2022-2023學年新教材高中數(shù)學第四章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)第五章函數(shù)應用測評試題北師大版必修第一冊

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16.某數(shù)學小組以函數(shù)f(x)=lg1-①函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1);②函數(shù)f(x)是偶函數(shù);③對于任意的x∈(-1,1),都有f2xx2+1=2④對于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=fa+⑤對于函數(shù)f(x)定義域中任意的兩個不同實數(shù)x1,x2,總滿足f(x1其中所有正確研究結果的序號是.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(1)計算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;(2)解方程:log5(x+1)-log15(x-3)=18.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a滿足下列條件,分別求實數(shù)a的值或范圍.(1)有2個零點;(2)有3個零點;(3)有4個零點.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1.(1)求函數(shù)f(x)-g(x)的定義域;(2)求使函數(shù)f(x)-g(x)的值為正數(shù)時x的取值范圍.20.(12分)某景區(qū)提供自行車出租,該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超出6元,則每超過1元,租不出的自行車就增加3輛.為了便于結算,每輛自行車的日租金x(單位:元)只取整數(shù),并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用,用y(單位:元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分).(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時,才能使一日的凈收入最多?21.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;(3)若f35=2,求使f(x)>0成立的x的集合22.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1.(1)當x∈[0,2]時,函數(shù)f(x)恒有意義,求實數(shù)a的取值范圍;(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由.

第四、五章測評1.Alog225·log522=lg25lg2·lg2.B因為a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故選B.3.C設t年后剩余量為ykg,則y=(1-8%)ta=0.92ta.當y=12a時,12a=0.92t所以0.92t=0.5,則t=log0.920.5=lg0.4.Cf(x12)+f(x22)+…+f(x20222)=logax12+logax22+…+logax20222=loga(x1·x2·x3·…·x2022)2=2loga(x1x2…x2022)=2f(x15.Df(x)=11-x滿足1-x>0,故x<1,即M=g(x)=ln(1+x)滿足1+x>0,故x>-1,即N={x|x>-1}.故M∩N={x|-1<x<1}.故選D.6.B關于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有兩個不相等的正根,令t=3x,所以t>1,則問題轉化為方程t2-(a+1)t+a2-1=0有兩個大于1的不等實數(shù)根t1,t2,故Δ解得1+52<a<所以實數(shù)a的取值范圍是1+5故選B.7.D當0<a<1時,函數(shù)y=ax的圖象過定點(0,1)且單調遞減,則函數(shù)y=1ax的圖象過定點(0,1)且單調遞增,函數(shù)y=logax+12的圖象過定點12,0且單調遞減,D選項符合;當a>1時,函數(shù)y=ax的圖象過定點(0,1)且單調遞增,則函數(shù)y=1ax的圖象過定點(0,1)且單調遞減,函數(shù)y=logax+12的圖象過定點12,0且單調遞增,各選項均不符合.故選D.8.C對2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5進行變形,可得2x-1=52-x,log2(x-1)=52畫出函數(shù)y=2x-1,y=52-x,y=log2(x-1)的圖象,如圖所示根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2x和對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象關于直線y=x對稱,易得函數(shù)y=2x-1和函數(shù)y=log2(x-1)的圖象關于直線y=x-1對稱,從而x1+x2等于直線y=x-1與y=52-x交點的橫坐標的2倍,即79.AC因為0<c<1,所以y=logcx在定義域內為減函數(shù),由a>b>0得logca<logcb,故A正確;因為0<c<1,所以y=cx在定義域內為減函數(shù),由a>b>0,得ca<cb,故B錯誤;因為a>b>0,0<c<1,所以abc>1,所以ac>bc,故C正確;取c=12,a+b=2,則logc(a+b)=log122=-1<0,故D10.AC對A,當a=0時,解x2-1>0有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正確;對B,當a=0時,f(x)=lg(x2-1),此時x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此時f(x)=lg(x2-1)值域為R,故B錯誤,C正確;對D,若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調遞增,此時y=x2+ax-a-1對稱軸x=-a2≤2.解得a≥-4.但當a=-4時f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2處無意義,故D錯誤11.ABC甲廠的費用y1與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關系為y1=0.5x+1,故A正確;當印制證書數(shù)量不超過2千個時,乙廠的印刷費平均每個為3÷2=1.5元,故B正確;易知當x>2時,y2與x之間的函數(shù)關系式為y2=14x+52,故C正確;當x=8時,y1=0.5×8+1=5,y2=14×8+52=92,因為y1>y2,所以當印制8千個證書時12.ABC由題意,實數(shù)a,b,c滿足0<a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),結合圖象,可得-log2a=log2b=log12c-32,即a=1b=c-32,且可得ab=1和c-a=32恒成立,即A,B正確又由b2-4ac=1a2?4a(a+32又由a+c-2b=2a+32?2a∈-32,32,當12<a<1時,a+c-213.122x=7y=196,∴x=log2196,y=log7∴1x+1y=log1962+log1967=log14.6∵n≤23log2300.05=23log2∴矩形紙最多能對折6次.15.(-1,1)0,14∪(1,+∞)函數(shù)f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)圖象恒過定點A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的圖象經(jīng)過定點(-1,1).當0<a<1時,函數(shù)f(x)為減函數(shù),若f-32<32,則1+loga-32+2<32,即loga12<12,即a<1當a>1時,函數(shù)f(x)為增函數(shù),若f-32<32,則1+loga-32+2<32,即loga12<12,即a>12,求得a>14,又a>1,所以a>1.綜上,實數(shù)a的取值范圍為0,116.①③④在①中,因為f(x)=lg1-x1+x,所以1-x1+x>0,在②中,f(x)=lg1-x1+x=-lg1+所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以②是錯誤的;在③中,對于任意x∈(-1,1),有f2xx2+1=lg1-2x又2f(x)=2lg1-x1+x=lg(x在④中,對于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg1-a1+a+lg1-b1+b=lg1-a1+a·1-b1+b在⑤中,對于函數(shù)f(x)的定義域中任意的兩個不同實數(shù)x1,x2,總滿足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,即說明f(x)是增函數(shù),但f(x)=lg1綜上可知,正確研究結果的序號為①③④.17.解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.(2)原方程化為log5(x+1)+log5(x-3)=log55,∴(x+1)(x-3)=5,解得x=-2或x=4.經(jīng)檢驗,x=-2不符合題意,故原方程的解為x=4.18.解如圖為y=|x2-2x-3|的圖象,函數(shù)y=a與y=|x2-2x-3|的圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù).由圖知,(1)當x=1時,y=4,∴當a=0或a>4時,函數(shù)有2個零點;(2)當a=4時,函數(shù)有3個零點;(3)當0<a<4時,函數(shù)有4個零點.19.解(1)由題意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函數(shù)f(x)-g(x)有意義,則有x+1>0,4-2x>0,解得-1<x<2.故函數(shù)f(x(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即loga(x+1)>loga(4-2x).當a>1時,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;當0<a<1時,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.綜上所述,當a>1時,x的取值范圍是(1,2);當0<a<1時,x的取值范圍是(-1,1).20.解(1)當x≤6時,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x為整數(shù),∴3≤x≤6,x∈Z.當x>6時,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,結合x為整數(shù)得6<x≤20,x∈Z.∴f(x)=50(2)對于y=50x-115(3≤x≤6,x