高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題課》復(fù)習(xí)課件

習(xí)題課導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用南方繞彎(1)將日利潤y(元)表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)求該種飲品的最大日利潤.南方繞彎解

(1)由題意，知每生產(chǎn)1千瓶正品盈利4000元，每生產(chǎn)1千瓶次品虧損2000元，令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).當(dāng)1≤x<30時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)30<x≤40時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在[1，30)上單調(diào)遞增，在(30，40]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝30時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，所以該種飲品的最大日利潤為72000元.南方繞彎規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)函數(shù)建模：細(xì)致分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x).(2)確定定義域：一定要從問題的實(shí)際意義去考慮，舍去沒有實(shí)際意義的自變量的范圍.(3)求最值：盡量使用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值.(4)下結(jié)論：根據(jù)問題的實(shí)際意義給出圓滿的答案.南方繞彎【訓(xùn)練1】如圖，要設(shè)計(jì)一面矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩個(gè)欄目的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄目之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌的面積最?。科渲衳>20，y>25.南方繞彎南方繞彎令S′(x)>0，得x>140；令S′(x)<0，得20<x<140.∴函數(shù)S(x)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20，140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140).當(dāng)x＝140時(shí)，y＝175，故當(dāng)廣告牌的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使廣告牌的面積最小，最小面積為24500cm2.題型二與最值有關(guān)的恒成立問題【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0). (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0，2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去).當(dāng)t變化時(shí)g′(t)、g(t)的變化情況如下表：南方繞彎南方繞彎t(0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)單調(diào)遞增1－m單調(diào)遞減∴對t∈(0，2)，當(dāng)t＝1時(shí)，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m對t∈(0，2)恒成立，也就是g(t)<0對t∈(0，2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞).規(guī)律方法(1)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可.(2)此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“＝”.南方繞彎【訓(xùn)練2】設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若對任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍； (2)若對任意的x∈(0，3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍.解

(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2，3)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0，3]時(shí)，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.∵對任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞).南方繞彎南方繞彎①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②若a>0，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a).南方繞彎令F(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)，南方繞彎規(guī)律方法(1)證明f(x)>g(x)的一般方法是證明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用單調(diào)性)，特殊情況是證明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性.(2)證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式兩個(gè)變元成為一個(gè)整體，另一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式f(x1)＋g(x1)<f(x2)＋g(x2)對x1<x2恒成立，即等價(jià)于函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)為增函數(shù).(1)解依題意，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).∴當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.南方繞彎(2)證明由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，且最大值f(1)＝0.所以當(dāng)x≠1時(shí)，lnx<x－1.南方繞彎f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值南方繞彎所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).①當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減.又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)a<1時(shí)，1－a>0，e1－a>1，綜上，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a<1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，e]上無零點(diǎn).南方繞彎規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的方法是借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值(最值)，通過極值或最值的正負(fù)、函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.南方繞彎(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴當(dāng)x<－2或x>2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<2時(shí)，f′(x)<0.一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，通過學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題及函數(shù)零點(diǎn)問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解應(yīng)用題的主要方法.另外需要特別注意： (1)合理選擇變量，正確給出函數(shù)表達(dá)式； (2)與實(shí)際問題相聯(lián)系； (3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.3.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題與利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問的一般方法都是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題.南方繞彎南方繞彎二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)底面邊長為(

)答案C2.已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意的正數(shù)a，b，若a<b，則必有(

) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)

解析設(shè)g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，

則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0， ∴g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減或g(x)為常函數(shù). ∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故選A.

答案

AA.13萬件

B.11萬件C.9萬件

D.7萬件解析因?yàn)閥′＝－x2＋81，所以當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0；當(dāng)x∈(0，9)時(shí)，y′＞0.又因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值.答案C南方繞彎4.直線y＝a與函數(shù)y＝x3－3x的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，則a的取值范圍是________.解析

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)極小值＝f(1)＝－2，f(x)極大值＝f(－1)＝2.函數(shù)y＝x3－3x的大致圖象如圖所示，所以－2<a<2.答案(－2，2)南方繞彎(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間①；(2)?x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立②，求a的取值范圍.南方繞彎聯(lián)想解題看到①想到解不等式f′(x)>0求f(x)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′(x)<0求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，但需注意討論不等式中參數(shù)a的符號；看到②想到通過分離參數(shù)a構(gòu)造新函數(shù)，把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，需注意的是條件為