的運用如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC =6cm，BC =8cm，現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）A2cmB3cmC4cmD5cm【難度】【答案】【解析】解：在中，由勾股定理得：，再由折疊的性質可得，所以，且；設為，則，在中，有，即，解得：故項正確【總結】本題考查了圖形的折疊和勾股定理的應用，注意翻折的性質的運用在ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上的高AD=12，則ABC的周長是（）A42B32C

9、42或32D37或33【難度】【答案】【解析】，在中，由勾股定理得：，所以，同理可得：，所以當ABC為銳角三角形時，則ABC的周長；當ABC為鈍角三角形時，則ABC的周長；故選C【總結】本題考查了勾股定理的應用，注意當涉及到三角形一邊上的高時，要分兩種情況討論填空題填空題（1）若，則xy的值為_；（2）使成立的條件是_；（3）二次根式的有理化因式是_【難度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由題意得：，所以， 把代入，可得：，故； （2）由題意，得：，解得：； （3）的有理化因式是等【總結】本題考查了二次根式的有意義的條件及有理化因式的概念，注意任何一個二次根式的有理化因式是不唯一的

10、（1）方程的根是_；（2）已知關于x的一元二次方程（m）x+3x+m2=0的一個根為0，則m的值是_【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），則 （2）把代入方程得：且，則計算得出【總結】本題考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的條件（1）已知正比例函數y=(2m1)x的圖像上兩點，當時，那么m的取值范圍是_；（2）反比例函數的圖像經過直線y =3x上的點(m，m+2)，則m =_， 反比例函數的解析式為_【難度】【答案】（1）；（2）；【解析】（1）點和點都在正比例函數圖像上，當時，； 隨的增大而減小，即；故 （2）點(m，m+2)在函數圖像上，即； 此點坐標為，反比例函數解析式為

11、【總結】本題考查了正反比例函數的性質及解析式的求法（1）定理“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆命題是_；（2）命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是_【難度】【答案】見解析【解析】（1）如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形 （2）如果一個三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰三角形【總結】本題考查了互逆命題的應用（1）已知直角坐標平面內兩點 A(3，-1)和B(-1，2)，那么A、B兩點間的距離等于_； （2）已知直角坐標平面內的三個頂點的坐標分別為、， 則該直角三角形的直角頂點是_【難度】【答案】（1）；（2）點【解析】（1）由兩點間

12、距離公式，可得：； （2）、， ， ，所以，故直角頂點為點【總結】本題主要考查了兩點間距離公式的應用及勾股定理逆定理的應用（1）經過已知點、的圓的圓心的軌跡是_；（2）到點A的距離等于2厘米的點的軌跡_【難度】【答案】（1）線段的垂直平分線；（2）以點為圓心厘米為半徑的圓【解析】（1）由題意知，圓心應滿足到點和點的距離相等，從而根據線段的垂直平分線畫出即可； （2）到定點的距離等于定長的軌跡為圓【總結】本題考查了基本圖形的畫法（1）某地2016年4月份的房價平均每平方米為96000元，該地2014年同期的房價平均每平方米為76000元，假設這兩年該地房價的平均增長率均為，則關于的方程為_；（2

13、）某廠計劃今年的產值為a比前年翻一番，且這兩年的增長率相同，則這三年的總產值是_【難度】【答案】（1）；（2）【解析】根據平均增長率問題的方程類型來列方程： （1）；（2）設增長率為x，則，解得：，故這三年的總產值為：【總結】本題考查了一元二次方程中平均增長率問題的類型，注意對總產值的理解（1）在實數范圍內分解因式：_；（2）若一元二次方程在實數范圍內有實數根，則m的取值范圍 是_【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，由，所以由公式法得：，故 （2）由題意得：且；解得：【總結】本題考查了二次三項式的因式分解及根的判別式的運用計算：=_【難度】【答案】【解析】【總結】本題考查了二次根式

14、的混合運算，注意進行化簡ABCDE如圖，中，為中點，ABCDE則_【難度】【答案】【解析】，為中點，【總結】本題考查了直角三角形的性質及等腰三角形性質的綜合運用（1）如果正比例函數y = kx（k0）的自變量取值增加7，函數值相應減少4，那么當x =4時，y =_；（2）若x與3y成反比例函數關系，y與4z成反比例函數關系，則x與z成_比例函數【難度】【答案】（1）；（2）反【解析】（1）由題意得：，即，代入中，解得：， 所以正比例函數為，故當時，（2）由題意得：，所以，故與成反比例函數【總結】本題考查了正反比例函數的概念（1）如圖，已知在ABC中，CD平分ACD，A=2B，BC=，AD=，則

15、AC=_（用含、的代數式表示）；（2）在ABC，AB=BC，BD=DC，BC=CE，則圖中一定相等的角（小于平角) 有_對【難度】ABCD（1）EABCABCD（1）EABCD（2）【解析】（1）如圖所示，在上截取，使得，連接 平分，又， 又， ，又 （2）；（1）如圖，在RtABC中，C=90度，BC=24cm，BAC的平分線AD交BC于點D，BD：DC=5：3，則點D到AB的距離為_cm；（2）等腰直角三角形ABC的斜邊BC=4，DBC為等邊三角形，那么A、D兩點的距離是_；（3）在矩形ABCD中，AB:AD=1:2，將點A沿折痕DE對折，使點A落在BC上的F點，則ADE=_度【難度】【答

16、案】（1）9；（2）；（3）15【解析】（1）作于， ， 是的平分線， （2）分兩種情況： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 連接，交于， 為等邊三角形， ，垂直平分， ，； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 如圖示，由 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 得：， ； 所以 （3）如圖所示：由題意可得， 由翻折性質，則在，故； 在矩形中，所以， 故【總結】本題考查了直角三角形的性質，及分情況討論 一元二次方程有兩個不相等的實數根，求的最大整數值_【難度】【答案】【解析】由題意得：，解得：且，即， 所以的取值范圍為且所以的最大整數值為【總結】本題考查了一元

17、二次方程的定義及根的判別式的運用方程的較大根m，方程較小根為n，則mn的值_【難度】【答案】【解析】， ， 即， ，解得：， ， 又， 解得：， 故【總結】本題考查了一元二次方程的解法AOC與DCE均為等邊三角形，點A、D均在雙曲線上，點O為坐標原點，點C、E在x軸上，A、D的坐標分別是_AOCAOCDEyxHF【答案】；【解析】如圖，過點作軸于點，過點作軸于點 為等邊三角形，設 又點在雙曲線上， ，解得：或（舍），則點的坐標為；同理，設，則，解得：（負值舍去），則點的坐標為【總結】本題考查了反比例函數圖像上點的特征及等邊三角形的性質已知三角形ABC為等腰直角三角形，且A（2，3），B、C分別

18、在坐標軸上，則點B的坐標分別是_【難度】【答案】見解析【解析】如圖所示：；【總結】本題考查了簡單的數形結合思想解答題解答題（1）已知，求的值；（2）已知：，求的值【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）， 原式； （2）， 【總結】本題考查了二次根式的化簡和運算解方程：（1）；（2）【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），解得：， 原方程的解為； （2），化簡得：， 原方程的解為【總結】本題主要考查一元二次方程的解法證明：無論取任何實數時，方程都有實數根【難度】【答案】見解析【解析】 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，原方程可化為，解得：； = 2 * GB3 *

19、 MERGEFORMAT 當時，方程為一元二次方程，故方程有兩個實數根 所以無論取任何值，方程都有實數根【總結】本題考查了方程跟的情況，注意分類討論某商店將進價為8元的商品每件按10元出售，每天可買出200件，現在采取提高商品售價的辦法來增加利潤，如果這種商品每件的銷售價每提高05元銷售量就減少10件，問應將每件售價定為多少元時，才能使每天利潤為640元【難度】【答案】見解析【解析】解：設每件售價定為元， 由題意得： 化簡得：，解得：當時，；當時，所以售價定為元時每天可售件，售價定為元時每天可售件，利潤可達每天 元【總結】本題主要考查利用一元二次方程解決利潤問題已知正比例函數的圖像經過兩點求的

20、值；（2）如果點在反比例函數的圖像上，求反比例函數的解析式【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為正比例函數圖像經過，所以，解得：， 所以正比例函數解析式為，由題意得，當時，得：； （2）由點在反比例函數圖像，得：， 所以反比例函數解析式為【總結】本題考查了利用待定系數法求正反比例函數的解析式ABCDE如圖，在ABC中，C=90度，AC=BC，AD平分CAB，ABCDE求AC+CD的長【難度】【答案】cm【解析】過作，垂足為點， ，平分，在和中， 又，是等腰直角三角形， ， ， 【總結】本題考查了構建全等三角形證明線段相等 ABCD如圖：在四邊形中，C=90，求四邊形ABCDABCD【

21、難度】【答案】【解析】， 由勾股定理得：， ， 四邊形的面積【總結】本題考查了勾股定理逆定理的應用，從而快速求出幾何圖形的面積小智和小方沿同一條路同時從學校出發(fā)到圖書館查閱資料，學校與圖書館的路程是4千米，小智騎自行車，小方步行，當小智從原路回到學校時，小方剛好到達圖書館，圖中折現OABC和線段OD分別表示兩人離學校的路程（千米）與所經過的時間（分鐘）之間的函數關系，請根據圖像回答下列問題：小智在圖書館查閱資料的時間為_分鐘，小智返回學校的速度為_千米/分鐘；x（分鐘）y（千米）1530 x（分鐘）y（千米）153045AB小智O小方4CD【難度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）（分鐘）

22、， （），所以小智在圖書館查閱資料的時間為分鐘，小智返回學校的速度為千米/分鐘 （2）由圖像可知，是的正比例函數，設所求函數的解析式為， 代入，得：，解得：， 所以與的函數關系式為：【總結】本題考查了正比例函數解析式的求法，注意數形結合的理解 ABCDNMO如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADCABCDNMOO，M、N分別是邊AC、BD的中點求證：； （2）當BCA=15，AC=8cm，OB=OM時，求MN的長【難度】【答案】見解析【解析】（1）證明：連接 ，點、點分別是邊的中點，是的中點，（2），在中，【總結】本題考查了等腰三角形及直角三角形的性質的綜合運用已知：如圖，在等腰三角形中，C=

23、90，AD是CAB的平分線求證：AB=AC+CD；把原題中的“C=90”改為“C=100”，其余條件不變，如圖，請說出AB、AD、CD之間的數量關系，并證明AABCD（圖a）ABCD（圖b）EEF【難度】【答案】見解析【解析】（1）在邊上截?。?是的角平分線， ， ， ， ，； （2） 證明：在上截取， ， 又平分， 由（1）得， ， ，則， 【總結】本題考查了輔助線的添法-截長補短法的運用，注意對題目條件的有效分析已知：在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為D，BEAC，垂足為E，M為AC的中點，聯結DE，DM設當ABC時銳角三角形時（如圖），試用表示EDM；（2）當ABC時鈍角三角形時，

24、請畫出相應的圖形，并用表示EDM（可直接寫出）ABCABCDEM【答案】（1）；（2）【解析】（1）， ，又，為中點， ， （2）如圖，同（1）可得： ， ， 【總結】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質，注意角度之間的關系如圖，在氣象站臺A的正西方向240千米的B處有一臺風中心，該臺風中心以每小時20千米的速度沿北偏東60的BD方向移動，在距離臺風中心130千米內的地方都要受其影響臺風中心在移動的過程中，與氣象臺A的最短距離是多少?臺風中心在移動的過程中，氣象臺將受臺風的影響，求臺風影響氣象臺的時間ABCABCD東北E【難度】【答案】（1）；（2）小時【解析】（1）如圖，過點作于， 臺風中

25、心在上移動， 就是氣象臺距離臺風中心的最短距離， 在中， ， 所以臺風中心在移動過程中，與氣象臺的最短距離為；（2）由題意得：線段就是氣象臺受到臺風影響的路程，在中，臺風影響氣象臺的時間會持續(xù)（小時）【總結】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題的運用ABOxy如圖，在平面直角坐標系中，已知第一象限內的點A的坐標為（1，m）OA=2，正比例函數和反比例函數的圖像都經過點A，過點A作OA的垂線交x軸于點ABOxy求m和k的值；（2）求點B的坐標【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）第一象限內的點的坐標為，在正比例函數的圖像上，解得：，正比例函數經過第一、三象限， 則，代入，解得： （2）

26、由（1）得，設點的坐標為， ，由題意得：則在中，由勾股定理：，所以，解得：，所以【總結】本題考查了正反比例函數性質及勾股定理的運用 如圖，細心觀察，認真分析各式，如何解答問題：用含有n（n是正整數）的等式表述上述的變化規(guī)律；A1A2A1A2A3A4A5A6S5OS1S2S3S4求出的值【難度】【答案】（1）； （2）； （3）【解析】（1）由已知式子可得：，； （2）由圖可得：， 所以； （3）由（1）、（2）得：【總結】本題考查了勾股定理的運用如圖，在平面直角坐標系中，已知AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，3），點B在第一象限，點P是x軸正半軸上的一個動點，連接AP，并把AOP繞著點A按

27、逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到ABD當點P運動到點時，求此時DP的長及點D的坐標；ABPDOxyH若ABPDOxyH【難度】【答案】（1），D；（2）【解析】（1）是等邊三角形， 繞著點按逆時針方向旋轉邊與重合，旋轉角，是等邊三角形， 點坐標為， （2）過點D作DHx軸于點H，連接OD， 設點，因為點P是x軸正半軸上的一個動點，所以， 易證， ， ， 解得：， 故P點坐標為【總結】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質及分類討論，綜合性較強已知：在ABC中，AB=6，AC=5，A為銳角，ABC的面積為9，點P為邊AB上動點，過點B作BDAC,交CP的延長線于點D，A

28、CP的的平分線交AB于點E如圖1，當CDAB時，求PE的長；如圖2，當點E為AB中點時，請猜想并證明：線段AC、CD、DB的數量關系AABCDEP圖1PABCDE圖2F【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）過點E作EFAC于點F， ， 在中，由勾股定理得：， ， 平分，CDAB，EFAC， 易證， ， 在中， ； （2）連接并延長交于點， ， ， 又， ，平分， ， 【總結】本題考查了直角三角形的性質、勾股定理的應用及基本圖形的應用如圖，已知點，ABX軸，垂足為點B，將AOB繞點O逆時針旋轉90，得到在圖中畫出，并直接寫出的坐標；求的長；xyABC在軸上是否存在點C，使得為等腰三角形，如果存在，請求出所有符合條件的點xyABC【難度】【答案】見解析【解析】（1）； （2） （3）存在， = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 為以為圓心，為半徑與軸的交點，即， 則； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、為以為圓心，為半徑與軸的交點，即， 則，； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 為線段垂直平分線與軸的交點，即， 設，則，在中，由勾股定理得： ，故，所以【總結】本題考查了旋轉的特征及等腰三角形的性質，注意要分類討論已知：如圖，在ABC中，C=90，B=30，AC=3，點D、E、F分別在邊BC、AC