復(fù)變函數(shù)論課件：7-2 分式線性變換

1、7.2分式線性變換 7.2.1 分式線性變換及其分解 7.2.2 分式線性變換的映射性質(zhì) 1. 分式線性變換的保形性 2. 分式線性變換的保交比性 3.分式線性變換的保圓周性 4.分式線性變換的保對(duì)稱性7.2.3分式線性變換的應(yīng)用(7.3)為分式線性變換.簡記為w=L(z).1.定義7.2.1 分式線性變換及其分解稱變換說明對(duì)w=L(z)作如下的補(bǔ)充定義：c0時(shí)c=0時(shí)條件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,則 約定：w=L(z)的定義域?yàn)镃：(7.4)結(jié)論w=L(z)將CCw=L(z)的逆變換為 w=L(z)在擴(kuò)充z平面上是保域的2. 分式線性變換 w=L(z)的分解由復(fù)合而成 w=L

2、(z)在擴(kuò)充z平面上是保域的2. 分式線性變換 w=L(z)的分解由復(fù)合而成結(jié)論：分式線性變換 w=L(z)可以分解為如下簡單變換的復(fù)合整線性變換旋轉(zhuǎn)變換伸縮變換平移變換關(guān)于單位圓周的對(duì)稱變換關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱變換 定義7.3 二曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角為a,就是它們?cè)诜囱葑儞Q下的象曲線在原點(diǎn)處交角為a.(形如w=1/z的變換稱為反演變換.) 定理7.7 線性變換(7.3)在擴(kuò)充z平面上是保形的.(7.3) 定理7.7 線性變換(7.3)在擴(kuò)充z平面上是保形的.(7.3)證明 我們只要證明()和()型變換在擴(kuò)充z 平面上是保角的,因?yàn)?7. 3)在擴(kuò)充z 平面上是單葉的.在z = 0 及z = 處是

3、保角的 ? 定義7.3 現(xiàn)將它們代入()型變換得當(dāng)四點(diǎn)中有一點(diǎn)為時(shí),應(yīng)將包含此點(diǎn)的項(xiàng)用1代替.例如z1= 時(shí),即有亦即先視z1為有限,再令 取極限而得. 定義7.4 擴(kuò)充平面上順序的四個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3,z4構(gòu)成下面的量,稱為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4): 定理7.8 在線性變換下,四點(diǎn)的交比不變. 證 設(shè)則因此(7.9) 定理7.9 設(shè)線性變換將擴(kuò)充z平面上三個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此線性比就被唯一確定,并且可以寫成 (7.10)(即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定一個(gè)線性變換). 定理7.10 線性變換將平面上的圓周(直線)變成圓周或直線. 形如()的整線性

4、變換,顯然將圓周(直線)變?yōu)閳A周(直線),這可由變換()的幾何意義得知.形如()的反演變換將圓周(直線)變?yōu)閳A周或直線.事實(shí)上,圓周或直線可表為(見第一章習(xí)題(一)8)當(dāng)A = 0 時(shí)就表直線.經(jīng)過變換 w =1/z(7. 11)成為它表示直線或圓周(視C 是否為零而定).因?yàn)榫€性變換(7. 3)是幾個(gè)()和()型變換的復(fù)合,這樣,我們就證明了定理 定理7.10 線性變換將平面上的圓周(直線)變成圓周或直線. 注:在擴(kuò)充平面上,直線可視為經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周.事實(shí)上(7.11)可改寫為欲其經(jīng)過,必須且只須A=0.因此可以說:在線性變換(7.3)下,擴(kuò)充z平面上的圓周變?yōu)閿U(kuò)充w平面上的圓周,同時(shí),圓被保形變換成圓.(這就是線性變換的保圓周(圓)性.) 定義7.5 z1,z2關(guān)于圓周 對(duì)稱是指z1,z2都在過圓心a的同一條射線上,且合此外,還規(guī)定圓心a與點(diǎn)關(guān)于 為對(duì)稱的。(7.6)( z1,z2關(guān)于圓周 對(duì)稱,必須且只須 (7.6) ) 定理7.12 設(shè)擴(kuò)充z平面上兩點(diǎn)z1,z2關(guān)于圓周 對(duì)稱,w=L(z)為一線性變換,則w1=L(z1)w2=L(z2)兩點(diǎn)關(guān)于圓周 對(duì)稱. 證 設(shè) 是擴(kuò)充z平面上經(jīng)過w1,w2的任意圓周.此時(shí),必然