(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第1章§1.4《基本不等式》(含解析)

1、第一章考試要求1.了解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.3.理解基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI 落實(shí)主干知識(shí)1.基本不等式：(1)基本不等式成立的條件： .(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.(3)其中 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).a0，b0ab2.幾個(gè)重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).(2) (a，b同號(hào)).(3)ab (a，bR).(4) (a，bR).以上不等式等號(hào)成立的條件均為ab.2ab23.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積

2、xy等于定值P，那么當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值 .(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和xy等于定值S，那么當(dāng)xy時(shí)，積xy有最大值 . 注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(3)若x0，y0且xyxy，則xy的最小值為4.()x2，2.(多選)若a，bR，則下列不等式成立的是當(dāng)ab0時(shí)，D不成立.3.若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是_ m2.25設(shè)矩形的一邊為x m，面積為y m2，其中0 x10，當(dāng)且僅當(dāng)x10 x，即x5時(shí)，等號(hào)成立，ymax25，即矩形場(chǎng)地的最大面積是25 m2.TANJIUH

3、EXINTIXING探究核心題型命題點(diǎn)1配湊法例1(1)(2022長(zhǎng)沙模擬)設(shè)0 x1，則x10，所以函數(shù)的最小值為9.命題點(diǎn)2常數(shù)代換法因?yàn)閍0，b0，且ab2，命題點(diǎn)3消元法例3(2022煙臺(tái)模擬)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(kāi).6方法一(換元消元法)即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，則t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值為6.方法二(代入消元法)所以x3y的最小值為6.延伸探究本例條件不變，求xy的最大值.t0，當(dāng)且僅當(dāng)x3y，即x3，y1時(shí)取等號(hào)，xy的最大值為3.xy的最大值為3.教師備選1.(2022哈爾濱模擬)已知x0，y0，且2

4、x8yxy0，則當(dāng)xy取得最小值時(shí)，y等于A.16 B.6C.18 D.12因?yàn)閤0，y0,2x8yxy，所以當(dāng)xy取得最小值時(shí)，y6.2.已知函數(shù)f(x) (x1)，則A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值4因?yàn)閤1，所以x10，故f(x)有最小值4.思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x) x(2x1)，則f(x)的最小

5、值為_(kāi).4令x1m,2y1n，則m0，n0且mnx12y11，例4(1)(2022寧波模擬)幾何原本卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OFAB，設(shè)ACa，BCb，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為題型二基本不等式的常見(jiàn)變形應(yīng)用在RtOCF中，由勾股定理可得，CFOF，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?a1，所以(ab)2a22abb24ab，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,2a22b2a22abb2(ab)2，教師備選a2b22ab，所以A錯(cuò)誤；

6、ab0，只能說(shuō)明兩實(shí)數(shù)同號(hào)，同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)a0，bb0，命題q： ，則p是q成立的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件ab0，則a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，由p可推出q，當(dāng)a0，b0時(shí)，命題q成立，由q推不出p，p是q成立的充分不必要條件.(2)(2022漳州質(zhì)檢)已知a，b為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)式子中最大的是a，b為互不相等的正實(shí)數(shù)，例5小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買了一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬(wàn)元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在

7、該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價(jià)格為(25x)萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出？題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用設(shè)大貨車運(yùn)輸?shù)降趚年年底，該車運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬(wàn)元，則y25x6xx(x1)50 x220 x50(0 x10，xN*)，所以大貨車運(yùn)輸?shù)降?年年底，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出.(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)累計(jì)收入銷售收入總支出)因?yàn)槔麧?rùn)累計(jì)收入銷售收入總支出，所以二手車出售后，所以小王應(yīng)當(dāng)在第5年年底將大貨車出售，

8、能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大.教師備選某高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)部為了更好的督促本年級(jí)學(xué)生養(yǎng)成節(jié)約用水、珍惜糧食、愛(ài)護(hù)公物的良好習(xí)慣，現(xiàn)要設(shè)計(jì)如圖所示的一張矩形宣傳海報(bào)，該海報(bào)含有大小相等的左中右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為60 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，其最小值是_ cm2.72 600設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，由題意可得3ab60 000，所以該海報(bào)的高為(a20)cm，寬為(3b10252)cm，即(3b30)cm，所以整個(gè)矩形海報(bào)面積S(a20)(3b30)3ab3

9、0a60b600所以當(dāng)廣告欄目的高為200 cm，寬為100 cm時(shí)，能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，其最小值是72 600 cm2.思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.跟蹤訓(xùn)練3網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2021年10月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x3 .已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)

10、元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是_萬(wàn)元.37.5即最大月利潤(rùn)為37.5萬(wàn)元.拓展視野柯西不等式柯西不等式是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家柯西(Cauchy,17891857)發(fā)現(xiàn)的，故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式，除了用柯西不等式來(lái)證明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問(wèn)題中，借助柯西不等式的技巧可以達(dá)到事半功倍的效果.1.(柯西不等式的代數(shù)形式)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adb

11、c時(shí)，等號(hào)成立.推廣一般情形：設(shè)a1，a2，an，b1，b2，bnR，(當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立).2.(柯西不等式的向量形式)設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使k時(shí)，等號(hào)成立.一、利用柯西不等式求最值例1已知x，y滿足x3y4，則4x2y2的最小值為_(kāi).當(dāng)且僅當(dāng)y12x時(shí)，等號(hào)成立，例2已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y2z21，正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2b2c29，則axbycz的最大值為_(kāi).3(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)9，axbycz3，當(dāng)且僅當(dāng)a3x，b3y，c3z時(shí)取“”

12、，axbycz的最大值為3.二、利用柯西不等式證明不等式例4已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)，求證：(a1b1a2b2) (a1a2)2.當(dāng)且僅當(dāng)b1b2時(shí)，等號(hào)成立.例5已知a1，a2，an都是實(shí)數(shù)，求證：KESHIJINGLIAN 課時(shí)精練1.下列函數(shù)中，最小值為2的是基礎(chǔ)保分練1234567891011121314151612345678910111213141516即x21時(shí)取等號(hào)，x21，故B錯(cuò)誤；12345678910111213141516當(dāng)且僅當(dāng)exex，即x0時(shí)取等號(hào)，故C正確；當(dāng)x(0,1)時(shí)，ylog3x2，y1，(x2)(y1)4，則xy的最小值是A.1 B.4C.7

13、 D.3x2，y1，(x2)(y1)4，12345678910111213141516123456789101112131415165.已知不等式(xy) 9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為A.2 B.4C.6 D.8即正實(shí)數(shù)a的最小值為4.123456789101112131415166.(2022湖南五市十校聯(lián)考)原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì).小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說(shuō)法正確的是A.第一種方案更劃算 B.第二種方案

14、更劃算C.兩種方案一樣 D.無(wú)法確定1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為x元/升、y元/升(xy)，則方案一：兩次加油平均價(jià)格為方案二：兩次加油平均價(jià)格為故無(wú)論油價(jià)如何起伏，方案二比方案一更劃算.123456789101112131415167.(多選)(2022重慶渝中區(qū)模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a0，b0，且ab1，則下列不等式成立的有12345678910111213141516當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，A正確；a2b20，b0，ab1，0a0，b0，則下列不等式中一定成立的是1234567891011121

15、3141516因?yàn)閍0，b0，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151620 x0，b0，且a2b2ab，則ab的最小值為_(kāi)，2ab的最小值為_(kāi).2a2b2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即b1，a2時(shí)等號(hào)成立，故ab的最小值為2.a2b2ab，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.(2022郴州模擬)習(xí)近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵，要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府

16、決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an(單位：萬(wàn)元，nN*)，每年開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金a1的3倍，已知 72.則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為_(kāi)萬(wàn)元.12012345678910111213141516由題意得，五年累計(jì)總投入資金為a1a2a3a4a553a15a315a15(a33a1)10(a1a2)，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2時(shí)等號(hào)成立，預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬(wàn)元.1234567891011121314151612.已知p：存在實(shí)數(shù)x，使4x2xm10成立，若綈p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.(，212345678910111213141516綈p為假命題，p為真命題，即關(guān)于x的方程4x2xm10有解.由4x2xm10，m的取值范圍為(，2.技能提升練1234567891011121314151613.(2022合肥質(zhì)檢)若ABC的內(nèi)角滿足sin Bsin C2sin A，則A.A的最大值為B.A的最大值為C.A的最小值為D.A的最小值為sin Bsin C2sin A.bc2a.由余弦定理知當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào).又A(0，)，1234567891011121314151614.(2022南京模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的