高等數(shù)學(xué)隨堂講義函數(shù)的極限函數(shù)極限概念課件

1、一、x趨于時(shí)的函數(shù)極限 在本章,我們將討論函數(shù)極限的基本概念和重要性質(zhì).作為數(shù)列極限的推廣,函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的聯(lián)系,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理.1 函數(shù)極限概念 數(shù)學(xué)分析 第三章函數(shù)極限二、 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限三、單側(cè)極限*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容x趨于時(shí)的函數(shù)極限極限. f(x)當(dāng) x 趨于 時(shí)以A為我們就稱函數(shù)f (x)當(dāng) x 沿著 x 軸的正向上,無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),也無限地接近A,定義在設(shè)函數(shù)后退 前進(jìn) 目錄 退出x趨于時(shí)的函數(shù)極限趨于例如 函數(shù)當(dāng)時(shí),10203040O0.51為極限.以x趨于時(shí)的函數(shù)極限任意給定存在x趨于時(shí)的函數(shù)極限任意給定存在x趨于時(shí)的函數(shù)極限

2、注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù). 所以(由定義1),例1 證明 任給證取與不同點(diǎn).比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點(diǎn)請(qǐng)大家x趨于時(shí)的函數(shù)極限例2證任給這就是說x趨于時(shí)的函數(shù)極限定義3記為或存在當(dāng)x趨于時(shí)的函數(shù)極限例4證明所以結(jié)論成立.證 對(duì)于任意正數(shù) , x趨于時(shí)的函數(shù)極限x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某空心鄰域 內(nèi)有定義. 為極限的定義.下面我們直接給出函數(shù) f (x) 時(shí)以常數(shù) A x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限定義1或者記為x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限例5證明分析時(shí), 使 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限這就證明了證只要 式就能成立, 因

3、 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限故取 即可.例6證明因?yàn)榇藭r(shí)有可以先限制故只要所以要使分析 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限例7證明：注 在例5、例6中, 我們將所考慮的式子適當(dāng)放大, 不是“最佳”的, 但這不影響我們解題的有效性. 其目的就是為了更簡潔地求出 , 或許所求出的 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限證首先，在右圖所示的單位圓內(nèi),顯然有即故 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限OCDBAyxx例8證明：證 因?yàn)閯t這就證明了所需的結(jié)論. x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限在上面例題中, 需要注意以下幾點(diǎn)：, 我們強(qiáng)調(diào)其存在性. 1. 對(duì)于的不同的方法會(huì)得出不同的 , 不存在哪一個(gè)更好的問題.數(shù)都可以充當(dāng)這個(gè)角色.3. 正數(shù)是任意

4、的,一旦給出,它就是確定的常數(shù)., 那么比它更小的正是不唯一的, 一旦求出了 換句話說,對(duì)于固定有時(shí)為了方便,需要讓 小于某個(gè)正數(shù). 當(dāng)然也能滿足要求. 樣的 能找到相應(yīng)的 , 那么比它大的 , 這個(gè) 一旦對(duì)這 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限單側(cè)極限x 既可以從 x0但在某些時(shí)在定義區(qū)間的端點(diǎn)和分段函數(shù)的分界點(diǎn)等.候,我們僅需(僅能)在 x0的某一側(cè)來考慮, 比如函數(shù)單側(cè)極限定義5則稱 A 為函數(shù) f 當(dāng)時(shí)的右(左)右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. 極限,記作有時(shí)記 A為常數(shù). 若對(duì)于任意正數(shù) ,單側(cè)極限為了方便起見, 例7 討論函數(shù)解因?yàn)樗詥蝹?cè)極限例9 證明狄利克雷函數(shù)證 處處無極限.單側(cè)極限則有也有證畢.例10 對(duì)于黎曼函數(shù)證 因?yàn)樵?(0, 1) 中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有個(gè) , 單側(cè)極限故可設(shè)這些有理數(shù)為這就是說，除了這 n 個(gè)點(diǎn)外 , 其他點(diǎn)的函數(shù)值都對(duì)以上兩種情形都有這就證明