高一數學重點知識點總結

高一數學重點知識點總結高一數學重點知識點總結合集7篇高一數學重點知識點總結1一：函數及其表示知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關系的判斷原則、函數區(qū)間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等1.函數與映射的區(qū)別：2.求函數定義域常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：①當f(x)為整式時，函數的定義域為R.②當f(x)為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。③當f(x)為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小于0的實數集合。④當f(x)為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。⑥復合函數的定義域是復合的各基本的函數定義域的交集。⑦對于由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。3.求函數值域(1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域;(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域;(3)、判別式法：(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域;(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域;(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;(8)、最值法：對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。高一數學重點知識點總結2集合與元素一個東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對于這個班級集合來說，是它的一個元素;而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。班級相對于你是集合，相對于學校是元素，參照物不同，得到的結論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的。.解集合問題的關鍵解集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合;比如用數軸來表示集合，或是集合的元素為有序實數對時，可用平面直角坐標系中的圖形表示相關的集合等。高一數學重點知識點總結3(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。(2)指數函數的值域為大于0的實數集合。(3)函數圖形都是下凹的。(4)a大于1，則指數函數單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。(5)可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。(6)函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。(7)函數總是通過(0，1)這點。(8)顯然指數函數無界。奇偶性定義一般地，對于函數f(x)(1)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。(2)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。(3)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。(4)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。高一數學重點知識點總結4定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。范圍：傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°。理解：(1)注意“兩個方向”：直線向上的方向、x軸的正方向;(2)規(guī)定當直線和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0度。意義：①直線的傾斜角，體現了直線對x軸正向的傾斜程度;②在平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角;③傾斜角相同，未必表示同一條直線。公式：k=tanαk>0時α∈(0°，90°)k<0時α∈(90°，180°)k=0時α=0°當α=90°時k不存在ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A，則tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)當a≠0時，傾斜角為90度，即與X軸垂直高一數學重點知識點總結5【(一)、映射、函數、反函數】1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.2、對于函數的概念，應注意如下幾點：(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.(2)掌握三種表示法――列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.【(二)、函數的解析式與定義域】1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：(1)有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：①分式的分母不得為零;②偶次方根的被開方數不小于零;③對數函數的真數必須大于零;④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.2、求函數的解析式一般有四種情況(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.(2)有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數的定義域.(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.【(三)、函數的值域與最值】1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的.解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域.(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.2、求函數的最值與值域的區(qū)別和聯系求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.3、函數的最值在實際問題中的應用函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.【(四)、函數的奇偶性】1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：注意如下結論的運用：(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。3、有關奇偶性的幾個性質及結論(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區(qū)間上的單調性是相同(反)的。(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.(6)奇偶性的推廣函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數。【(五)、函數的單調性】1、單調函數對于函數f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統(tǒng)稱為單調函數.對于函數單調性的定義的理解，要注意以下三點：(1)單調性是與“區(qū)間”緊密相關的概念.一個函數在不同的區(qū)間上可以有不同的單調性.(2)單調性是函數在某一區(qū)間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.(3)單調區(qū)間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域范圍內.(4)注意定義的兩種等價形式：設x1、x2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函數;在[a、b]上是減函數.②在[a、b]上是增函數.在[a、b]上是減函數.需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.5、復合函數y=f[g(x)]的單調性若u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握并熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.6、證明函數的單調性的方法(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.(2)設函數y=f(x)在某區(qū)間內可導.如果f′(x)>0，則f(x)為增函數;如果f′(x)<0，則f(x)為減函數.【(六)、函數的圖象】函數的圖象是函數的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數形結合的思想方法解決問題的意識.求作圖象的函數表達式與f(x)的關系由f(x)的圖象需經過的變換y=f(x)±b(b>0)沿y軸向平移b個單位y=f(x±a)(a>0)沿x軸向平移a個單位y=-f(x)作關于x軸的對稱圖形y=f(|x|)右不動、左右關于y軸對稱y=|f(x)|上不動、下沿x軸翻折y=f-1(x)作關于直線y=x的對稱圖形y=f(ax)(a>0)橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變y=af(x)縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變y=f(-x)作關于y軸對稱的圖形【例】定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)，且f(0)≠0.①求證：f(0)=1;②求證：y=f(x)是偶函數;③若存在常數c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.思路分析：我們把沒有給出解析式的函數稱之為抽象函數，解決這類問題一般采用賦值法.解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)?f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數.③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=所以，所以f(x+c)=-f(x).兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個周期.高一數學重點知識點總結6函數的概念函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;(2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.函數的三要素：定義域、值域、對應法則函數的表示方法：(1)解析法：明確函數的定義域(2)圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。4、函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即平移。(3)函數圖像平移變換的特點：1)加左減右――――――只對x2)上減下加――――――只對y3)函數y=f(x)關于X軸對稱得函數y=-f(x)4)函數y=f(x)關于Y軸對稱得函數y=f(-x)5)函數y=f(x)關于原點對稱得函數y=-f(-x)6)函數y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得函數y=|f(x)|7)函數y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函數f(|x|)高一數學重點知識點總結7對于a的取值為非零有理數，有必