十重積分的計算方法探討

1、教研室高等數(shù)學(xué)研究第十二講通過教學(xué)使學(xué)生掌握計算二重積分與三重積分的各種方法。1.化累次積分計算二重積分與三重積分2利用極坐標計算二重積分3、用球坐標計算三重積分難點是二重積分與三重積分的計算技巧重積分的計算方法探討二重積分的基本計算方法有兩種，一是化累次積分的方法1后 2，教研室高等數(shù)學(xué)研究第十二講通過教學(xué)使學(xué)生掌握計算二重積分與三重積分的各種方法。1.化累次積分計算二重積分與三重積分2利用極坐標計算二重積分3、用球坐標計算三重積分難點是二重積分與三重積分的計算技巧重積分的計算方法探討二重積分的基本計算方法有兩種，一是化累次積分的方法1后 2，先 2后 1，）3、用柱坐標計算三重積分授課對象

2、重積分的計算方法探討,二是極坐標的方法。課時數(shù)4 數(shù)值分析課程名稱授課題目教學(xué)目的重點難點第十二講一、二重積分的計算方法教1.化累次積分計算二重積分2利用極坐標計算二重積分二、二重積分的計算技巧學(xué)3.改變累次積分的次序計算二重積分4.分割積分區(qū)域計算二重積分5.利用函數(shù)的奇偶性化簡二重積分提三、三重積分的計算1、用函數(shù)奇偶性化簡三重積分2用直角坐標計算三重積分（先綱4、用球坐標計算三重積分1 / 10 教學(xué)后記重積分的計算方法探討,二是極坐標的方法。型區(qū)域1(x)a型區(qū)域1(x)dcxydD 看成是 X2 x1 14xydD 看成是 Y2 21 yy 1可把 D 看成是 Xy1ydy1其中 D

3、 是由直線 y 1、x 2及 y x 所圍成的閉區(qū)域型區(qū)域 1 x 教學(xué)后記重積分的計算方法探討,二是極坐標的方法。型區(qū)域1(x)a型區(qū)域1(x)dcxydD 看成是 X2 x1 14xydD 看成是 Y2 21 yy 1可把 D 看成是 Xy1ydy1其中 D 是由直線 y 1、x 2及 y x 所圍成的閉區(qū)域型區(qū)域 1 x 2 1 y x 于是 xydyx221型區(qū)域 1 y 2 y x 2 于是 xyddy1x2型區(qū)域2(x)2(x)2(x)2(y)dx21dx2y2d1 x 1 x y 1 于是 a x b x)f (x, y)dydx c y d y)2128x1y D 是由直線 y

4、 1、xf(x9xydyx2221及 y x 所圍成的閉區(qū)域x,y)dxy2，212ydy2x1dxxdx112x1(2y21ydyy32(x)dy3y2x)dxy481289第十二講重積分的計算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲線積分、曲面積分和概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，分割積分區(qū)域、利用函數(shù)的奇偶性簡化積分和利用對稱性（輪換）簡化積分是重積分計算的技巧。一、二重積分的基本計算方法二重積分的基本計算方法有兩種，一是化累次積分的方法1.化累次積分計算二重積分XD bf(x,y)dDY D f (x,y)dD例 1： 計算D【解法一】把xydD1 x2 4【評注】積分還可以寫成D【解法二】也可把xydD

5、例 2 計算D【解】 畫出區(qū)域 D2 / 10 x211型區(qū)域 : 1 y 1x2積分區(qū)域、Dcos ,1e閉區(qū)域 D 可表示為 : 0eDe ) d此處積分x2y2 z2 4a2 y2 2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體體積為第一卦限部分的四倍4y 2ax2a cosy2d3(11 xy y2dD 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便表達比較簡單D:sin ) d dx2a 0 x20a20ey2立體的體4a2x201 11 xx2于是11且被積函數(shù)這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分 1dy22y2x211型區(qū)域 : 1 y 1x2積分區(qū)域、Dcos ,1e閉區(qū)域 D 可表示為

6、 : 0eDe ) d此處積分x2y2 z2 4a2 y2 2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體體積為第一卦限部分的四倍4y 2ax2a cosy2d3(11 xy y2dD 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便表達比較簡單D:sin ) d dx2a 0 x20a20ey2立體的體4a2x201 11 xx2于是11且被積函數(shù)這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分 1dy22y202x2a2x2及 x 軸所圍成的閉區(qū)域2dx yy ) 1xdxydy( )2( )dxdydxdy(1y2y2dxdy123y1 2( )其中 D 是由中心在原點、半徑為ee )dxdy也常寫成x2211

7、 x( )f (a 的圓周所圍成的閉區(qū)域2a2ey2dy12則cos ,d dx21(|xy2dxsin ) d2y|321)dxadxdy23210d(xd321)dx e12122a0dD13也可 D 看成是 Yy 1D2利用極坐標計算二重積分有些二重積分用極坐標變量f(x,y)dD若積分區(qū)域 可表示為f (D例 3 計算D【解】在極坐標系中于是D12(1【評注】D例 4 求球體 x2 被圓柱面 x2積【解】由對稱性VD其中 D 為半圓周在極坐標系中 D 可表示為03 / 10 Va2 (1 sinX 型積分比較困難， 甚至積不出來， 但視為 Y 型區(qū)域就除了看積分區(qū)域外還應(yīng)看被積函數(shù)y2

8、x的一次函數(shù)，“先 x后 y”積分較容易，yxydxdy10dx e dyf (x) (x)dxmax()，min()往往在積分區(qū)域的不同部分有不同，以正確計算積分(x1 x2. D(x,y) 1420。xydxdy03yysint0 x,y) xy2dxdy.1x24a23，其Va2 (1 sinX 型積分比較困難， 甚至積不出來， 但視為 Y 型區(qū)域就除了看積分區(qū)域外還應(yīng)看被積函數(shù)y2x的一次函數(shù)，“先 x后 y”積分較容易，yxydxdy10dx e dyf (x) (x)dxmax()，min()往往在積分區(qū)域的不同部分有不同，以正確計算積分(x1 x2. D(x,y) 1420。xy

9、dxdy03yysint0 x,y) xy2dxdy.1x24a23，其中 是由直線dy22dtt2(x,y) 0y22)dD y0 xyy2x22,x2acosd d323x,yy2202,xy20,y4 da2(21,xxydxy0,1,x02023)0所圍成的平面dyy0,y. 023004a210，1，2yx2d2y2 1dy表示不超過29x2. y2的D323二、二重積分的計算技巧1.改變累次積分的次序計算二重積分有些題目若把積分區(qū)域視為好積多了?；鄞畏e分時，例 5 計算二重積分D區(qū)域. 【解】積分區(qū)域如右圖 .因為根號下的函數(shù)為關(guān)于所以把 D 視為 Y 型區(qū)域1y2D2 13 y

10、1 1例 6：(1)求0 xx(2) ，計算【分析】這兩個幾分直接計算都是困難的，但交換累次積分的順序后計算就簡單多了。2.分割積分區(qū)域計算二重積分絕對值函數(shù)、分段函數(shù)、取整函數(shù)，的取值， 應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)合理分割積分區(qū)域例 7設(shè)D最大整數(shù) . 計算二重積分D【分析】首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可【解】令D24 / 10 x1 x2D1sin cos d. 而實際考題中， 被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，fff(x,y)關(guān)于 x是偶函數(shù)，并且2D左（1）能簡化二重積分的計算。DD x. 積分區(qū)域 如右圖所示 .因為區(qū)域 關(guān)于 軸對稱，f (x,y)g(x,y)1111.

11、y2dxdy=D210如取絕對值函(x,y) max f(x,y)(x,y) xD 關(guān)于 Y 軸對稱 ,則f (x,y)dxdyD右(x, y)關(guān)于 軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積D D x11xy1x2x2xyx2x1 x2D1sin cos d. 而實際考題中， 被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，fff(x,y)關(guān)于 x是偶函數(shù)，并且2D左（1）能簡化二重積分的計算。DD x. 積分區(qū)域 如右圖所示 .因為區(qū)域 關(guān)于 軸對稱，f (x,y)g(x,y)1111. y2dxdy=D210如取絕對值函(x,y) max f(x,y)(x,y) xD 關(guān)于 Y 軸對稱 ,則f (x

12、,y)dxdyD右(x, y)關(guān)于 軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積D D x11xy1x2x2xyx2xydxdy 2r dr、取極值函數(shù)在區(qū)域 D 上連續(xù)，則關(guān)于 是奇函數(shù)，并且2x2是變量 的偶函數(shù)，x2是變量 的奇函數(shù) .則x2y2y2y2xydxdy3(x,y,g(x,y) fD 關(guān)于 Y 軸對稱,則f (x,y)dxdyy2y2y2dxdyDdxdydxdyD2以及取整函數(shù)f(x,y)dxdy。1,xyy2101120(x, y0；011，x2sin cos d等等. ， 計算二重積分x2y22111y2dxdyDr drxyx2dxdyxy13y22 dx2=dx

13、dy.20y21810dxdy34r1ln2278r. .2drln22D20【評注】對于二重積分（或三重積分）的計算問題，當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域積分數(shù)3.利用函數(shù)的奇偶性化簡二重積分設(shè)函數(shù)（1）如果D（2）如果 ff(x,y)dxdyD評論：還有兩條類似的結(jié)論，例 8:設(shè)區(qū)域D【分析】由于積分區(qū)域分，又積分區(qū)域為圓域的一部分，則將其化為極坐標系下累次積分即可【解】函數(shù)函數(shù)1DxyD故D【評注】只要見到積分區(qū)域具有對稱性的二重積分計算問題，就要想到考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計算例設(shè)二元函數(shù)5 / 10 1y2f(x,y)d D4D1DD12

14、x dD11D1sinf (x, y)dD1( x2 y2 y)d x y2 (x 1)2 y2D (x,y)|x2 y2 4減去小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可 . D (x,y)| x2 y2 4, D (x,y)|(x 1)2 y1y2f(x,y)d D4D1DD12x dD11D1sinf (x, y)dD1( x2 y2 y)d x y2 (x 1)2 y2D (x,y)|x2 y2 4減去小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可 . D (x,y)| x2 y2 4, D (x,y)|(x 1)2 y2 1yd 03d r2dr d r(3 2)( xx,1(x,y) xf(x,y)d

15、111( x,y)|120212cos4211 222yxy為 D 在第一象限的部分 . ( |0 x1x2df (x,y)d4和，2dry21,y2.x,y)ydxy20131所圍成. y)d2,y2，1 x02sincossin4 2ln( 21691xx2dcossin21)(3x，00,ydx20cos2. 2). x010dd1xsin2ln( 2, 2cos1)(1 xdr. )dx112, f(x,y)x2計算二重積分 ，其中D【解】由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性有f (x,y)dD其中設(shè)Df (x, y)dD1f(x,y)dD1220因此D例 10: 求 ，其中 D 是由圓D

16、的平面區(qū)域 (如圖). 【分析】首先，將積分區(qū)域 D 分為大圓D2 ( x,y)|(x 1)2 y2 1【解】令由對稱性， . Dx2 y2d x2 y2d x2 y2dD D1 D22 2 2cos0 0 0216 32 163 9 9所以，D三、重積分的計算6 / 10 關(guān)于 xy(yz 或 zx)面對稱，而f(x,y,z)dV: 1:0ey關(guān)于 ey2 2 1 1關(guān)于 面對稱，ez x如圖，則f (x,y,z)dVf (x, y,z)dVDzc1 z的形狀以及被積函數(shù)的特點xdxdydz，z 1:xxdxdydzf2xz2yoz面對稱，4xoz ez2可表示為dxdy f (x, y,z

17、)dzbac為三個坐標面及平面x0(x,y)110(x,y,z)f (x,y,z)dV （1, 01, xsinx322tanz1(x,y) z(x,y)z1(x,y)dx，故2x2yz 1D1 xxdx是 z(x 或 y)的偶（奇）函數(shù)，關(guān)于 xy(yz 或 zx)面對稱，而f(x,y,z)dV: 1:0ey關(guān)于 ey2 2 1 1關(guān)于 面對稱，ez x如圖，則f (x,y,z)dVf (x, y,z)dVDzc1 z的形狀以及被積函數(shù)的特點xdxdydz，z 1:xxdxdydzf2xz2yoz面對稱，4xoz ez2可表示為dxdy f (x, y,z)dzbac為三個坐標面及平面x0(

18、x,y)110(x,y,z)f (x,y,z)dV （1, 01, xsinx322tanz1(x,y) z(x,y)z1(x,y)dx，故2x2yz 1D1 xxdx是 z(x 或 y)的偶（奇）函數(shù)，f(x,y,z)dVy22dVsintan2z2(x,y)Dy2(x)y1(x)f(x,y,z)dVDz2yx 2y200）。1, 0y2ey sinx3dVx3為 x的奇函數(shù)，故x y3 y的奇函數(shù)，故y3dy fc2c1z(dyz1，求2e x23z2(x,y)z1(x,y)dz1所圍成的區(qū)域。先一后二101，求ez2y2為dV(x,y,z)dzf(x,y,z)dxdy)x 2y2ey2d

19、Vsine xez x0dzsin x3tan x2y33z22y102dV3dVdVtantan121 xxdx (1 x；。022x20y3 dVy3 dV2y)dy03dV31 123對稱性：若則1例 11：(1)設(shè)(2)設(shè)【解】 (1)積分區(qū)域故原式(2)故2用直角坐標計算三重積分在直角坐標系中，可化三重積分為三次積分。設(shè)積分域z2(x,y)故D式稱為計算三重積分的先一后二法。式可進一步化為式即為計算三重積分的三次積分法。(x,y)也可表示為式稱為計算三重積分的先二后一法或切片法。注：用直角坐標計算三重積分的關(guān)鍵是根據(jù)積分區(qū)域選擇適當(dāng)?shù)姆e分組合與次序。例 12：求0【解】0故7 / 1

20、0 1 xx(1xyzdxdydz，:2y2xyzdxdydzD120sin2I1:ccDzab zx2dxdydz152關(guān)于xydxdydzIzdxdydz，:1 z 220Dz1x)y為球面0(xydxdyd20z2dxdydz, I2(x,y)z2cc04x2xoy,yzdxdydz2由(x, y)zdz dxdyDz2y2xz 1 x極坐標)0014(xD :dz2a3bcy2yoz,zox面對稱，而 xy,zxdxdydz 0 x2x2Dz : x y2102022zdzr cos16yy2adxdy1,z2yz,zx分別為 x,y,zy2y221zdzdxy2yxyr sin148

21、z)2dxdydz，2czc2y2dxdydz152xy的奇函數(shù)，z2 dxdydzz23zdxdy14z22(121由b2z21 xx(1xyzdxdydz，:2y2xyzdxdydzD120sin2I1:ccDzab zx2dxdydz152關(guān)于xydxdydzIzdxdydz，:1 z 220Dz1x)y為球面0(xydxdyd20z2dxdydz, I2(x,y)z2cc04x2xoy,yzdxdydz2由(x, y)zdz dxdyDz2y2xz 1 x極坐標)0014(xD :dz2a3bcy2yoz,zox面對稱，而 xy,zxdxdydz 0 x2x2Dz : x y21020

22、22zdzr cos16yy2adxdy1,z2yz,zx分別為 x,y,zy2y221zdzdxy2yxyr sin148z)2dxdydz，2czc2y2dxdydz152xy的奇函數(shù)，z2 dxdydzz23zdxdy14z22(121由b2z22dz42yz4154, x2(x, y)2112x21及三個坐標面所圍第一卦限部分。0先一后二)1rxa1a 1415ab3c2zxdxdydzabc a2yDz : xzdzx3 dxz0 x2222zcz2c2abc3b2222dxdy1 14 21 xr 1y2 dxdyrdry2b222b 1c23z圍成。y223212z2c2(z2c

23、2414y21201圍先二后一)dzz148cos sin d2先二后一 )0r3r dr50例 13、求【解】(x,y) D01 x2故D121 12 2例 14、求成。2【解】c zI1c2由對稱性，I因為故從而例 15：求【解】0 z 1zdxdydzDz8 / 10 z1Mr cosyz在dVf(x,y,z)dVzdxdydz，:110z2:210 x22: 0 r2y2 dxdydz稱為 的球坐標，規(guī)定z23zdz(x, y,z)在 xoy面上的投影為 P P (rr sinxoy面上的投影是圓或被積函數(shù)含有rdrd dz，f r由(x,y)12zdzDzzdzz02 rdy2 dx

24、dydz，z220rr22， 的極坐標為. x2( cos , sin ,z)rdrd dzzDz : xzdxdy212r20由2d,0z, )，則 (ry2r22120zrz1Mr cosyz在dVf(x,y,z)dVzdxdydz，:110z2:210 x22: 0 r2y2 dxdydz稱為 的球坐標，規(guī)定z23zdz(x, y,z)在 xoy面上的投影為 P P (rr sinxoy面上的投影是圓或被積函數(shù)含有rdrd dz，f r由(x,y)12zdzDzzdzz02 rdy2 dxdydz，z220rr22， 的極坐標為. x2( cos , sin ,z)rdrd dzzDz : xzdxdy212r20由2d,0z, )，則 (ry2r22120zr11rdrx20, 0(4, ,z) M時，適宜用柱坐標。顯然，在dx2y2zdzDz1(22r22r2z2)dz稱為 的柱rdry2, z