《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題第四章

1、個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第四章1一個袋子中裝有四個球，它們上邊分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3，今從袋中任取一球后不放回，再從袋中任取一球，以X,Y分別表示第一次，第二次拿出的球上的標(biāo)號，求(X,Y)的散布列.資料個人采集整理，勿做商業(yè)用途(X,Y)的散布列為Y123X101161221116663110126此中P(X1,Y1)P(X1)P(Y1|X1)0余者類推。2將一枚硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，試寫出(X,Y)的散布列及邊緣散布列。資料個人采集整理，勿做商業(yè)用途解一枚硬幣連擲三次相當(dāng)于三重貝努里

2、試驗，故XB(3,1).P(Xk)C3k(1)3,k0,1,2,3，于是(X,Y)的散布列和邊沿22散布為0X23pjY1103306888310012888pi13318888此中P(X0,Y1)P(X0)P(Y1|X0)0，P(X1,Y1)P(X1)P(Y1|X1)C31(1)313，2834/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)余者類推。3設(shè)(X,Y)的概率密度為又（1）D(x,y)|x1,y3；（2）D(x,y)|xy3。求P(X,Y)D解（1）P(x,y)D131xy)dxdxy(6x02811943；862284（2）P(X,Y)D13x1xy)dxdy02(6285.y2424設(shè)(X,Y

3、)的概率密度為x+y=3y2r2(rR)內(nèi)的概率.求（1）系數(shù)C；（2）(X,Y)落在圓x2解（1）1C(Rx2y2)dxdyCR32RCr2drdx2y2R200CR32R3CR3，33C33.R（2）設(shè)D(x,y)|x2y2r2，所求概率為3Rr22r33r22r33R21.R3R5已知隨機(jī)變量X和Y的結(jié)合概率密度為求X和Y的結(jié)合散布函數(shù).1設(shè)(X,Y)的散布函數(shù)為F(x,y)，則2由結(jié)合密度可見，X,Y獨立，邊沿密度分別為邊沿散布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，則設(shè)(X,Y)的散布函數(shù)為F(x,y)，則6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在地區(qū)D:0 x1，|y|x內(nèi)遵照平均散布，求邊沿概率密度

4、。y解(X,Y)的概率密度為D對于X和Y的密度為0 x135/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)1|y|,|y|1,0,其余.yx=y7設(shè)(X,Y)的概率密度為求邊沿密度和概率P(XY1)解x+y=11x12e2e1.08一電子儀器由兩個零件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個零件的壽命（單位：千小時）已知X,Y的結(jié)合散布函數(shù)為：（1）問X,Y能否獨立？為何？（2）求兩個零件的壽命都超出100小時的概率.解（1）先求邊沿散布函數(shù)：由于F(x,y)FX(x)FY(y)，因此X,Y獨立.（2）P(X0.1,Y0.1)P(X0.1)P(Y0.1)1P(X0.1)1P(Y0.1)e0.05e0.05e0.1.9設(shè)(X

5、,Y)的概率密度為間X,Y能否獨立？解邊沿密度為由于f(x,y)fX(x)fY(y)，因此X,Y獨立.10設(shè)(X,Y)的概率密度為8xy,0 xy1,f(x,y)0,其余.yy=x1問X,Y能否獨立.解邊沿密度x由于f(x,y)fX(x)fY(y)，因此X,Y不獨立。0y11設(shè)(X,Y)的概率密度為試證明X與Y不獨立，但X2與Y2是互相獨立的。x0證先求X,Y的結(jié)合散布函數(shù)F(x,y)對于X的邊沿散布函數(shù)為36/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)對于Y的邊沿散布函數(shù)為由于F(X,Y)FX(x)FY(y)，因此X,Y不獨立.再證X2與Y2獨立：設(shè)X2,Y2的結(jié)合散布函數(shù)為F1(z,t)，則對于X2(Y

6、2)的邊沿散布函數(shù)分別為由于F1(z,t)F2(z)F2(t)，因此X2與Y2獨立.XY證2利用隨機(jī)向量的變換（拜見王梓坤概率基礎(chǔ)及其應(yīng)用83頁）設(shè)ZX2,TY2.函數(shù)zx2的反函數(shù)為x1z,x2z;ty2的反函數(shù)為y1t,y2t.x1,x1102z11J11zt，J22J11,J12J211；y1,y104zt4zt2tzt于是(X2,Y2)的概率密度函數(shù)為對于X2的邊沿密度為對于Y2的邊沿密度為1,0t1,fY2(t)2t0,其余.由于f1(z,t)fX2(z)fY2(t)，因此X2,Y2獨立.12設(shè)隨機(jī)變量X與Y互相獨立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合散布律及對于X和對于Y的邊沿

7、散布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余值填入表中空白處.資料個人采集整理，勿做商業(yè)用途1解設(shè)P(Xxi,Yyj)piji1,2,j1,2,3.37/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)由結(jié)合散布和邊沿散布的關(guān)系知11111p13，故p131由獨立性p11(p11p13)，即248，68412p11111324812，p244p22(1p22)3，因此p223，p218482因此(X,Y)的散布為113已知隨機(jī)變量X1和X2的概率散布為10101X1111，X21142422并且P(X1X20)11）求X1和X2的結(jié)合散布；2）問X1和X2能否獨立？為何？解（1）P(X1X20)1知P(X11,X21)P(X11

8、,X21)0，再由結(jié)合散布和邊沿散布的關(guān)系知(X1,X2)的散布為1（2）因PX(1,1X20)111(PX1)1(PX0)2，因此X,Y442不獨立.14設(shè)隨機(jī)變量X,Y互相獨立，且都遵照(b,b)上的平均散布，求方程t2tXY0有實根的概率.解設(shè)A方程有實根，則A發(fā)生X24Y0即y38/11bx個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)12b32b2b1，b4.4b6242當(dāng)b4時，圖形以下：y15已知隨機(jī)變量X和Y的結(jié)合散布為試求：（1）X的概率散布；（2）XY的概率散布解（1）X的散布為（2）XY的散布為x16設(shè)X與Y為獨立同散布的失散型隨機(jī)變量，其概率散布列為P(Xn)P(Yn)1n1,2,，求XY的

9、散布列.()，n2解設(shè)ZXY，Z的散布為17設(shè)X,Y是互相獨立的隨機(jī)變量，它們都遵照參數(shù)為n,p的二項散布，證明ZXY遵照參數(shù)為2n,p的二項散布.k證P(Zk)P(XYk)P(Xi)P(Yki)i0故ZXY遵照參數(shù)為2n,p的二項散布.注：此處用到一個組合公式：此公式的正確性可直觀地說明以下：從mn個不一樣樣的元素中取k個共有Cmkn種不一樣樣的取法。從另一個角度看，把mn個元素散布兩部分，一部分有m個，另一部分有n個，從第一部分中取i個再配上從第二部分中取ki個，不一樣樣的取法共CmiCnki，讓i從k0變到k，總的取法是CmiCnki，這兩種取法應(yīng)相等.資料i0個人采集整理，勿做商業(yè)用途

10、18設(shè)X,Y互相獨立，其概率密度分別為求XY的概率密度.解1設(shè)ZXY，由卷積分式，Z的概率密度為不等式y(tǒng)0,0zy1確立平面域D如圖.當(dāng)zz0時，fZ(z)0當(dāng)0zDzeydy1時，fZ(z)0當(dāng)z1zeydyez(e1),1時，fZ(z)z1綜上所述y0解2變量代換法：39/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)fZ(z)fX(x)fY(zx)dx，注意到當(dāng)因因此，當(dāng)0 x1時fX(x)=1，有z0時，fZ(z)0，當(dāng)0z1時，fZ(z)zudu1ez，e0當(dāng)z1時，fZ(z)zeuduez(e1).z1綜上所述解3散布函數(shù)法：設(shè)Z的散布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)P(Zz)P(XYz)fX(x)f

11、Y(y)dxdyyxyzx+y=1的概率密度為19設(shè)零件L1的壽命XE()，L2的壽命YE()，按以下列圖聯(lián)構(gòu)造成系統(tǒng)L，即當(dāng)零件L1破壞時，零件L2立刻開始工作，求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.01L1資料個人采集整理，勿做商業(yè)用途x解X的密度為fX(x)ex,x0,LXx+y=00,其余.ey,y0,Y的密度為fY(y),y0.0Y設(shè)Z的密度為fZ(z)，則L2exe(zx),x0,zx0,fX(x)fY(zx),其余.0當(dāng)zz0時，fZ(z)0當(dāng)z0時，fZzeze()xdx(z)0(ezez),當(dāng)o時x綜相所述ZXY的密度為40/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)fZ(z)0,z0(ezez),

12、z0.fZ(z)0,z0,.2zez,z0.20設(shè)(X,Y)的概率密度為求ZXY的概率密度.解1利用ZXkY的密度公式：()(,)，fZzfzkyydyk1得此中3(zy),0zy1,z0,y0,f(zy,y),其余.0不等式0zy1,z0,y0確立平面域如圖當(dāng)z0或Z1時fZ(z)0，0z1時，即解2設(shè)Z的散布函數(shù)為FZ(z)，密度為fZ(z)，則y0,x-y=0z0,zxx003xdxdyzxz3xdxdy,0z1,1,x-y=zz1.x-y=1于是zoy21設(shè)隨機(jī)變量(X,Yx)的概率密度為1x2y2f(x,y)2e22,x,y2求ZX2Y2的概率密度fZ(z).解設(shè)Z的散布函數(shù)為FZ(

13、z)，則z1r22令ruz11u2e2202erdr02du2，fZ(z)0,z0,1z2222e,z0.41/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)r2zz0,z0,e2222故fz(z)Fz(z)z1e，1e220.0,z2222設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨立，XN(,2)，YU,，試求XY的概率密度fZ(z)解1由卷積公式此中不等式x,zx確立平面地區(qū)D：y當(dāng)z時解2用變量代換：fZ(z)fX(zy)fY(y)dy.0,xy時fY(y)1由于YU因此當(dāng)2z1(u)21(z)(z).e22duz22223設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求ZX2Y的散布函數(shù)FZ(z).解FZ(z)P(Zz)P(X2Yz)f(x

14、,y)dxdyyx2yz(X,Y)在矩形G(x,y)|0 x2,0y1上服24設(shè)二維隨機(jī)變量從平均散布，試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s).解1x+2y=zz0SXY，又設(shè)S的散布函數(shù)為FS(s)，則設(shè)矩形的面積為S，則此中x0 x+2y=0FS(s)(x,y)dxdyyxys于是解2利用乘積的密度公式Sxy=S,0S2當(dāng)S0或s2時f(s)0,20s2時綜上所述xoSXY25設(shè)和為兩個隨機(jī)變量，且求Pmax(X,Y)0.y0142/11個人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)解Pmax(X,Y)0P(X0)(Y0)P(X0)P(Y0)26設(shè),是互相獨立且遵照同一散布的兩個隨機(jī)變量，已知的散布律為

15、P(i)1,i1,2,3，又設(shè)Xmax(,)，Ymin(,)，試寫出二維隨3機(jī)變量(X,Y)的散布律及邊沿散布列并求P().資料個人采集整理，勿做商業(yè)用途解X的可能值為1,2,3，Y的可能值為1,2,3.依此類推可求出(X,Y)的散布列及邊沿散布列以下：1231231P()1.327假定一電路裝有三個同種電器元件，其工作狀態(tài)互相獨立，且無故障工作時間都遵照參數(shù)為0的指數(shù)散布.當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，不然整個電路不可以正常工作，試求電路正常工作的時間T的概率散布.資料個人采集整理，勿做商業(yè)用途解設(shè)T的散布函數(shù)為FT(t)，第i件元件的壽命為Xi，其散布函數(shù)為F(x).則TE(3)28設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,X4獨立同散布：P(Xi0)0.6，P(Xi1)0.4，i1,2,3,4.求隊列式的概率散布解1XX1X2X1X4X