高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用第二課時(shí)》復(fù)習(xí)課件

第二課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解題.2.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.通過(guò)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究一位中國(guó)老太太與一位美國(guó)老太太在路上相遇.美國(guó)老太太說(shuō)，她住了一輩子的寬敞房子，也辛苦了一輩子，昨天剛還清了銀行的住房貸款，而中國(guó)老太太卻嘆息地說(shuō)，她三代同堂一輩子，昨天剛把買(mǎi)房的錢(qián)攢足.我國(guó)現(xiàn)代都市人的消費(fèi)觀念正在改變——花明天的錢(qián)圓今天的夢(mèng)對(duì)我們已不再陌生，貸款購(gòu)物，分期付款已深入我們的生活.但是面對(duì)商家和銀行提供的各種分期付款服務(wù)，究竟選擇什么樣的方式好呢？讓我們一起進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)吧！南方繞彎南方繞彎拓展深化[微判斷]1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn不可能等于2n.()2.若{an}的公比為q，則{a2n}的公比為q2.(

)3.若{an}的公比為q，則a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也為q.(

)4.等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則{Sn}也是遞增數(shù)列.()√√√×5.對(duì)于公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).()√南方繞彎[微訓(xùn)練]1.等比數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為4，前2m項(xiàng)和為12，則它的前3m項(xiàng)和是________.

解析易知Sm＝4，S2m－Sm＝8， ∴S3m－S2m＝16， ∴S3m＝12＋16＝28.

答案282.已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________.答案2南方繞彎[微思考]當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的公比q＝－1時(shí)，若k是偶數(shù)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是等比數(shù)列嗎？

提示不是.如數(shù)列1，－1，1，－1，…是公比為－1的等比數(shù)列，S2＝S4－S2＝S6－S4＝…＝0，不是等比數(shù)列.2題型一等比數(shù)列的連續(xù)n項(xiàng)之和的性質(zhì)【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，南方繞彎法二∵{an}為等比數(shù)列，顯然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，規(guī)律方法處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).南方繞彎【訓(xùn)練1】設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝(

) A.32 B.64 C.72 D.216

解析由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比為2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.

答案

B題型二等比數(shù)列的不連續(xù)n項(xiàng)和的性質(zhì)【例2】一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，全部項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.南方繞彎規(guī)律方法(1)在等比數(shù)列{an}中若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇.(2)解題時(shí)要注意觀察序號(hào)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)，注意應(yīng)用整體的思想.【訓(xùn)練2】一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解法一設(shè)原等比數(shù)列的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*).由已知a1＝1，q≠1，有故公比為2，項(xiàng)數(shù)為8.南方繞彎∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，項(xiàng)數(shù)n＝8.題型三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用【例3】小華準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一部售價(jià)為5000元的手機(jī)，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商家提出的付款方式為：購(gòu)買(mǎi)2個(gè)月后第1次付款，再過(guò)2個(gè)月后第2次付款，…，購(gòu)買(mǎi)12個(gè)月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算，求小華每期付款金額是多少.(參考數(shù)據(jù)：1.00812≈1.10)南方繞彎解法一設(shè)小華每期付款x元，第k個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak元，則：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，故小華每期付款金額約為883.5元.法二設(shè)小華每期付款x元，到第k個(gè)月時(shí)已付款及利息為Ak元，則：A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，南方繞彎規(guī)律方法(1)實(shí)際生活中的增長(zhǎng)率問(wèn)題，分期付款問(wèn)題等都是等比數(shù)列問(wèn)題；(2)解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是由實(shí)際情況抽象出數(shù)列模型，利用數(shù)列知識(shí)求解.【訓(xùn)練3】一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘內(nèi)，它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎？即這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過(guò)125m.一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，通過(guò)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)要注意使用整體的思想，即常把qn、Sn等看作一個(gè)整體.3.解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.南方繞彎二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.已知等比數(shù)列{an}的公比為2，且其前5項(xiàng)和為1，那么{an}的前10項(xiàng)和等于(

) A.31 B.33 C.35 D.37

解析設(shè){an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，則a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.

答案

B答案B南方繞彎3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地……”，則該人最后一天走的路程為(

) A.24里

B.12里 C.6里

D.3里答案C南方繞彎4.設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，則數(shù)列{an}的公比為_(kāi)_______.

解析易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，

故q3＝27，則q＝