福建省福安市2023學(xué)年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，則( )ABCD2設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（ ）ABC1D33已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A2BC3D44數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，公差d

2、1，2，且a4+a10+a1615，則實數(shù)的最大值為（）ABCD5已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（ ）ABCD26已知是球的球面上兩點,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（ ）ABCD7已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABC2D8若是第二象限角且sin =，則=ABCD9已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是（ ）ABCD10已知，為圓上的動點，過點作與垂直的直線交直線于點，若點的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是（ ）ABCD11設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z等于( )ABCD012如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家在周脾算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一

3、個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A20B27C54D64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_14函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_15已知等差數(shù)列的前n項和為，則_16如圖，己知半圓的直徑，點是弦（包含端點，）上的動點，點在弧上若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，三棱柱中，與均為等腰直角三角形，側(cè)面是菱形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角

4、的余弦值.18（12分）已知橢圓的短軸長為，左右焦點分別為，點是橢圓上位于第一象限的任一點，且當(dāng)時，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱，過點作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點，交軸于點.（）求面積最大值；（）證明：直線與斜率之積為定值.19（12分）在數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值20（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值22（10分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中

5、點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學(xué)生的運算求解能力.2A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡可得，因為是純虛數(shù)，所以，故選：A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運算，屬于基礎(chǔ)題.3C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出【詳解】a1=12，S5=90，512+ d=90，解得d=1故選

6、C【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題4D【解析】利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出，由d1，2，能求出實數(shù)取最大值【詳解】數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是減函數(shù)，d1時，實數(shù)取最大值為故選D【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題5C【解析】由復(fù)數(shù)的除法運算整理已知求得復(fù)數(shù)z，進而求得其模.【詳解】因為，所以故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于

7、面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C考點：外接球表面積和椎體的體積7D【解析】把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式計算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.8B【解析】由是第二象限角且sin =知：，所以9D【解析】畫出函數(shù) ,將方程看作交點個數(shù)，運用圖象判斷根的個數(shù)【詳解】畫出函數(shù)令有兩解 ，則分別有3個，2個解，故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬

8、于中檔題10A【解析】由題意得，即可得點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.11B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.12B【解析】設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：

9、B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.14【解析】求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解【詳解】由題意得，令，解得，令，解得.在上遞減，在遞增，而，故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是故答案為：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題15【解析】利用求出公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設(shè)公差為

10、，因為，所以，即.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).161【解析】建系，設(shè)，表示出點坐標(biāo)，則，根據(jù)的范圍得出答案【詳解】解：以為原點建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，則，顯然當(dāng)取得最大值4時，取得最小值1故答案為：1【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，坐標(biāo)運算，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析（2）【解析】（1）取中點，連接，通過證明，得，結(jié)合可證線面垂直，繼而可證面面垂直.（2）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，繼而可求二

11、面角的余弦值.【詳解】解析：（1）取中點，連接，由已知可得，側(cè)面是菱形，即，平面，平面平面.（2）設(shè)，則，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令得.同理可求得平面的法向量，.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時，常建立空間直角坐標(biāo)系，通過求面的法向量、線的方向向量，繼而求解.特別地，對于線面角問題，法向量與方向向量的余角才是所求的線面角，即兩個向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.18（1）；（2）（）；（）證明見解析.【解析】（1）由，解方程組即可得到答案；（2）（）設(shè)，則，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；

12、（）設(shè)直線斜率為，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo)，再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)，由，得.將代入，得，即，由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，（）易知為的中位線，所以，所以，又滿足，所以，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以面積最大值為.（）記直線斜率為，則直線斜率為，所以直線方程為.由，得，由韋達定理得，所以，代入直線方程，得，于是，直線斜率，所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的最值及定值問題，在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時，一般會用到根與系數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道有一定難度的題.19（1）；（2）

13、【解析】（1）由得，兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；（2），分類討論，當(dāng)時，作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因為，兩式相減得：，即，是從第二項開始的等比數(shù)列，則，；（2），當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)遞增，所以實數(shù)的最小值【點睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題20（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點，連結(jié)，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點，連結(jié)，為直角，平面，平面，面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可取為平面的一個法向量.設(shè)平面的一

14、個法向量為.則，其中，不妨取，則.為銳二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.21（1）；（2）【解析】（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設(shè)M，N對應(yīng)的對數(shù)分別為，則，當(dāng)時，取得最小值為【點睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點

15、有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡單題目.22（1）見解析（2）【解析】（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BCBB1，AA1BC，從而AA1MC，進而AA1平面BCM，AA1MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MNAP，由此能證明MN平面ABC（2）推導(dǎo)出ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA12a，BMAMa，推導(dǎo)出MCBM，MCAA1，BMAA1，以M為坐標(biāo)原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角ACMN的余弦值【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因為是矩形，所以，因為，所以， 又因為，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結(jié)，因為是的中點，則且， 所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為