高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題專練《數(shù)列中的分組、并項(xiàng)求和（一）》突破解析

一輪復(fù)習(xí)大題專練27—數(shù)列（分組、并項(xiàng)求和）1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列前2021項(xiàng)之和．解：（Ⅰ），可得時(shí)，；時(shí)，，上式對也成立．所以，；（Ⅱ），則，，．根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可得，．2．山西面食歷史悠久，源遠(yuǎn)流長，稱為“世界面食之根”．臨汾牛肉丸子面、饸饹面是我們臨汾人喜愛吃的面食．調(diào)查資料表明，某學(xué)校在每周一有1000名學(xué)生選擇面食，餐廳的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹兩種面食．凡是在本周一選擇牛肉丸子面的學(xué)生，下周一會有改選饸饹面；而選擇饸饹面的學(xué)生，下周一會有改選牛肉丸子面．用，分別表示在第個(gè)周一選擇牛肉丸子面和饸饹面的人數(shù)，且．（1）證明：數(shù)列是常數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：，，，根據(jù)題意，可得，解之可得，，，，即得數(shù)列是常數(shù)列；（2）由（1）可得，，，．．3．已知等差數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）若，求數(shù)列的前40項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，．（2），①為奇數(shù)時(shí)，．②為偶數(shù)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，4．已知等比數(shù)列的公比，，且是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：是，的等差中項(xiàng)，，即，，，，通項(xiàng)公式：．令，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，則的通項(xiàng)公式，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，則的通項(xiàng)公式，設(shè)，其前項(xiàng)和為，則，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相加減，，①，②由①②可得，，．5．已知等差數(shù)列滿足公差，前項(xiàng)的和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和．解：（1）等差數(shù)列滿足公差，前項(xiàng)的和為，，且，，成等比數(shù)列．所以，整理得：，解得，故．（2）由（1）得：，所以：，，，，故．6．已知數(shù)列，滿足，，．（Ⅰ）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求．證明：（Ⅰ），，，，，，，是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等比數(shù)列，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，7．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足是，的等差中項(xiàng)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足是，的等差中項(xiàng)，，設(shè)數(shù)列的公比為，則，由于，故，解得或