典型例題剖析：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、PAGE6導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例1已知曲線及點(diǎn)，求過點(diǎn)的曲線的切線方程錯解：，過點(diǎn)的切線斜率，過點(diǎn)的曲線的切線方程為錯因：曲線在某點(diǎn)處的切線斜率是該曲線對應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在此題中，點(diǎn)湊巧在曲線上，求過點(diǎn)的切線方程，卻并非說切點(diǎn)就是點(diǎn)，上述解法對求過點(diǎn)的切線方程和求曲線在點(diǎn)處的切線方程，認(rèn)識不到位，發(fā)生了混淆正解：設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線切于點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線斜率，又，。點(diǎn)在曲線上，代入得化簡，得，或若，則，過點(diǎn)的切線方程為；若，則，過點(diǎn)的切線方程為過點(diǎn)的曲線的切線方程為或例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍錯解：在上是減函數(shù)，在上恒成立，對一切恒成立，即，正解:，在上是減函數(shù)

2、，在上恒成立，且，即且，例3當(dāng)，證明不等式證明：，則，當(dāng)時(shí)。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時(shí)，不等式成立點(diǎn)評：由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,100km,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省解：設(shè)BD之間的距離為m,則|AD|=,|CD|=如果公路運(yùn)費(fèi)為元/m,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為元/所需總運(yùn)費(fèi)為:,對該式求導(dǎo),得=,令,即得25=9,解之得=15,=

3、-15不符合實(shí)際意義,舍去且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以=15是函數(shù)的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)的最小值點(diǎn)由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省點(diǎn)評：這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識,求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單一般情況下,對于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間例5函

4、數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)（1）對滿足11的一切的值，都有0，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線3只有一個(gè)公共點(diǎn)解：（1）由題意令，對，恒有，即即解得故時(shí)，對滿足11的一切的值，都有（2）當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，列表：極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是例6若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動，桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度（照度與成正比，與成反比）分析：如圖，由光學(xué)知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn)處有最大的照度，只需求的極值就可以了解：設(shè)到的距離為，則，于是，當(dāng)時(shí)，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點(diǎn)距離為時(shí)，點(diǎn)的照度為最大（0，）-點(diǎn)評：在有關(guān)極值應(yīng)用的