大學(xué)全冊(cè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)全

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公式，用法合集

極限與連續(xù)

.數(shù)列函數(shù):

1.種類:

(1)數(shù)列:*anf(n);*an1f(an)

初等函數(shù):

(3)分段函數(shù):*F(x)f1(x),xx0;*F(x)f(x),xx0;*f2(x)xx0axx0

(4)復(fù)合(含f)函數(shù):yf(u),u(x)

(5)隱式(方程):F(x,y)0

xx(t)(6)參式(數(shù)一,二):yy(t)

x(7)變限積分函數(shù):F(x)f(x,t)dta

(8)級(jí)數(shù)和函數(shù)(數(shù)一,三):S(x)anxn,x

n0

特色(幾何):(1)單一性與有界性(鑒別);(f(x)單一x0,(xx0)(f(x)f(x0))定號(hào))

奇偶性與周期性(應(yīng)用).

3.反函數(shù)與直接函數(shù):yf(x)xf1(y)yf1(x)

二.極限性質(zhì):

1.種類:*lima;*limf(x)(含x);*limf(x)(含xx0)nnxxx0無量小與無量大(注:無量量):

3.不決型:0,,1,,0,00,00性質(zhì):*有界性,*保號(hào)性,*合并性

三.常用結(jié)論:

111annn1,an(a0)1,(anbncn)nmax(a,b,c),a00n!

1,limxx1,limxn0,limlnnx(x0)x0,xx0xexxlimxlnnx0,ex0,xx0x四.必備公式:

1.等價(jià)無量小:當(dāng)u(x)0時(shí),

sinu(x)u(x);tanu(x)u(x);1cosu(x)1u2(x);

2

eu(x)1u(x);ln(1u(x))u(x);(1u(x))1u(x);

arcsinu(x)u(x);arctanu(x)u(x)

泰勒公式:

(1)ex1x1x2o(x2);2!(2)ln(1x)x1x2o(x2);2(3)sinxx1x3o(x4);3!(4)cosx11x21x4o(x5);2!4!(5)(1x)1x(1)x2o(x2).2!

五.慣例方法:

前提:(1)正確判斷0,,1,M(其余如:,0,00,0);(2)變量代換(如:1t)0x1.抓大棄小( ),

2.無量小與有界量乘積(1M)(注:sin1,x)x

3.1辦理(其余如:00,0)4.左右極限(包含x):(1)1(x0);(2)ex(x1);ex(x0);(3)分段函數(shù):x,[x],maxf(x)x

無量小等價(jià)替代(因式中的無量小)(注:非零因子)

洛必達(dá)法例

(1)先”辦理”,后法例(0最后方法);(注意對(duì)照:limxlnx與limxlnx)0x11xx01x11111(2)冪指型辦理:u(x)v(x)ev(x)lnu(x)(如:ex1exex(ex1x1))

含變限積分;

不可以用與不便用

泰勒公式(皮亞諾余項(xiàng)):辦理和式中的無量小

8.極限函數(shù):()lim(,)分段函數(shù))fxnFxn(

六.特別手段

收斂準(zhǔn)則:

(1)an

f(n

)

limx

f(x)

(2)雙邊夾:*bnancn?,*bn,cna?

(3)單邊擠:an1f(an)*a2a1?*anM?*f'(x)0?

2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達(dá)):limff'(x0)x0x3.積分和:lim1[f(1)f(2)f(n)]f(x)dx,1nnnnn04.中值定理:lim[(x)()]alimf'( )xfafxx

級(jí)數(shù)和(數(shù)一三):

(1)an收斂lima0,(如lim2nn!)(2)lim(a1a2an)an,nnnnnnn1n1(3){an}與(anan1)同斂散

1

.常有應(yīng)用:

無量小比較(等價(jià),階):*f(x)kxn,(x0)?

(1)f(0)f'(0)f(n1)(0)0,f(n)(0)af(x)axn(xn)axnn!n!(2)xxf(t)dtktndt00漸近線(含斜):

(1)alimf(x),blim[f(x)ax]f(x)axbxxx(2)f(x)axb,(10)x連續(xù)性:(1)中斷點(diǎn)鑒別(個(gè)數(shù));(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù),f'(x)連續(xù)性)

八.[a,b]上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1.連通性:f([a,b])[m,M](注:01,“均勻”值:f(a)(1)f(b)f(x0))介值定理:(附:達(dá)布定理)

(1)零點(diǎn)存在定理:f(a)f(b)0f(x0)0(根的個(gè)數(shù));

(2)f(x)0x(f(x)dx)'0.a第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)

一.基本觀點(diǎn):

1.差商與導(dǎo)數(shù):f'(x)limf(xx)f(x);f'(x0)limf(x)f(x0)x0xxx0xx0(1)f'(0)limf(x)f(0)(注:limf(x)A(f連續(xù))f(0)0,f'(0)A)x0xx0x

左右導(dǎo):f'(x0),f'(x0);

可導(dǎo)與連續(xù);(在x0處,x連續(xù)不行導(dǎo);xx可導(dǎo))

2.微分與導(dǎo)數(shù):ff(xx)f(x)f'(x)xo(x)dff'(x)dx

(1)可微可導(dǎo);(2)比較f,df與"0"的大小比較(圖示);

二.求導(dǎo)準(zhǔn)備:

基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式;(注:(f(x))')

2.法例:(1)四則運(yùn)算;(2)復(fù)合法例;(3)反函數(shù)dx1dyy'三.各種求導(dǎo)(方法步驟):1.定義導(dǎo):(1)f'(a)與'( );(2)分段函數(shù)左右導(dǎo);(3)f(xh)f(xh)fxxalimhh0F(x)xx0,求:f'(x0),f'(x)及f'(x)的連續(xù)性)(注:f(x),x0ax2.初等導(dǎo)(公式加法例):

uf[g(x)],求:u'(x0)(圖形題);

x

x

b

b

(2)F(

x)

f(t)dt

,求:

F'(x)(注:

(

f(x,t)dt)',

(

f(x,t)dt)',

(

f(t)dt)'

)

a

a

a

a

(3)yf1(x),xx0,求f'(x0),f'(x0)及f'(x0)(待定系數(shù))f2(x)xx03.隱式(f(x,y)0)導(dǎo):dy,d2ydxdx2

存在定理;

微分法(一階微分的形式不變性).

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.

4.參式導(dǎo)(數(shù)一,二):xx(t),求:dy,d2yyy(t)dxdx2

5.高階導(dǎo)f(n)(x)公式:

(eax)(n)aneax;(1)(n)bnn!;abx(abx)n1(sinax)(n)ansin(axn);(cosax)(n)ancos(axn)22注:f(n)(0)與泰勒展式:f(x)a0a1xa2x2anxnanf(n)(0)n!四.各種應(yīng)用:

1.斜率與切線(法線);(差別:yf(x)上點(diǎn)M0和過點(diǎn)M0的切線)

物理:(相對(duì))變化率速度;

3.曲率(數(shù)一二):f"(x)(曲率半徑,曲率中心,曲率圓)(1f'2(x))3

邊沿與彈性(數(shù)三):(附:需求,利潤,成本,利潤)

五.單一性與極值(必求導(dǎo))

鑒別(駐點(diǎn)f'(x0)0):

(1)f'(x)0f(x);f'(x)0f(x);

分段函數(shù)的單一性

(3)f'(x)0零點(diǎn)獨(dú)一;f"(x)0駐點(diǎn)獨(dú)一(必為極值,最值).

極值點(diǎn):

(1)表格(f'(x)變號(hào));(由limf'(x)0,limf'(x)0,limf''(x)0x0的特色)2xx0xxx0xxx0x

(2)二階導(dǎo)(f'(x0)0)注(1)f與f',f"的般配(f'圖形中包含的信息);(2)實(shí)例:由f'(x)(x)f(x)g(x)確立點(diǎn)“xx0”的特色.

閉域上最值(應(yīng)用例:與定積分幾何應(yīng)用相聯(lián)合,求最優(yōu))3.不等式證明(f(x)0)

(1)差別:*單變量與雙變量*x[a,b]與x[a,),x(,)

(2)種類:*f'0,f(a)0;*f'0,f(b)0

*f"0,f(a),f(b)0;*f"(x)0,f'(x0)0,f(x0)0

(3)注意:單一性端點(diǎn)值極值凹凸性.(如:f(x)Mfmax(x)M)

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù):單一介值

六.凹凸與拐點(diǎn)(必求導(dǎo)!):

y"表格;(f"(x0)0)

2.應(yīng)用:(1)泰勒預(yù)計(jì);(2)f'單一;(3)凹凸.

七.羅爾定理與協(xié)助函數(shù):(注:最值點(diǎn)必為駐點(diǎn))

1.結(jié)論:F(b)F(a)F'( )f( )0

協(xié)助函數(shù)結(jié)構(gòu)實(shí)例:

(1)f( )F(x)xf(t)dta

(2)f'( )g( )f( )g'( )0F(x)f(x)g(x)(3)f(x)f'( )g( )f( )g'( )0F(x)g(x)

(4)f'( )( )f( )0F(x)e(x)dxf(x);3.f(n)( )0f(x)有n1個(gè)零點(diǎn)f(n1)(x)有2個(gè)零點(diǎn)

4.特例:證明f(n)( )a的慣例方法:令F(x)f(x)Pn(x)有n1個(gè)零點(diǎn)(Pn(x)待定)

注:含1,2時(shí),分家!(柯西定理)

6.附(達(dá)布定理):f(x)在[a,b]可導(dǎo),c[f'(a),f'(b)],[a,b],使:f'( )c

八.拉格朗日中值定理

1.結(jié)論:f(b)f(a)f'( )(ba);((a)(b),'( )0)

2.預(yù)計(jì):ff'( )x

九.泰勒公式(連結(jié)f,f',f"之間的橋梁)

1.結(jié)論:f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)1f"(x0)(xx0)21f"'( )(xx0)3;2!3!

應(yīng)用:在已知f(a)或f(b)值時(shí)進(jìn)行積分預(yù)計(jì)

十.積分中值定理(附:廣義):[注:有定積分(不含變限)條件時(shí)使用]

第三講:一元積分學(xué)

一.基本觀點(diǎn):原函數(shù)F(x):

(1)F'(x)f(x);(2)f(x)dxdF(x);(3)f(x)dxF(x)c

注(1)F(x)xf(t)dt(連續(xù)不必定可導(dǎo));a(2)xxf(x)(f(x)連續(xù))(xt)f(t)dtf(t)dtaa不定積分性質(zhì):

(1)(f(x)dx)'f(x);d(f(x)dx)f(x)dx(2)f'(x)dxf(x)c;df(x)f(x)c

二.不定積分慣例方法

熟習(xí)基本積分公式

基本方法:拆(線性性)

湊微法(基礎(chǔ)):要求巧,簡(jiǎn),活(1sin2xcos2x)

如:dx1d(axb),xdx1dx2,dxdlnx,dx2dxa2xx

變量代換:

(1)常用(三角代換,根式代換,倒代換):xsint,axbt,1t,ex1tx(2)作用與引伸(化簡(jiǎn)):x21xt分部積分(巧用):

x(1)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如lnx,arctanx,f(t)dt);a

(2)“反對(duì)冪三指”:nax,xnln,xedxxdx

(3)特別:xf(x)dx(*已知f(x)的原函數(shù)為F(x);*已知f'(x)F(x))

6.特例:(1)a1sinxb1cosx;(2)( )kx,()sin迅速法;(3)v(x)dxasinxbcosxdxedxaxdxun(x)pxpx

.定積分:

1.觀點(diǎn)性質(zhì):

(1)積分和式(可積的必需條件:有界,充分條件:連續(xù))

(2)幾何意義(面積,對(duì)稱性,周期性,積分中值)aaxx2dx(a0)a2b*8;*0a(3)附:b()(bfdxMba),xaa

(xab)dx02

bf(x)g(x)dxMg(x)dx)a

定積分與變限積分,失常積分的差別聯(lián)系與重視

2:變限積分(x)xf(t)dt的辦理(要點(diǎn))a(1)f可積連續(xù),f連續(xù)可導(dǎo)

xxxx(2)(f(t)dt)'f(x);((xt)f(t)dt)'f(t)dt;f(x)dt(xa)f(x)aaaa(3)由函數(shù)F(x)xf(t)dt參加的求導(dǎo),極限,極值,積分(方程)問題a3.NL公式:bf(x)dxF(b)F(a)(F(x)在[a,b]上一定連續(xù)!)a注:(1)分段積分,對(duì)稱性(奇偶),周期性

有理式,三角式,根式

(3)含bf(t)dt的方程.ab4.變量代換:f(x)dxf(u(t))u'(t)dta

(1)aaf(x)dxf(ax)dx(xat),00aaa41(2)f(x)dxf(x)dx(xt)[f(x)f(x)]dx(如:dx)aa041sinx(3)In2sinnxdxn1In2,0n(4)2f(sinx)dx2f(cosx)dx;f(sinx)dx22f(sinx)dx,0000(5)xf(sinx)dx2f(sinx)dx,00分部積分

準(zhǔn)備時(shí)“湊常數(shù)”

xb(2)已知f'(x)或f(x)時(shí),求f(x)dxaa

附:三角函數(shù)系的正交性:四.失常積分:

1.種類:(1)f(x)dx,af(x)dx(f(x)連續(xù))f(x)dx,abf(x)在xa,xb,xc(acb)處為無量中斷)(2)f(x)dx:(a斂散;

計(jì)算:積分法NL公式極限(可換元與分部)

4.特例:(1)1dx;(2)11dx1xp0xp

五.應(yīng)用:(柱體側(cè)面積除外)

面積,

(1)Sb[f(x)df1(y)dy;ag(x)]dx;(2)Sc(3)S1r2()d;(4)側(cè)面積:Sb2f(x)1f'2(x)dx2a

體積:

(1)Vxb2(x)g2(x)]dx;(2)Vyd1(y)]2dy2b[f[fxf(x)dxacaVxx0與Vyy0

3.弧長:ds(dx)2(dy)2

(1)yf(x),x[a,b]sb1f'2(x)dxaxx(t)t2(2),t[t1,t2]sx'2(t)y'2(t)dtyy(t)t1(3)rr( ),[,]:sr2( )r'2( )d

物理(數(shù)一,二)功,引力,水壓力,質(zhì)心,

均勻值(中值定理):(1)f[a,b]1bbaf(x)dx;axT(2)f(t)dt,(f以T為周期:0f[0)lim0fx

f(t)dt)T

第四講:微分方程

一.基本觀點(diǎn)

知識(shí):通解,初值問題與特解(注:應(yīng)用題中的隱含條件)

變換方程:

令xx(t)y'"Dy"(如歐拉方程)

(2)令uu(x,y)yy(x,u)y'(如伯努利方程)

成立方程(應(yīng)用題)的能力

二.一階方程:

1.形式:(1)y'f(x,y);(2)M(x,y)dxN(x,y)dy0;(3)y(a)b2.變量分別型:y'f(x)g(y)

(1)解法:dyf(x)dxG(y)F(x)Cg(y)

z(2)“偏”微分方程:f(x,y);x

3.一階線性(要點(diǎn)):y'p(x)yq(x)

x1xp(x)dx(1)解法(積分因子法):M(x)ex0y[M(x)q(x)dxy0]M(x)x0(2)變化:x'p(y)xq(y);

推行:伯努利(數(shù)一)y'p(x)yq(x)y

y4.齊次方程:y'( )

yuxu'dudx(1)解法:u(u),xx(u)u(2)特例:dya1xb1yc1dxa2xb2yc25.全微分方程(數(shù)一):M(x,y)dxN(x,y)dy0且NMxy6.一階差分方程(數(shù)三):yx1ayx0yxcaxbxp(x)yx*xnQ(x)bx三.二階降階方程1.y"f(x):yF(x)c1xc2

2.y"f(x,y'):令y'p(x)y"dpf(x,p)dx

3.y"f(y,y'):令y'p(y)y"pdpf(y,p)dy

四.高階線性方程:a(x)y"b(x)y'c(x)yf(x)

通解結(jié)構(gòu):

(1)齊次解:y0(x)c1y1(x)c2y2(x)

(2)非齊次特解:y(x)c1y1(x)c2y2(x)y*(x)

常系數(shù)方程:ay"by'cyf(x)

特色方程與特色根:a2bc0

非齊次特解形式確立:待定系數(shù);(附:f(x)keax的算子法)

由已知解反求方程.

3.歐拉方程(數(shù)一):ax2y"bxy'cyf(x),令xetx2y"D(D1)y,xy'Dy

五.應(yīng)用(注意初始條件):

幾何應(yīng)用(斜率,弧長,曲率,面積,體積);

注:切線和法線的截距積分等式變方程(含變限積分);

x可設(shè)f(x)dxF(x),F(a)0a

導(dǎo)數(shù)定義立方程:

含雙變量條件f(xy)的方程

變化率(速度)

5.dvd2xFmadt2dtQP6.路徑?jīng)]關(guān)得方程(數(shù)一):xy

級(jí)數(shù)與方程:

(1)冪級(jí)數(shù)乞降;(2)方程的冪級(jí)數(shù)解法:ya0a1xa2x2,a0y(0),a1y'(0)

彈性問題(數(shù)三)

第五講:多元微分與二重積分

一.二元微分學(xué)觀點(diǎn)

極限,連續(xù),單變量連續(xù),偏導(dǎo),全微分,偏導(dǎo)連續(xù)(必需條件與充分條件),

(1)ff(x0x,y0y),xff(x0x,y0),yff(x0,y0y)

(2)limf,fxlimxf,fylimyfxy(3)fdf(鑒別可微性)fxxfyydf,lim(y)2(x)2

注:(0,0)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限制義:

特例:

xy(0,0)(1)f(x,y)x2y2:(0,0)點(diǎn)處可導(dǎo)不連續(xù);0,(0,0)xy(0,0)(2)f(x,y)x2y2:(0,0)點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)不行微;0,(0,0)

二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算:

顯函數(shù)一,二階偏導(dǎo):zf(x,y)

注:(1)xy型;(2)zx(x0,y0);(3)含變限積分

2.復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)(要點(diǎn)):zf[u(x,y),v(x,y)]

嫻熟掌握記號(hào)f1',f2',f11",f12",f22"的正確使用

隱函數(shù)(由方程或方程組確立):

(1)形式:*F(x,y,z)0;*F(x,y,z)0(存在定理)G(x,y,z)0(2)微分法(嫻熟掌握一階微分的形式不變性):FxdxFydyFzdz0(要求:二階導(dǎo))注:(x0,y0)與z0的實(shí)時(shí)代入

會(huì)變換方程.

三.二元極值(定義);

二元極值(顯式或隱式):

必需條件(駐點(diǎn));

充分條件(鑒別)

條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注:應(yīng)用)

(1)目標(biāo)函數(shù)與拘束條件:zf(x,y)(x,y)0,(或:多條件)

(2)求解步驟:L(x,y,)f(x,y)(x,y),求駐點(diǎn)即可.

有界閉域上最值(要點(diǎn)).

(1)zf(x,y)MD{(x,y)(x,y)0}

實(shí)例:距離問題

四.二重積分計(jì)算:

觀點(diǎn)與性質(zhì)(“積”前工作):

d,

D

(2)對(duì)稱性(嫻熟掌握):*D域軸對(duì)稱;*f奇偶對(duì)稱;*字母輪換對(duì)稱;*重心坐標(biāo);(3)“分塊”積分:*DD1D2;*f(x,y)分片定義;*f(x,y)奇偶

計(jì)算(化二次積分):

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇(變換):以“D”為主;

交換積分序次(嫻熟掌握).

3.極坐標(biāo)使用(變換):f(x2y2)附:D:(xa)2(yb)2R2;D:x2y2a221;b雙紐線(x2y2)2a2(x2y2)D:xy1

特例:

單變量:f(x)或f(y)

(2)利用重心求積分:要求:題型(k1xk2y)dxdy,且已知D的面積SD與重心(x,y)D無界域上的失常二重積分(數(shù)三)

五:一類積分的應(yīng)用(f(M)d:D;;L;;):

1.“尺寸”:(1)dSD;(2)曲面面積(除柱體側(cè)面);

D

質(zhì)量,重心(形心),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

為三重積分,格林公式,曲面投影作準(zhǔn)備.第六講:無量級(jí)數(shù)(數(shù)一,三)

一.級(jí)數(shù)觀點(diǎn)

1.定義:(1){an},(2)Sna1a2an;(3)limSn(如n)nn1(n1)!注:(1)liman;(2)qn(或1);(3)“伸縮”級(jí)數(shù):(aa)收斂{an}收斂.nann1n2.性質(zhì):(1)收斂的必需條件:liman0;n

加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散(交織級(jí)數(shù)的議論);

(3)s2ns,an0s2n1ssns;

二.正項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.正項(xiàng)級(jí)數(shù):(1)定義:an0;(2)特色:Sn;(3)收斂SnM(有界)

2.標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):(1)1,(2)lnkn,(3)1npnnlnkn

3.審斂方法:(注:2aba2b2,alnbblna)1(1)比較法(原理):ankp(預(yù)計(jì)),如n

f(x)dx;

P(n)

n0

Q(n)

(2)比值與根值:*limun1*limnun(應(yīng)用:冪級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算)nnun.交織級(jí)數(shù)(含一般項(xiàng)):(1)n1an(an0)1.“審”前觀察:(1)an0?(2)an0?;(3)絕對(duì)(條件)收斂

注:若liman11,則un發(fā)散nan2.標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):(1)(1)n11;(2)(1)n11;(3)(1)n11nnplnpn

萊布尼茲審斂法(收斂)

(1)前提:an發(fā)散;(2)條件:an,an0;(3)結(jié)論:(1)n1an條件收斂.

增補(bǔ)方法:

(1)加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散;(2)s2ns,an0s2n1ssns.

5.注意事項(xiàng):對(duì)照an;(1)nan;an;an2之間的斂散關(guān)系

四.冪級(jí)數(shù):

常有形式:

(1)anxn,(2)an(xx0)n,(3)an(xx0)2n

阿貝爾定理:

(1)結(jié)論:xx*斂Rx*x0;xx*散Rx*x0

(2)注:當(dāng)xx*條件收斂時(shí)Rxx*收斂半徑,區(qū)間,收斂域(乞降前的準(zhǔn)備)注(1)nanxn,anxn與anxn同收斂半徑n(2)anxn與an(xx0)2n之間的變換

冪級(jí)數(shù)睜開法:

前提:熟記公式(雙向,注明斂域)

sinxx1x31x5,Rcosx11x23!5!2!11xx2,x(1,1);11xx21x1x(2)分解:f(x)g(x)h(x)(注:中心挪動(dòng))(特別:(3)觀察導(dǎo)函數(shù):g(x)f'(x)xg(x)dxf(x)0(4)觀察原函數(shù):g(x)xf(x)g'(x)f(x)dx0冪級(jí)數(shù)乞降法(注:*先求收斂域,*變量替代):

(1)S(x),

S'(x),(注意首項(xiàng)變化)

(3)S(x)( )',

(4)S(x)"S(x)"的微分方程

(5)應(yīng)用:ananxn()(1).SxanS

1x4,R;4!,x(1,1)

1ax2bxc,xx0)

f(0)

方程的冪級(jí)數(shù)解法經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三):

復(fù)利:A(1p)n;(2)現(xiàn)值:A(1p)n

.傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一):(T2)

a0ancosnxbnsinnx1.傅氏級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù)):S(x)2n1

2.Dirichlet充分條件(收斂定理):

(1)由f(x)S(x)(和函數(shù))

(2)S(x)1[f(x)f(x)]2an1f(x)cosnxdx3.系數(shù)公式:a01,n1,2,3,f(x)dx,bn1f(x)sinnxdx4.題型:(注:f(x)S(x),x?)

(1)T2且f(x),x(,](分段表示)

(2)x(,]或x[0,2]

x[0,]正弦或余弦

*(4)x[0,](T)*5.T2l6.附產(chǎn)品:f(x)a0ancosnxbnsinnxS(x)2n1

第七講:向量,偏導(dǎo)應(yīng)用與方導(dǎo)游(數(shù)一)

一.向量基本運(yùn)算

1.k1ak2b;(平行ba)

2.a;(單位向量(方向余弦)a01a(cos,cos,cos))a3.ab;(投影:(b)aab;垂直:abab0;夾角:(a,b)ab)aab

4.ab;(法向:naba,b;面積:Sab)

二.平面與直線

平面

(1)特色(基本量):M0(x0,y0,z0)n(A,B,C)

(2)方程(點(diǎn)法式)::A(xx0)B(yy0)C(zz0)0AxByCzD0

(3)其余:*截距式xyz1;*三點(diǎn)式abc直線L

(1)特色(基本量):M0(x0,y0,z0)s(m,n,p)(2)方程(點(diǎn)向式):L:xx0yy0zz0mnpA1xB1yC1zD10(3)一般方程(交面式):C2zD20A2xB2yxa1(a2a1)t(4)其余:*二點(diǎn)式;*參數(shù)式;(附:線段AB的參數(shù)表示:yb1(b2b1)t,t[0,1])zc1(c2c1)t

適用方法:

(1)平面束方程::A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0

Ax0By0Cz0D(2)距離公式:如點(diǎn)M0(x0,y0)到平面的距離d

A2B2C2

對(duì)稱問題;

投影問題.

三.曲面與空間曲線(準(zhǔn)備)

曲面

(1)形式:F(x,y,z)0或zf(x,y);(注:柱面f(x,y)0)

(2)法向n(Fx,Fy,Fz)(cos,cos,cos)(或n(zx,zy1))曲線xx(t)(1)形式:yy(t),或F(x,y,z)0;zG(x,y,z)0z(t)

(2)切向:s{x'(t),y'(t),z'(t)}(或sn1n2)

應(yīng)用

交線,投影柱面與投影曲線;

旋轉(zhuǎn)面計(jì)算:參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn);

錐面計(jì)算.

四.常用二次曲面

圓柱面:x2y2R2

2.球面:x2y2z2R2

變形:x2y2R2z2,zR2(x2y2),

x2y2z22az,(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2

3.錐面:zx2y2

變形:x2y2z2,zax2y2

4.拋物面:zx2y2,

變形:x2y2z,za(x2y2)5.雙曲面:x2y2z21

6.馬鞍面:zx2y2,或zxy

五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用

曲面

(1)法向:F(,y,)0n(Fx,Fy,Fz),注:zf(x,y)n(fx,fy1)xz

切平面與法線:2.曲線

(1)切向:xx(t),yy(t),zz(t)s(x',y',z')

切線與法平面

3.F0綜合::,sn1n2G0六.方導(dǎo)游與梯度(要點(diǎn))1.方導(dǎo)游(l方向斜率):

(1)定義(條件):l(m,n,p)(cos,cos,cos)

u(2)計(jì)算(充分條件:可微):uxcosuycosuzcosl

附:z

f(x,y),l0

{cos

,sin

}

z

l

fxcos

fysin(3)附:2ffxxcos22fxysincosfyysin2l2

梯度(獲得最大斜率值的方向)G:

(1)計(jì)算:

(a)zf(x,y)Ggradz(fx,fy);

結(jié)論

(a)uGl0;l

(b)取lG為最大變化率方向;

(c)G(M0)為最大方導(dǎo)游數(shù)值.

第八講:三重積分與線面積分(數(shù)一)

.三重積分(fdV)

域的特色(不波及復(fù)雜空間域):

對(duì)稱性(要點(diǎn)):含:對(duì)于坐標(biāo)面;對(duì)于變量;對(duì)于重心

(2)投影法:Dxy{(x,y)x2y2R2}z1(x,y)zz2(x,y)

(3)截面法:D(z){(x,y)x2y2R2(z)}azb其余:長方體,四周體,橢球f的特色:

(1)單變量f(z),(2)f(x2y2),(3)f(x2y2z2),(4)faxbyczd

選擇最合適方法:

(1)“積”前:*dv;*利用對(duì)稱性(要點(diǎn))

(2)截面法(旋轉(zhuǎn)體):Ib2y2))dzfdxdy(細(xì)腰或中空,f(z),f(xaD(z)

(3)投影法(直柱體):Idxdyz2(x,y)fdzDxyz1(x,y)2dsindR2d,(4)球坐標(biāo)(球或錐體):If( )000(5)重心法(faxbyczd):I(axbyczd)V

應(yīng)用問題:

同第一類積分:質(zhì)量,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力

Gauss公式

.第一類線積分(fds)

L

“積”前準(zhǔn)備:

(1)ds

L;(2)

對(duì)稱性

;(3)

代入“

L”表達(dá)式

Lxx(t)t[a,b]fdsb2.計(jì)算公式:f(x(t),y(t))x'2(t)y'2(t)dtyy(t)La增補(bǔ)說明:

(1)重心法:(axbyc)ds(axbyc)L;L(2)與第二類交換:AdsAdrLL應(yīng)用范圍

第一類積分

(2)柱體側(cè)面積zx,yds

L

.第一類面積分(fdS)

“積”前工作(要點(diǎn)):

(1)dS;(代入:F(x,y,z)0)

對(duì)稱性(如:字母輪換,重心)

分片

計(jì)算公式:

(1)zz(x,y),(x,y)DxyIf(x,y,z(x,y))1zx2zy2dxdyDxy(2)與第二類交換:AndSAdS

四:第二類曲線積分(1):P(x,y)dxQ(x,y)dy(此中L有向)Lxx(t)t21.直接計(jì)算:,t:t1t2I[Px'(t)Qy'(t)]dtyy(t)t1常有(1)水平線與垂直線;(2)x2y21

2.Green公式:

(1)PdxQdy(QP)dxdy;LDxy(2):*PQ換路徑;*PQ圍路徑y(tǒng)yyyL(AB)(3)(QxPy但D內(nèi)有奇點(diǎn))(變形)LLL*3.推行(路徑?jīng)]關(guān)性):PQyy(1)PdxQdydu(微分方程)uAB(道路變形原理)L(AB)(2)(,)(,)與路徑?jīng)]關(guān)(f待定):微分方程.PxydxQxydyL

應(yīng)用

功(環(huán)流量):IFdr(有向,F(P,Q,R),drds(dx,dy,dz))

五.第二類曲面積分:

1.定義:PdydzQdzdxRdxdy,或R(x,y,z)dxdy(此中含側(cè))計(jì)算:

(1)定向投影(單項(xiàng)):R(x,y,z)dxdy,此中:zz(x,y)(特別:水平面);

注:垂直側(cè)面,雙層分開

(2)合一投影(多項(xiàng),單層):n(zx,zy,1)

(3)化第一類(不投影):n(cos,cos,cos)

3.Gauss公式及其應(yīng)用:

PQR(1)散度計(jì)算:divAxyz

Gauss公式:關(guān)閉外側(cè),內(nèi)無奇點(diǎn)

(3)注:*增補(bǔ)“蓋”平面:;*關(guān)閉曲面變形(含奇點(diǎn))

0

通量與積分:

AdS(有向n,AP,Q,R,dSndS(dydz,dzdx,dxdy))

六:第二類曲線積分(2):P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

參數(shù)式曲線:直接計(jì)算(代入)

注(1)當(dāng)rotA0時(shí),可任選路徑;(2)功(環(huán)流量):IFdr

2.Stokes公式:(要求:為交面式(有向),所張曲面含側(cè))

(1)旋度計(jì)算:RA(,,)(P,Q,R)xyzF0{Fx,Fy,Fz}或{Gx,Gy,Gz};(2)交面式(一般含平面)關(guān)閉曲線:同側(cè)法向nG0(3)Stokes公式(選擇):Adr(A)ndS

(a)化為PdydzQdzdxRdxdy;(b)化為R(x,y,z)dxdy;(c)化為fdS高數(shù)要點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對(duì)數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)

(yax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

3、無量?。焊唠A+低階=低階比如：limx2xlimx1x0xx0x4、兩個(gè)重要極限：(1)limsinx11xe1(2)lim1xxelim1x0xx0xx經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)x

比如：lim13xx0

x0,f(x)0,g(x)，lim1f(x)g(x)limf(x)g(x)exx0xx01lim3xx3xx0ee5、可導(dǎo)必然連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。比如：y|x|連續(xù)但不行導(dǎo)。

6、導(dǎo)數(shù)的定義：limf(xx)f(x)f'(x)limf(x)f(x0)f'x0x0xxx0xx0dfg(x)7、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：f'g(x)?g'(x)

11x2x1比如：yxx,y'22xx4x2xx8、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時(shí)微分，再求出dy/dxx2y21比如：解：法(1),左右兩邊同時(shí)求導(dǎo),2x2yy'0y'xy法(2),左右兩邊同時(shí)微分,2xdx2ydydyxdxy9、由參數(shù)方程所確立的函數(shù)求導(dǎo)：若yg(t)，則dydy/dtg'(t)，其二階導(dǎo)數(shù)：xh(t)dxdx/dth'(t)d2yddy/dxd(dy/dx)dg'(t)/h'(t)dtdtdx2dxdx/dth'(t)

10、微分的近似計(jì)算：f(x0x)f(x0)x?f'(x0)比如：計(jì)算sin31

11、函數(shù)中斷點(diǎn)的種類：(1)第一類：可去中斷點(diǎn)和跳躍中斷點(diǎn)；比如：ysinx（x=0是x

函數(shù)可去中斷點(diǎn)），ysgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍中斷點(diǎn)）(2)第二類：振蕩中斷點(diǎn)和無

窮中斷點(diǎn)；比如：f(x)sin1（x=0是函數(shù)的振蕩中斷點(diǎn)），y1（x=0是函數(shù)的無量xx

中斷點(diǎn)）

12、漸近線：

水平漸近線：ylimf(x)c

x

鉛直漸近線：若，limf(x)，則xa是鉛直漸近線.xa

斜漸近線：設(shè)斜漸近線為yaxb,即求alimf(x)blimfxax,( )xxx比如：求函數(shù)x3x2x1的漸近線x21y13、駐點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點(diǎn)。14、極值點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個(gè)小鄰域u(x0,δ),對(duì)于隨意x∈u(x0,δ)，都

f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點(diǎn)；不然，稱x0是f(x)的極大值點(diǎn)。極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。

15、拐點(diǎn)：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下