2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)5：函數(shù)的圖像及數(shù)字特征

1、 本文由天地良心范范奉獻(xiàn) doc文檔可能在WAP端瀏覽體驗(yàn)不佳。建議您優(yōu)先選擇TXT，或下載源文件到本機(jī)查看。 20232023 學(xué)年度高三數(shù)學(xué)人教版 A 版第一輪復(fù)習(xí)資料 第5講 【課標(biāo)要求】 一 課標(biāo)要求】 函數(shù)圖象及數(shù)字特征 1掌握根本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、 一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2掌握各種圖象變換規(guī)那么，如：平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3識(shí)圖與作圖：對(duì)于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢(shì)、對(duì) 稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象 與性質(zhì)一

2、些綜合性問題； 1 4通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù) y = x, y = x , y = x , y = x , y = x 2 的圖 2 3 1 像，了解它們的變化情況。 【命題走向】 二 命題走向】 函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底，所以在高考中，函數(shù)知識(shí) 占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、 數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高， 是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地 從歷年高考形勢(shì)來看： 1與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中或列表中讀取各種信息，注意利用平移變換

3、、 伸縮變換、對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解 題的能力，會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題； 2函數(shù)綜合問題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察； 3與冪函數(shù)有關(guān)的問題主要以 y = x, y = x , y = x , y = x , y = x 為主，利用它們 2 3 ?1 1 2 的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問題； 預(yù)測(cè) 2023 年高考函數(shù)圖象： 1題型為 1 到 2 個(gè)填空選擇題； 2題目多從由解析式得 函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問題等方面出題； 函數(shù)綜合問題： 1題型為 1 個(gè)大題； 2題目多以知識(shí)交匯題目為主，重在

4、考察函數(shù) 的工具作用； 冪函數(shù)：?jiǎn)为?dú)出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應(yīng)用其性 質(zhì)來解決； 【要點(diǎn)精講】 三 要點(diǎn)精講】 1函數(shù)圖象 1作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌 握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。 作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即 單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值甚至變化趨勢(shì) ；描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象。 運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)防止描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)防止盲目地連點(diǎn)成線 要把表列在關(guān)鍵處， 要把線連在恰當(dāng)處 這就要求對(duì)所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的 研究。而這個(gè)研究要借助于

5、函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn) 用圖象變換 法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為根底進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個(gè) 難點(diǎn) 2三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等等； 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王

6、 王 x 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w

7、 j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 -1-平移變換： 、水平平移：函數(shù) y = f ( x + a ) 的圖像可以把函數(shù) y = f ( x) 的圖像沿 x 軸方向向左 (a 0) 或向右 (a 0) 或向下 (a 0) 的圖像可以將函數(shù) y = f ( x)

8、的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱 坐標(biāo)伸長(zhǎng) (a 1) 或壓縮 0 a 0) 的圖像可以將函數(shù) y = f ( x) 的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫 坐標(biāo)伸長(zhǎng) (a 1) 或壓縮 0 a 1 0 1 0 圖 在考查學(xué)生對(duì)冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時(shí)，所涉及的冪函數(shù) y = x 中 -3- 限于在集合 ?2 ， ? 1， ? ， ， ，1， 2 ， 3? 中取值 冪函數(shù)有如下性質(zhì)： 它的圖象都過1，1點(diǎn)，都不過第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都不相交； ? 1 2 1 3 1 2 ?定義域?yàn)?R 或 函數(shù)都不具有奇偶性； 的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域?yàn)?R 或 0， + 的冪 + 冪函數(shù) y

9、= x ( 0) 都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng) 0 時(shí)為增函數(shù)； 任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)1，1 ，至多有三個(gè)公共點(diǎn)； 【典例解析】 四 典例解析】 題型 1：作圖 例 1 08 江蘇理 14 3 成立， 設(shè)函數(shù) f ( x) = ax ? 3 x + 1( x R ) ，假設(shè)對(duì)于任意的 x ? 1,1 都有 f ( x ) 0 成立，那么實(shí)數(shù) a 的 值為 【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用假設(shè) x0，那么不管 a 取何值， f ( x ) 0 顯然成立； 當(dāng) x0 即 x ?1,1 時(shí)， f ( x ) = ax ? 3 x + 1 0 可化為， a 3 3 1 ? x

10、2 x3 設(shè) g ( x) = 3 (1 ? 2x ) 3 1 ? 1? ? 3 ，那么 g ( x ) = ， 所以 g ( x ) 在區(qū)間 ? 0, ? 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 2 4 x x x ? 2? 1? ?1 ? ,1? 上單調(diào)遞減，因此 g ( x ) max = g ? ? = 4 ，從而 a 4； ?2 ? ? ?2? 當(dāng) x0 即 ?1, 0 ) 時(shí)， f ( x ) = ax ? 3 x + 1 0 可化為 a 3 3 (1 ? 2 x ) 3 1 ? 3 ， g ( x) = 0 2 x x x4 g ( x ) 在區(qū)間 ?1, 0 ) 上單調(diào)遞增，因此 g ( x )

11、ma n = g ( ?1) = 4 ，從而 a 4，綜上 a 4 【答案】4 點(diǎn)評(píng)：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢(shì)和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問題 即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個(gè) 關(guān)系； 例 2 2023 廣 東 卷 理 甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線假定為直線 那么對(duì)于圖中給定的 t0和t1 ， 行駛甲車、乙車的速度曲線分別為 v甲和v乙 如圖 2 所示 -4- 以下判斷中一定正確的是 A. 在 t1 時(shí)刻，甲車在乙車前面 B. t1 時(shí)刻后，甲車在乙車后面 C. 在 t0 時(shí)刻，兩車的位置相同 D. t0 時(shí)刻后，乙車

12、在甲車前面 答案 A 解析 由圖像可知，曲線 v甲 比 v乙 在 0 t 0 、0 t1 與 x 軸所圍成圖形面積大，那么在 t0 、t1 時(shí) 刻，甲車均在乙車前面，選 A. 2. (2023 山東卷理)函數(shù) y = e x + e? x 的圖像大致為 e x ? e? x y y ( ). y 1 O 1 x y 1 O1 x 1 O 1 x O 1 1 D x A 答案 A 解析 B C 函 數(shù) 有 意 義 , 需 使 e ?e x x 0 , 其 定 義 域 為 x | x 0 , 排 除 C,D, 又 因 為 y= e x + e? x e2 x + 1 2 = 2x = 1+ 2x

13、,所以當(dāng) x 0 時(shí)函數(shù)為減函數(shù),應(yīng)選 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1 【命題立意】:此題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).此題的難點(diǎn) 在于給出的函數(shù)比擬復(fù)雜,需要對(duì)其先變形,再在定義域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行考察其余的性質(zhì). 例 3函數(shù) y = f ( x )( x R ) 滿足 f ( x + 1) = f ( x ? 1) ，且當(dāng) x ? 1,1 時(shí)， f ( x ) = x 2 ， 那么 y = f (x ) 與 y = log 5 x 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A、2 B、3 C、4 D、5 y 1 x 解析：由 f ( x + 1) = f ( x ? 1) 知函數(shù)

14、y = f (x ) 的周期為 2，作出其圖象如右，當(dāng) x=5 時(shí)， -5- -1 O 1 5 f(x)=1,log5x=1; 當(dāng) x5 時(shí)，f(x)=10，1， log5x1, y = f (x ) 與 y = log 5 x 的圖象不再有交點(diǎn)，應(yīng)選 C 穩(wěn)固設(shè)奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R， 且對(duì)任意實(shí)數(shù) x 滿足 f(x+1)= -f(x)， 假設(shè)當(dāng) x0,1時(shí)， f(x)=2 -1, 那么 f( log 1 6 )= 2 x . 例 4 2023 江西卷文如下圖，一質(zhì)點(diǎn) P ( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)， 速度大小不 變，其在 x 軸上的投影點(diǎn) Q ( x, 0) 的

15、運(yùn)動(dòng)速度 V = V (t ) 的圖象 大致為 ( ) V (t ) V (t ) V (t ) V (t ) A O t B t O C t O D t O 答案 B 解析 由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn) P ( x, y ) 在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn) Q ( x, 0) 的速度先由 正到 0、到負(fù)數(shù)，再到 0，到正，故 A 錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn) P ( x, y ) 在終點(diǎn)的速度是由大到小接近 0，故 D 錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn) P ( x, y ) 在開始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn) Q ( x, 0) 的速度為常數(shù)，因此 C 是錯(cuò)誤的，應(yīng)選 B . 題型 3：函數(shù)的圖象變換 例 5 2023 全國文，21 21 本小題總

16、分值 12 分 設(shè) a R ，函數(shù) f ( x ) = ax 3 ? 3 x 2 假設(shè) x = 2 是函數(shù) y = f (x ) 的極值點(diǎn)，求 a 的值； 假設(shè)函數(shù) g ( x ) = f ( x ) + f ( x)，x 0， ，在 x = 0 處取得最大值，求 a 的取值范圍 2 解： 2 f ( x ) = 3ax ? 6 x = 3 x ( ax ? 2) -6- 因?yàn)?x = 2 是函數(shù) y = f ( x)的極值點(diǎn)，所以 f (2) = 0 ，即 6(2a ? 2) = 0 ，因此 a = 1 經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng) a = 1 時(shí)， x = 2 是函數(shù) y = f ( x) 的極值點(diǎn) 4 分

17、 由題設(shè)， g ( x) = ax ? 3 x + 3ax ? 6 x = ax ( x + 3) ? 3 x( x + 2) 3 2 2 2 當(dāng) g ( x) 在區(qū)間 0， 上的最大值為 g (0) 時(shí)， 2 g (0) g (2) ， 即 0 20a ? 24 6 9 分 5 6 反之，當(dāng) a 時(shí)，對(duì)任意 x 0， ， 2 5 6 g ( x) x 2 ( x + 3) ? 3 x( x + 2) 5 3x = (2 x 2 + x ? 10) 5 3x = (2 x + 5)( x ? 2) 5 故得 a 0 ， 2 而 g (0) = 0 ，故 g ( x ) 在區(qū)間 0， 上的最大值

18、為 g (0) 綜上， a 的取值范圍為 ? ?， ? 12 分 點(diǎn)評(píng)：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)那么解決實(shí)際問題。 例 6 2023 四川卷文函數(shù) f (x ) 是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意 實(shí)數(shù) x 都有 ? 6? 5? 5 xf ( x + 1) = (1 + x) f ( x) ，那么 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2 答案 解析 A 假設(shè) x 0，那么有 f ( x + 1) = ( D. ) 5 2 1+ x 1 f ( x) ，取 x = ? ，那么有： x 2 1 1 f ( ) = f (? + 1) = 2 2 1? 1 2 f (?

19、 1 ) = ? f (? 1 ) = ? f ( 1 ) f (x ) 是偶函數(shù)，那么 1 2 2 2 ? 2 -7- 1 1 1 f (? ) = f ( ) 由此得 f ( ) = 0 于是 2 2 2 3 1 1+ 1+ 5 3 2 f ( 3 ) = 5 f ( 3 ) = 5 f ( 1 + 1) = 5 2 f ( 1 ) = 5 f ( 1 ) = 0 f ( ) = f ( + 1) = 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 題型 4：函數(shù)圖象應(yīng)用 例 7函數(shù) y = f ( x) 與 y = g ( x ) 的圖像如以下圖：那么函數(shù) y = f ( x )

20、 ? g ( x ) 的圖像可能是 y y=f(x) o x o y y=g(x) x y y x y x B y x C o o o o D x A 解析：函數(shù) y = f ( x ) ? g ( x ) 的定義域是函數(shù) y = f ( x) 與 y = g ( x ) 的定義域的交集 (?, 0) U (0, +) ，圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除 C、D。 由于當(dāng) x 為很小的正數(shù)時(shí) f ( x ) 0 且 g ( x ) 0 ，故 f ( x ) ? g ( x ) 2 時(shí)，f(x)0，從而有 a0， -8-b0。 點(diǎn)評(píng)：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。 題型 5：

21、函數(shù)圖像變換的應(yīng)用 例 9 0 a 1 ，方程 a A2 B3 | x| =| log a x | 的實(shí)根個(gè)數(shù)為 C4 | x| D2 或 3 或 4 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程 a =| log a x | 的 根 的 個(gè) 數(shù) 即 為 函 數(shù) y = a |x| 與 函 數(shù) y =| log a x | 的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 該題通過作圖很可能選錯(cuò)答案為 A，這是我們作圖的易錯(cuò)點(diǎn)。假設(shè)作圖標(biāo)準(zhǔn)的話，在同一個(gè) 直角坐標(biāo)系下畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖知當(dāng) 0 a e 當(dāng)a = e 1 時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3 個(gè)； 1 1 時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4 個(gè)；當(dāng) a = 時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2 個(gè)。選

22、項(xiàng)為 D。 16 2 點(diǎn)評(píng)：該題屬于“數(shù)形結(jié)合的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù) 的交點(diǎn)問題 ，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)那么求得結(jié)果即可。 例 10設(shè) f ( x) =| 2 ? x 2 | ，假設(shè) a b 0 ，且 f (a) = f (b) ，那么 ab 的取值范圍是 A (0 , 2) B (0 , 2 C (0 , 4 D (0 , 2) 解析：保存函數(shù) y = 2 ? x 2 在 x 軸上方的圖像，將其在 x 軸下方的圖像翻折到 x 軸上方 區(qū)即可得到函數(shù) f ( x) =| 2 ? x 2 | 的圖像 通過觀察圖像，可知 f ( x) 在區(qū)間 (?, ? 2

23、 上是減函數(shù)，在區(qū)間 ? 2,0 上是增函數(shù)， 由 a b 0 ，且 f (a) = f (b) 可知 a ? 2 b 0 ，所以 f (a ) = a 2 ? 2 ， f (b) = 2 ? b 2 ，從而 a 2 ? 2 = 2 ? b 2 ，即 a 2 + b 2 = 4 ，又 2 | ab | a 2 + b 2 = 4 ，所以 0 ab 0, m, n 均為奇數(shù) B mn 0, m, n 一奇一偶 O -9- x C mn 0, m, n 一奇一偶 解析： 該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)， 由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢(shì)說明函數(shù)在 (0,+) m 上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證 0 ，即 mn 0

24、 ，有 y = x n = x |n| ；同時(shí)函數(shù)只在第一象 n m |m| 限有圖像，那么函數(shù)的定義域?yàn)?(0,+) ，此時(shí) | n | 定為偶數(shù)， n 即為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)， 那么 m 定為奇數(shù) 答案：選項(xiàng)為 B。 點(diǎn)評(píng)：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式的題目。為此需要分清冪 函數(shù) y = x 在 0,0 1 幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情 形下 取不同數(shù)值對(duì)函數(shù)圖像的影響也要了解 例 12畫出函數(shù) 的圖象，試分析其性質(zhì)。 應(yīng)是由反比例函數(shù) 解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它 平移而來， 這種變 換是解決這類問題 的關(guān)鍵 ，由此說明， 是由 圖

25、象向右平移 3 個(gè)單位，再向下平 移 2 個(gè)單位得到的，如下圖：具體畫圖時(shí)對(duì)于圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即 x = 0, y = ?1, y = 0, x = 鍵點(diǎn)。 。故圖象一定過0，1和 兩個(gè)關(guān) 再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域 x | x 3, x R值域 y | y ?2, y R ，單 - 10 - 調(diào)區(qū)間 上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對(duì)稱圖形， 對(duì)稱中心是3，2 。 點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù) y = 1 的圖象與性質(zhì)是解決該類問題根底。注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能 x 用并集號(hào) 。 題型 7：抽象函數(shù)問題 例 13 函 數(shù) f (x ) 的 定 義 域 為 D

26、 ： x | x 0 且 滿 足 對(duì) 于 任 意 x1 , x 2 D ， 有 f ( x1 ? x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ). 求 f (1) 的值； 判斷 f (x ) 的奇偶性并證明； 如果 f ( 4) = 1, f (3 x + 1) + f ( 2 x ? 6) 3, 且f ( x)在(0,+) 上是增函數(shù)，求 x 的取 值范圍。 解：令 x1 = x 2 = 1, 有f (1 1) = f (1) + f (1), 解得f (1) = 0. 證明：令 x1 = x2 = ?1, 有f (?1) (?1) = f (?1) + f (?1), 解得f (

27、?1) = 0 令 x1 = ?1, x 2 = x有f ( ? x) = f ( ?1) + f ( x), f ( ? x) = f ( x). f (x) 為偶函數(shù)。 f ( 4 4) = f ( 4) + f ( 4) = 2, f (16 4) = f (16) + f ( 4) = 3. f (3 x + 1) + f ( 2 x ? 6) 3即f (3 x + 1)(2 x ? 6) f (64) 1 f ( x)在(0,+) 上是增函數(shù)， 1等價(jià)于不等式組： 1 ? ? x 3或x ? 3 , ? 1 x 0, ?(3 x + 1)(2 ? 6) 0, ? ? 或? 或? 3

28、? ? ?(3 x + 1)(2 x ? 6) 64, ? (3 x + 1)(2 x ? 6) 64. ? 7 x 5, ?x R ? ? 3 ? - 11 - 7 1 1 x ? 或 ? x 3. 3 3 3 7 1 1 x 的取值范 圍為 x | ? x ? 或 ? x 3或3 x 5. 3 3 3 3 x 5或 ? 點(diǎn)評(píng)：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等 知識(shí)， 還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。 認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系， 抓住條件 f(x1+x2) f(x1)f(x2)找到問題的突破口，由 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為 f (

29、x) = f ( + ) = f ( )? f ( ) 是解決 問題的關(guān)鍵 例 14設(shè)函數(shù) f ( x)在( ?,+) 上滿足 f ( 2 ? x ) = f ( 2 + x ), f (7 ? x ) = f (7 + x ) ，且 在閉區(qū)間0，7上，只有 f (1) = f (3) = 0. 試判斷函數(shù) y = f (x ) 的奇偶性； 試求方程 f ( x ) = 0 在閉區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論 x x 2 2 x 2 x 2 f (2 ? x) = f (2 + x) ? f ( x) = f (4 ? x) 解析： 由 ? ? ? f (4 ? x) = f (14 ? x) ? f (7 ? x) = f (7 + x) ? f ( x) = f (14 ? x) f ( x) = f ( x + 10) ， 從而知函數(shù) y = f (x ) 的周期為 T = 10 又 f (3) = f (1) = 0, 而f (7) 0 ， f (?3) = f (?3 + 10) = f (7) 0 ，所以 f (?3) f (3) 故函數(shù) y = f (x ) 是非奇非偶函數(shù)； (II) 又 f (3) = f (1) = 0, f (11) = f (13) = f (?7) = f (?9) = 0 故 f