高考數(shù)學(xué) 藝考生沖刺 第七章 概率與統(tǒng)計 第21講 排列組合、二項式定理（理）課件

第21講

排列組合、二項式定理(理)1.加法原理與乘法原理(1)分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.(2)分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.(3)分類加法和分步乘法計數(shù)原理,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.2.排列與組合(1)排列與組合的概念(2)排列數(shù)與組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).(3)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

3.二項式定理(1)二項式定理(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)

(3)各二項式系數(shù)和

題型一

加法與乘法原理【例1】

(1)從甲地到乙地每天有直達(dá)汽車4班,從甲到丙地,每天有5個班車,從丙地到乙地每天有3個班車,則從甲地到乙地不同的乘車方法有(

)A.12種

B.19種C.32種

D.60種(2)如圖,用6種不同的顏色分別給圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有(

)A.400種 B.460種C.480種 D.496種【解析】

(1)分兩類:一類是直接從甲到乙,有n1=4種方法;另一類是從甲經(jīng)丙再到乙,可分為兩步,有n2=5×3=15種方法.由分類計數(shù)原理可得:從甲到乙的不同乘車方法n=n1+n2=4+15=19.故選B.(2)完成此事可能使用4種顏色,也可能使用3種顏色.當(dāng)使用4種顏色時:從A開始,有6種方法,B有5種,C有4種,D有3種,完成此事共有6×5×4×3=360種方法;當(dāng)使用3種顏色時,A,D使用同一種顏色,從A,D開始,有6種方法,B有5種,C有4種,完成此事共有6×5×4=120種方法.由分類加法計數(shù)原理可知:不同的涂法有360+120=480(種).【答案】(1)B

(2)C【規(guī)律方法】(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時,一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理;注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題,可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格,使問題形象化、直觀化.(2)解決涂色問題,可按顏色的種數(shù)分類,也可按不同的區(qū)域分步完成.第(2)題中,相鄰區(qū)域不同色,是按區(qū)域1與3是否同色分類處理.變式訓(xùn)練一1.(2015·四川卷)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A.144個 B.120個

C.96個 D.72個2.如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2,且a2>a3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等),那么所有凸數(shù)的個數(shù)為(

)A.240 B.204

C.729

D.920B【解析】

若a2=2,則百位數(shù)字只能選1,個位數(shù)字可選1或0.“凸數(shù)”為120與121,共2個.若a2=3,則“凸數(shù)”有2×3=6(個).若a2=4,滿足條件的“凸數(shù)”有3×4=12(個),…,若a2=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8×9=72(個).∴所有凸數(shù)有2+6+12+20+30+42+56+72=240(個).A題型二

排列與組合【例2—1】

3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起,有多少種不同排法?(2)如果女生都不相鄰,有多少種排法?(3)如果女生不站兩端,有多少種排法?(4)其中甲必須排在乙前面(可不相鄰),有多少種排法?(5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少種排法?【解析】

(1)(捆綁法)由于女生排在一起,可把她們看成一個整體,這樣同五個男生合在(5)甲、乙為特殊元素,左、右兩邊為特殊位置.

【例2—2】

某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?100+455=2

555(種).∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2

555種.∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6

090種.【例2—3】

4個不同的球,4個不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球,共有幾種放法?(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球,共有幾種放法?(3)恰有2個盒不放球,共有幾種放法?【解析】

(1)為保證“恰有1個盒不放球”,先從4個盒子中任意取出去一個,問題轉(zhuǎn)化為“4個球,3個盒子,每個盒子都要放入球,共有幾種放法?”即把4個球分成2,1,1的三組,然后再從3個盒子中選1個放2個球,其余2個球放在另外2個盒子內(nèi),由分步乘法計數(shù)原理,共(2)“恰有1個盒內(nèi)有2個球”,即另外3個盒子放2個球,每個盒子至多放1個球,也即另外3個盒子中恰有一個空盒,因此,“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事,所以共有144種放法.【規(guī)律方法】(1)求解有限制條件排列問題的主要方法(2)解決有限制條件排列問題的策略①根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進(jìn)行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.②根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰來占進(jìn)行分類.(3)含有附加條件的組合問題的解法①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;若“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.②“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,用間接法求解.(4)解排列、組合問題要遵循的兩個原則①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列、組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).變式訓(xùn)練二1.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

)A.144 B.120

C.72 D.242.旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請,決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進(jìn)行體驗式旅游,若不能最先去甲景區(qū)旅游,不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游,則小李可選的旅游路線數(shù)為(

)A.24 B.18

C.16 D.10D【解析】

先把3把椅子隔開擺好,它們之間和兩端共有4個位置,再把3人帶椅子插放在4個位置,D3.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位員工中的甲不值9日,乙不值11日,則不同的安排方法共有(

)A.30種

B.36種 C.42種

D.48種C所以總共有24+12+6=42(種)安排方法.

題型三

二項式

(1)求n;(2)求含x2的項的系數(shù);(3)求展開式中所有的有理項.【例3—2】

在(2x-3y)10的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)的和;(2)各項系數(shù)的和;(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和;(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和.【解析】

設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)各項系數(shù)和為a0+a1+…+a10,奇數(shù)項系數(shù)和為a0+a2+…+a10,偶數(shù)項系數(shù)和為a1+a3+a5+…+a9,x的奇次項系數(shù)和為a1+a3+a5+…+a9,x的偶次項系數(shù)和為a0+a2+a4+…+a10.由于(*)是恒等式,故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,【規(guī)律方法】(1)與二項展開式有關(guān)問題的解題策略①求展開式中的第n項,可依據(jù)二項式的通項直接求出第n項.②求展開式中的特定項,可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.③已知展開式的某項,求特定項的系數(shù),可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).(2)賦值法的應(yīng)用①形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可.②對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.③若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和變式訓(xùn)練三

A.-3 B.-2C.2 D.3D【解析】

能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項,由多項式乘法的定義可知需滿足:第一個因式

-1203.(2019·汕頭質(zhì)檢)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,則實數(shù)m的值為

.

1或-3

【解析】

令x=0,則(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,令x=-2,則m9=a0-a1+a2-a3+…-a9,又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9)=39,∴(2+m)9·m9=39,∴m(2+m)=3,∴m=-3或m=1.式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=(

)A.5 B.6 C.7 D.8B1.若a∈{1,2,3,5},b∈{1,2,3,5},則方程y=x表示的不同直線條數(shù)為(

)A.11 B.12 C.13 D.14A.-20 B.-5 C.5

D.20CA3.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號,則不同的放球方法有(

)A.10種

B.20種C.36種

D.52種A【解析】

1號盒子可以放1個或2個球,2號盒子可以放2個或3個球,

(

)A.84 B.-252 C.252 D.-84A5.由1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字且2與5不相鄰的四位數(shù)(含2和5)的個數(shù)是(

)A.120 B.36

C.60 D.486.旅游體驗師小李受某旅游網(wǎng)站的邀約,決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進(jìn)行體驗式旅游,若甲景區(qū)不能最先旅游,乙景區(qū)和丁景區(qū)不能最后旅游,則小李旅游的方法數(shù)為(

)A.24 B.18 C.16 D.10BD7.(2017·合肥質(zhì)檢)已知(ax+b)6的展開式中x4項的系數(shù)與x5項的系數(shù)分別為135與-18,則(ax+b)6的展開式中所有項系數(shù)之和為(

)A.-1 B.1 C.32 D.64D解得a+b=±2,故(ax+b)6的展開式中所有項的系數(shù)之和為(a+b)6=64,選D.8.將標(biāo)號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友,每位小朋友至少分到一個籃球,且標(biāo)號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友,則不同的分法種數(shù)為(

)A.15 B.20 C.30 D.42C9.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為

.

24

【解析】

先排三個空椅子,形成4個間隔,然后插入3個坐人的椅子,

10.(2017·南昌模擬)在多項式(1+2x)6(1+y)5的展開式中