(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點復(fù)習(xí)10.6《概率與統(tǒng)計的綜合問題》課時跟蹤檢測(含詳解)

PAGE第6頁共6頁課時跟蹤檢測（五十八）概率與統(tǒng)計的綜合問題1．調(diào)查表明，市民對城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價與收入的滿意度有極強(qiáng)的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項的滿意度指標(biāo)分別記為x，y，z，并對它們進(jìn)行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意．再用綜合指標(biāo)ω＝x＋y＋z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級．為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查，得到如下結(jié)果：人員編號12345(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)人員編號678910(x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在這10名被調(diào)查者中任取2人，求這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率；(2)從居住滿意度為一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿意度不是一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量X＝m－n，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．解：(1)記事件A為“從10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同”，則居住滿意度指標(biāo)z為0的只有編號為9的1名；居住滿意度指標(biāo)z為1的編號有2,4,5,7,10共5名；居住滿意度指標(biāo)z為2的編號有1,3,6,8共4名．從10名被調(diào)查者中任取2人，所有可能的結(jié)果為Ceq\o\al(2,10)＝45(種)，這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)＝10＋6＝16(種)，所以在這10名被調(diào)查者中任取2人，這2人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率為P(A)＝eq\f(16,45).(2)計算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：人員編號12345678910綜合指標(biāo)4462453513其中居住滿意度為一級的編號有1,2,3,5,6,8共6名，則m的值可能為4,5,6；居住滿意度不是一級的編號有4,7,9,10共4名，則n的值可能為1,2,3，所以隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,1)·C\o\al(1,2),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(1,1),C\o\al(1,6)·C\o\al(1,4))＝eq\f(1,24)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X12345Peq\f(1,4)eq\f(7,24)eq\f(7,24)eq\f(1,8)eq\f(1,24)E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(7,24)＋3×eq\f(7,24)＋4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,24)＝eq\f(29,12).2．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：x246810y3671012(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在圖中繪制散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并估計當(dāng)x＝20時eq\o(y,\s\up6(^))的值；(3)將表格中的數(shù)據(jù)看作5個點的坐標(biāo)，則從這5個點中隨機(jī)抽取3個點，記落在直線2x－y－4＝0右下方的點的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)散點圖如圖所示．(2)依題意得，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝4＋16＋36＋64＋100＝220，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(272－5×6×7.6,220－5×62)＝1.1，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝7.6－1.1×6＝1，所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.1x＋1，故當(dāng)x＝20時，eq\o(y,\s\up6(^))＝23.(3)可以判斷，落在直線2x－y－4＝0右下方的點的坐標(biāo)滿足2x－y－4>0，所以符合條件的點的坐標(biāo)為(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值為1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，故ξ的分布列為ξ123Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(ξ)＝1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(9,5).3．2020年10月16日，是第40個世界糧食日．中國工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5千克，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)了荒灘變糧倉，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖耄称髽I(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為m(m∈[70,100])，其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]質(zhì)量指標(biāo)等級良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)．現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制頻率分布直方圖如圖：(1)若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．(2)若從質(zhì)量指標(biāo)值m≥85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值m∈[90,95)的件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(3)若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y(單位：元)的關(guān)系如下表(1<t<4)：質(zhì)量指標(biāo)值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利潤y/元6t8t4t2t－eq\f(5,3)et試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利，若不能，請說明理由；若能，試確定t為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大．(參考數(shù)值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)解：(1)設(shè)事件A發(fā)生的概率為P(A)，將頻率作為概率，則由頻率分布直方圖可得，隨機(jī)抽取1件產(chǎn)品，為廢品的概率P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，則P(A)＝1－Ceq\o\al(3,3)(0.3)3＝1－0.027＝0.973.(2)由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于85的產(chǎn)品中，m∈[85,90)的頻率為0.08×5＝0.4，m∈[90,95)的頻率為0.04×5＝0.2，m∈[95,100]的頻率為0.02×5＝0.1.故利用分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件．從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，質(zhì)量指標(biāo)值m∈[90,95)的件數(shù)X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7)，所以X的分布列為X012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)所以E(X)＝0×eq\f(2,7)＋1×eq\f(4,7)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).(3)由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y(元)的關(guān)系如下表所示(1<t<4)：質(zhì)量指標(biāo)值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利潤y/元6t8t4t2t－eq\f(5,3)etP0.050.10.150.40.3故每件產(chǎn)品的平均利潤y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1<t<4)．則y′＝2.5－0.5et，令y′＝2.5－0.5et＝0，得t＝ln5，當(dāng)t∈(1，ln5)時，y′>0，函數(shù)y＝2.5t－0.5et單調(diào)遞增；當(dāng)t∈(ln5,4)時，y′<0，函數(shù)y＝2.5t－0.5et單調(diào)遞減．所以當(dāng)t＝ln5時，y取得最大值，最大值為2.5×ln5－0.5eln5≈1.5.所以生產(chǎn)該產(chǎn)品能夠盈利，當(dāng)t＝ln5≈1.6時，每件產(chǎn)品的平均利潤取得最大值，約為1.5元．4．某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為eq\f(1,3)，每步上兩個臺階的概率為eq\f(2,3).為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為Pn，其中n∈N*，且n≤998.(1)若甲走3步時所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)證明：數(shù)列{Pn＋1－Pn}是等比數(shù)列；(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率．解：(1)由題意可得X的所有可能取值為3,4,5,6，則P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(2,9)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，所以X的分布列為X3456Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq\f(1,27)＋4×eq\f(2,9)＋5×eq\f(4,9)＋6×eq\f(8,27)＝5.(2)證明：由題意可得Pn＋2＝eq\f(1,3)Pn＋1＋eq\f(2,3)Pn，所以Pn＋2－Pn＋1＝－eq\f(2,3)(Pn＋1－Pn)．又P1＝eq\f(1,3)，P2＝eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9)，所以P2－P1＝eq