2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)第8節(jié) 函數(shù)的圖象 教案

第八節(jié)函數(shù)的圖象[最新考綱]1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，并運(yùn)用函數(shù)的圖象解簡(jiǎn)單的方程(不等式)問題．1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；(4)描點(diǎn)連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up14(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up14(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；③y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up14(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up14(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱))y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象．(3)伸縮變換①y＝f(x)的圖象＝f(ax)的圖象；②y＝f(x)的圖象＝af(x)的圖象．(4)翻轉(zhuǎn)變換①y＝f(x)的圖象y＝|f(x)|的圖象；②y＝f(x)的圖象y＝f(|x|)的圖象．eq\O([常用結(jié)論])1．關(guān)于對(duì)稱的三個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱．(3)若函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．2．函數(shù)圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量．(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到． ()(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． ()(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝f(|x|)的圖象與y＝|f(x)|的圖象相同． ()(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于()A．y軸對(duì)稱B．直線y＝－x對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．直線y＝x對(duì)稱C[∵f(x)＝eq\f(1,x)－x是奇函數(shù)，∴圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．]2．函數(shù)y＝21－x的大致圖象為()ABCDA[y＝21－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(x-1)，因?yàn)?＜eq\f(1,2)＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(x-1)為減函數(shù)，取x＝0，則y＝2，故選A.]3．李明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．則與以上事件吻合最好的圖象是()ABCDC[距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于李明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，后段比前段下降得快．]4．如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．(－1,1][在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的圖象(如圖)．由圖象知不等式的解集是(－1,1]．]考點(diǎn)1作函數(shù)的圖象函數(shù)圖象的常用畫法(1)直接法：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而直接作出圖象．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作出．作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.[解](1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(x)的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(x)圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(x)的圖象中x＞0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖1實(shí)線部分．圖1圖2(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖2.(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖3.圖3圖4(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，得圖象如圖4.(1)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域．(2)利用圖象變換法時(shí)要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．考點(diǎn)2函數(shù)圖象的辨識(shí)辨析函數(shù)圖象的入手點(diǎn)(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．(1)(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的圖象大致為()ABCD(2)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為()ABCD(1)D(2)B[(1)∵f(－x)＝eq\f(sin－x－x,cos－x＋－x2)＝－eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．又∵f(π)＝eq\f(sinπ＋π,cosπ＋π2)＝eq\f(π,－1＋π2)＞0，∴選D.(2)當(dāng)x＝0時(shí)，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當(dāng)x＝1時(shí)，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各選項(xiàng)可知，應(yīng)選B.通過圖象變換識(shí)別函數(shù)圖象要掌握的兩點(diǎn)(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象)；(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換．1.函數(shù)y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的圖象大致為()ABCDB[設(shè)f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)(x∈[－6,6])，則f(－x)＝eq\f(2－x3,2－x＋2x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C；當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1)＝－eq\f(4,5)＜0，排除選項(xiàng)D；當(dāng)x＝4時(shí)，f(4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))≈7.97，排除選項(xiàng)A.故選B.]2．如圖，不規(guī)則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB交AB于E，當(dāng)l從左至右移動(dòng)(與線段AB有公共點(diǎn))時(shí)，把四邊形ABCD分成兩部分，設(shè)AE＝x，左側(cè)部分的面積為y，則y關(guān)于x的圖象大致是()ABCDC[當(dāng)l從左至右移動(dòng)時(shí)，一開始面積的增加速度越來越快，過了D點(diǎn)后面積保持勻速增加，圖象呈直線變化，過了C點(diǎn)后面積的增加速度又逐漸減慢．故選C.]考點(diǎn)3函數(shù)圖象的應(yīng)用利用函數(shù)圖象的直觀性求解相關(guān)問題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)解析式的特征和圖象的直觀性確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，特別是函數(shù)圖象的對(duì)稱性等，然后解決相關(guān)問題．研究函數(shù)的性質(zhì)(1)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)(2)對(duì)a，b∈R，記max{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a＜b，))函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．(1)C(2)eq\f(3,2)[(1)將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減．(2)函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的圖象如圖所示，由圖象可得，其最小值為eq\f(3,2).]利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對(duì)應(yīng)關(guān)系．如：圖象的左右范圍對(duì)應(yīng)定義域，上下范圍對(duì)應(yīng)值域，上升、下降趨勢(shì)對(duì)應(yīng)單調(diào)性，對(duì)稱性對(duì)應(yīng)奇偶性．解不等式設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)D[因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0可化為eq\f(fx,x)＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致圖象如圖所示．所以xf(x)＜0的解集為(－1,0)∪(0,1)．]當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．求參數(shù)的取值范圍(1)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1)(0,1](2)[－1，＋∞)[(1)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，由圖可知k∈(0,1]．(2)如圖作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．]當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí)，可將函數(shù)(或方程)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù)，再根據(jù)題設(shè)條件和圖象的變化確定參數(shù)的取值范圍．1.(2019·貴陽市監(jiān)測(cè)考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱B．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱A[因?yàn)閥＝eq\f(2x,x－1)＝eq\f(2x－1＋2,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋2，所以該函數(shù)圖象可以由y＝eq\f(2,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，向上平移2個(gè)單位長度得到，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱，A正確，D錯(cuò)誤；易知函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；易知函數(shù)f(x)的圖象是由y＝eq\f(2,x)的圖象平移得到的，所以不存在兩點(diǎn)A，B使得直線AB∥x軸，C錯(cuò)誤．故選A.]2.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．(－1,0)∪(1，eq\r(2)][由圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)＞－x.在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖象，由圖象可知不等式的解集為(