2006年全國高中數(shù)學聯(lián)賽賽區(qū)預賽

2006年高中數(shù)賽陜西賽區(qū)預

(A)5

(B)5

(C)4

(D)3選擇題(5,50分b

-θos(θ<2π),則θ的取值范圍是 )ab為實數(shù),集合M ,1,P ( ()πaa,0}fx→xMx

0,

4射到集合P中仍為x.則a+b的值等于 )

π

π

(A)- (D)2x+|已知函數(shù)f(x2x+|x|,則f(x)的解析式是x|

mn個白球mn≥4,若取出的兩個球是同色的概率等于取出的兩個球是異色的概,m+n≤40的數(shù)組m,n(A)log2x(B)-x

x(C)2-x(D)x-32 2+332=5-a

個數(shù)為 ) 2334數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是 ) x2+(1+a)x+a+b+12334-∞,-∞,

∪(5,+∪(5,+

x1x2,0<x11x21.b的取值范圍是 )12121212-3

-2,

-1,-2 -2,-

-1, -2,已知數(shù)列anbn}n項和分別為AnBn,cn=anBn+bnAn-anbnn≥1.則數(shù)列cn}10項和為().(A)A+ (B)A10+ A10(C)A10A101設P△ABC內(nèi)一點且

2在正方體ABCD-A1B1C1PAB,過點P在空間作直線l,lABCDABC1D1均成30°角.則這樣的直線l=2AB+

1AC.5

條數(shù)為 ) S△ABP=

3從雙曲線2

2=1a>0, bS

0Fx2+y2=a2,T,延長FT交雙P.M為線段FP,

(2)若x+y+z≥xyz,求u=x+ zxzx的最小值則|MO-|MT|與b-a的大小關系為( ).

(20分sin(α+β3sinβtanαx,tanβ=y,y=fx)fx的表達式|MO|-| (2)定義正數(shù)數(shù)列{a}:a=1, >b-|MO|-|MT|=b-|MO|-|MT|<b-θ填空題(6,30分θ已知θ為銳角,且cos =1.

n+2anf(an)(n∈N+.求數(shù)列{an的通項公式.A作直線BI,垂足為H.D分別為內(nèi)切圓⊙IBCCA的切點.θsinθ= θ

證DHE三點共線用6根等長的細鐵棒焊接成一個正,鐵棒的粗細和焊接誤差不計.R1,能包容此框架的最小球的半徑為R. 等 25fx2,25f 3sinα=5,f(4cos2)5值 abc,ax

圖 圖五、(30分)5,C:y2=4pxp>0,FCl,l與xE.過點F任意作一條直線交拋物線CAB兩點.by+c02+

8=1

(1AFFBλ>0)求證:EF(EA-B) 設x>1,y>1,S=min{logx2,log2y,logy(8x2)}.則S的最大值為 一、(20分Px+ay1Qxy2、R(2ay3f(x)2x+a的反函數(shù),且滿足y1+y3=2y2的實數(shù)x有且只有一個.求實數(shù)a的取值范

(2)M為線段AB,p為奇質,MxMl的距離均為非零整數(shù).求證:M到坐標原點O的距離不可能是整數(shù).由題設M=P,,b=0,a1,a=1a圍

b0a+b1x1x+求證: +

+z + +

+1z

x|x|>0,

x0

=log2x m+n=m-n2 從而,f(x)=log2x=-log2x 從而, 為完全平方 因為x<00<

<1.0<x2x

mn≥4m+n≤40得9≤m+n≤40.23a1-5-a

2<a<3

所以

m+n9,m-n=

m+n=16m-n=n≥2

m+n=25 m-n=

m+n=36m-n=cn=(An-An-1)Bn+(Bn-Bn-1)An(An-An-1)(Bn-Bn-1=AnBn-An-1Bn-12211332c1+c2+?+2211332

解得(m,n)=(6,3)(舍去或(10,6)或(15或(2115故符合題意的數(shù)組mn3個11=A11

+(A

-AB)+(A

-AB)+

f(x)=x2+(1+a)x+a+b+1.0<x12+(A10B10-A9B9)=A10B102

1,x21,f(0)=a+b+1>06AM

AB5

f(1)=2a+b+3<在直角坐標平面AN=15AP=AM+由平行四邊形法NP∥AB,

上作出上述不等式所表示平面區(qū)域如圖7中陰影部分所示(不含邊界),兩直線a+b+1=02a+b+30P(-2,1)S△ABP=|AN|=1 b表示經(jīng)過坐標原 圖S | 解法1sin3-cos3θcos-sinθ,(sinθ-cos)2+1sinθ2

O和可行域內(nèi)的點(a,b的直線l的斜率.,lP(-2,1,斜率-1;l與直2a+230,-2,-2<b<-1因

所2+2sin2sinθ-cosθ0θθ解得 4

>0

由于二C1-AB-D的平面角45°,,在這個二面角及它的“對頂”二面角內(nèi),不存在過點P且與ABCDABC1D130°的直線

轉而考慮它的補二面,易知過點P有且僅有兩1sin3+sinθos3+cos. 1構造函f(x)=x3+x,則原不等式fsin))(

條件的直l2條.θπ θ 4

8,設雙曲線F,FOT在Rt△OTF,, C1

|FO|=c,|OT|=a(為雙曲線的半焦距),P(A)=2Cm+

,P(B)=2Cm+

,P(C)= n2Cm+2

|TF|=b.根據(jù) m依題意PA)+PB)=PC),即C2+C2= m

角形中位線定理及雙 圖 |MO|-|MT|=2|PF| 2|PF|- 因為Qx1y1在橢2+81,=b

1|PF|-|PF|)=b-a.272

(2x0-1)

(2y0+2) =

12 (y+1)12.

=

15. 由題設得log2≥S,logy≥S,log(8x2)≥S,4cosθ-3=3,即4cosθ=3 sinθ 3+ 3+ log log 故sinθ=3-4sinθ=4cosθ-1=3 S≤log(8x2)=3+2log2x log log log 解法2設sinθin

=x, 于是,S3-3S-2≤0,即(S-2)(S+1)2≤0,x-1=sinθ-cosθ S2 cos 當x ,y=4時取等號2=sin(θ-)=sinθ=sinθcos1x2+3

sinθ2θ73

一、fx)2x+a的反f-1(x)=log2(x-a)12.312.3

=log2x,

=log2(x-a),y3=1 1依題意,R1為這個正四面體框架的棱切球

+y3=2

,1log2x2log2x-ax>aR2為外接球半徑.不妨設正四面體邊長1,知,棱切球的直徑即為正四面體對棱之

此方程等價于2x=x-a2 2,R12R

.又外接球的半徑為R24

6,4

Δ0aΔ>0,a>-

2時,x=21,方程有兩個實根x2,1=3 a+1±2a+13.-sin=5,5

x=a12a+,x2a+

>a滿足條件2a1≤aacosα=1-2sin2=3 而a=0時,點PQ重合 25525又f(x)是以2為周期的奇函數(shù),且f

綜上,a的取值范圍為-2

25+1)25+1)f(4cos2)=f12=

25=-f =-25

x+ x= =

≥2z51 (

同理 z x x 2x- 當且僅x=y=z,以上三式等號成立由a-2b+c=0,知直線ax+by+c=0過定 P(1,-2).又點P在橢圓2+8=1上,所以,P yz+zx+xy≥x+y+z所截線段的一個端點.設另一端點為Q(x1,y1), (2)因為xyz均為正數(shù),且x+y+z≥xyz,PQ的中點Mx0y0),x1+

1+

+1x0 x1=2x0-1即

由(1的結論y=y1-2 y1=2y0+ u=x+y+z≥1+1+ 11+1+1+21+1+ 31+1+ ≥3≥當且僅x=y=z,

+1+

1,x

DHE三點共線29DEEHAI共圓.于是,有∠AEH=∠AIB.1y=z=3,以上等號成立

∠AIB=90°+2故umin=3 從而,∠AEH=90°+12三、(1sin(α+)3sinβ,sin[α+)+]=3sin[α+)-]α+)os).α+).,tan+tanβ2tan,x+y2x

CD=CE,∠DEC=180°-∠C=90°-1 ∠AEH+∠DECDHE三點共線-tanαtan解得y

-

五、(11F的坐標為2

p

,設過點12 的直線方程x=my+py4px,y2-4pmy-4p2= 2故f(x) 21+2( (

A(x1

)B(x2,y2),

y1y2是方因為 =2af = n,n1n+ 1+2 n1

+

=4pm,y1

=-4p21=1+1 2 AF=FB,得=-yn+

-2

1-2 EAλEB(121

+p,y1)-λ(

+p,y2a2an+1-

a212

=(

-λx2+p(1-λ),

-λy2)

的等比數(shù)列 又EF=(2p,0),

=1,

2,12a 12

4p 4a,1-2a2

n-.

EF·(EA-λEB)=2p[

-λx2+p(1-λ)n因此an

2n-2n-1+1

=21

11 ·2+p114 y24 2p2(y1+y2 y2 yy

2 21 y1y2+4 =(y1+y2)·2 =BDI=∠AHB=△IBD∽故BD=IB, 圖 BD=HB HBD∠ABI,△HBD故∠BHD= 共圓.于是,有∠EHK= =∠BHD=

EF⊥(EA-λEB)影分別為A′B,則|AF|=|AA||BF|=|BB|AF=λFB,得AA=BB.+AAEB+BEA-EB.E-EB)-EB)

2006年高中數(shù)賽浙江省預選擇題(每小題6分,共36分 則f2006(2006)= )下列三數(shù)3,log1682,log27124的大 4.xOy,0<y≤x2,0≤x關系,正確的是 ) 23

<

82<

M={(x,y)||y|-|x|≤1}2<log27124<log16 N={(x,y)||y|≥x2+log124<3<log 的交集M∩N所表示的圖形面積為 )

82<2

(A) (B) (D)2006與所有邊均不平2A(1,2)B(3,1l2

行的對角線的條數(shù)為 )2共有( )條.2

、5-

(A)2 (B)1(C)10032-1 (D)10032-1 f(n)為正整數(shù)n