第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

第八章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖一、選擇題1.下列四個(gè)幾何體中，幾何體只有主視圖和左視圖相同的是()A．①② B．①③C．①④ D．②④解析由幾何體分析知②④中主視圖和左視圖相同．答案D2．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是 ()．A．球的三視圖總是三個(gè)全等的圓B．正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形D．水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓解析畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對(duì)于球無(wú)論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓．答案A3．將正方體(如圖(a)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(b)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 ()．解析還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1答案B4．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()．解析A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.答案D5．一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()．A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2D.eq\f(2\r(2),3)a2解析根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.故選B.答案B6．一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是 ()．解析選項(xiàng)C不符合三視圖中“寬相等”的要求．答案C二、填空題7.如圖所示，E、F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是________(填序號(hào)解析B在面DCC1D1上的投影為C，F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)分別在邊CC1和DD1上，而不在四邊形的內(nèi)部，故①③④錯(cuò)誤．答案②8．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析(構(gòu)造法)由主視圖和俯視圖可知幾何體是正方體切割后的一部分(四棱錐C1-ABCD)，還原在正方體中，如圖所示．多面體最長(zhǎng)的一條棱即為正方體的體對(duì)角線，如圖即AC1.由正方體棱長(zhǎng)AB＝2知最長(zhǎng)棱AC1的長(zhǎng)為2eq\r(3).答案2eq\r(3)9．利用斜二測(cè)畫法得到的：①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖一定是菱形．以上正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤．答案①10．圖(a)為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成；圖(b)中的三視圖表示的實(shí)物為_(kāi)_______．圖(a)圖(b)解析(1)由三視圖可知從正面看到三塊，從側(cè)面看到三塊，結(jié)合俯視圖可判斷幾何體共由4塊長(zhǎng)方體組成．(2)由三視圖可知幾何體為圓錐．答案4圓錐三、解答題11．如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位：cm)．(1)在主視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；解(1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長(zhǎng)方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．12．已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD－A1B1C1D1解如圖所示，過(guò)內(nèi)接正方體的一組對(duì)棱作圓錐的軸截面，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x，則在軸截面中，正方體的對(duì)角面A1ACC1的一組鄰邊的長(zhǎng)分別為x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h)，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).13．正四棱錐的高為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(7)，求側(cè)面上斜高(棱錐側(cè)面三角形的高)為多少？解如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中，高OS＝eq\r(3)，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，在Rt△SOA中，OA＝eq\r(SA2－OS2)＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2eq\r(2).作OE⊥AB于E，則E為AB中點(diǎn)．連接SE，則SE即為斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，SO＝eq\r(3)，∴SE＝eq\r(5)，即側(cè)面上的斜高為eq\r(5).14．(1)如圖1所示的三棱錐的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，那么該三棱錐的側(cè)視圖是圖2還是圖3?(2)某幾何體的三視圖如圖4，問(wèn)該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？(3)某幾何體的三視圖如圖5，問(wèn)該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？解(1)該三棱錐在側(cè)(右)投影面上的投影是一直角三角形，該三棱錐的側(cè)視圖應(yīng)是圖2.(2)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中OA、OB、OC兩兩垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是銳角三角形．設(shè)AO＝a，OC＝c，OB＝b，則AC＝eq\r(a2＋c2)，BC＝eq\r(c2＋b2)，AB＝eq\r(a2＋b2)，∴cos∠BAC＝eq\f(a2,\r(a2＋b2)·\r(c2＋a2))>0，