AR模型譜估計算法分析

AR譜估計算法分析緒論模擬方法有三種:外部模型法、廣義維納過程的零記憶非線性變換法(ZMNL)不變隨機(jī)過程法（SIRP)。使用這三種方法的前提都是要先產(chǎn)生具有指定功率譜特性的相關(guān)高斯隨機(jī)過程。相對于雜波的空間相關(guān)性,雜波在時間上的相關(guān)性由其功率譜特性來描述。地面雷達(dá)環(huán)境雜波的功率譜主要用高斯譜或n次方譜來描述,分析這兩種分布特性不難發(fā)現(xiàn),雜波功率大部分集中在半功率點或特征頻率范圍內(nèi),具有一定程度的極值函數(shù)特征,因此,可以用有限階自回歸(AR)過程模擬近似。也就是說,可以將雜波看成是一個具有指定功率譜特性的自回歸隨機(jī)過程。這樣,相關(guān)高斯雜波的模擬問題就轉(zhuǎn)換為對給定功率譜求解其AR模型的參數(shù)和階數(shù)問題。AR模型定階準(zhǔn)則可以分為兩類:線性代數(shù)法和信息量準(zhǔn)則法。線性代數(shù)法需要計算矩陣的秩,計算量大,不易于工程實時實現(xiàn)。文獻(xiàn)[1]給出了一種修正LEVISONARAR需要事先選擇一個取值理想的收斂因子,這給實際工作帶來了不確定性。信息量AR能指標(biāo)達(dá)到最小的階數(shù),依此作為定階原則來確定AR階數(shù)。它的優(yōu)點是計算量小,易于實現(xiàn),不需要選擇不確定性因素,而且這種基于信息量準(zhǔn)則的方法具有明確的物理意義。Levlnsion-DurbinAR：AIC、FPE、CATMDL，AR型參數(shù)、估計功率譜并利用進(jìn)行了實例計算和分析。一、功率譜估計現(xiàn)狀(簡稱譜)估計就是信號處理的一個(或經(jīng)典)譜估計方法，傳FFT的出現(xiàn)，直接法和間接同，因此譜估計方法成為一種在噪聲背景下提取有用信號(正弦信號)的有效方的方法主要有模型法、熵譜法、最大似然法和特征分解法等四大類。二、算法簡介——Levinsion-Durbin遞推算法（如高斯消元法Yule-WalkerP3，但若利用系數(shù)矩陣的對稱性和Toeplitz些高效算法，Levinsion-Durbin算法是其中最著名、應(yīng)用最廣泛的一種，這種P2AR0AR模型參數(shù)作為初始條件，計算AR2模型參數(shù)；然后根據(jù)這些參數(shù)計算AR3AR4AR,的參數(shù)，直到計算ARpARKYule-WalkerR0 RRR

R 1 2R1 a k R R

R

k,1 0 0a 0k,k的參數(shù)a ,a , ,a ,2，現(xiàn)求解k+1階Yule-Walker方程，為此將kk,1 k,2 k,k kR

R

R R1 1 2R

R

R

R

ka 0k,1 R

R1

R

Ra 0R

k,k1 R

R

R0 0 Dk擴(kuò)大方程中的Dk

Dk

ki0

ak

R1i

1k,0利用系數(shù)矩陣的特點，將擴(kuò)大方程的行倒序，同時列也進(jìn)行倒序，得到“預(yù)R0 R

R R1 0 DRR

R

R

ka 0k,k R R1 R0 Ra 0

k,1Rk1

Rk R

R0 1 2k將待求解的k+1階Yule-Walker方程的解表示成擴(kuò)大方程的解和預(yù)備方程的解的線性組合形式：1 1 0a a ak1,1

k,1

k,k

k1ak1,kak1,k

ak,k0

ak,11或者 akak,ik,k,i,kk+1到：2 2 Dkk k0 0

0k10 D 2k k

k

k；D2D2k1

k2k

D kk

1

2kk由擴(kuò)大方程的第一個方程可以求出：2k

R0i1

ak

Ri把以上各式子的模型參數(shù)代入到公式中，即可計算出功率譜估計值： 2S ejw p xx 2p1i1

ap,i

ejwi若在wN 2 2S ejNk p e2xx e2

1i1

ap,i

j2NNpN1ip時，應(yīng)取三、AR模型的定階準(zhǔn)則

p,i

0。ARAR生較大偏差,太高則會導(dǎo)致虛假譜峰,并造成譜估計方差性能的下降。雖然Levinsion-Durbin遞推關(guān)系式給出了階次逐次提高的AR模型參數(shù)估計方法,[1]Levinson-Durbina1,進(jìn)行遞推運算,當(dāng)mm1a時,m。該方法實際上是判斷預(yù)測誤差方差隨階數(shù)增大而收斂的程度,含義的信息量準(zhǔn)則法:赤池信息量準(zhǔn)則(AIC)、最終預(yù)測誤差（FPE傳遞函數(shù)(CAT)準(zhǔn)則、最小描述長度(MDL)準(zhǔn)則。赤池信息量準(zhǔn)則（Akaike'sInformationAIC）息論特別是在解決時間序列定階問題中提出來的。AIC準(zhǔn)則是選擇階數(shù)以使性能指標(biāo)mNln 2m達(dá)到最小m mmARAICAR模型估計的概率密度函數(shù)和數(shù)據(jù)真實的概率密度函數(shù)之間的Kullback-Leibler距離的估計值。FPEFPEm

Nm1達(dá)到最小。mNm1 N時，AICFPECATm，CATm

1 11N 1

達(dá)到最小，式中i

NNii

CATi

im最佳無限長CATAR而且是對任意過程數(shù)據(jù)的AR譜進(jìn)行估計。MDL準(zhǔn)則的使性能指標(biāo)為MDLmNlnm

mlnNMDLKullback-Leibler的物理意義。嚴(yán)格按照性能指標(biāo)所確定的AR模型階數(shù)m往往偏低,尤其是對于n次方譜,而取2-3倍的m則可以達(dá)到較好的結(jié)果。四、AR模型譜估計功率譜的Matlab實現(xiàn)ARMAARMAARARMA、ARMAARARxn是一個均方誤差為2wn--線性時不變系wHz（AR）所得到，則分析信號的功率譜估計為：1Pw

2Hz2

Hz xx w

zejw

1pk1

azkk其中為輸入序列的方差

，a,a,

為待估參數(shù)。由此可見AR模型法w 1 2, p估計功率譜使之是求解模型參數(shù)a1

,a2,

2w

的問題。本文采用Levinsion-Durbin遞推算法求解模型參數(shù)，使之得到功率譜估計值。實例分析：以正弦信號加白噪聲為分析信號，用Levinsion-Durbin遞推算圖（1）基于AIC準(zhǔn)則的功率譜估計圖（2）基于FPE準(zhǔn)則的功率譜估計圖（3）基于準(zhǔn)則的功率譜估計圖（4）基于準(zhǔn)則的功率譜估計法求出模型參數(shù)，進(jìn)而估計出其功率譜。分析信號：Xcos2*pi*f1

*nsinpi*f2

*nen，其中f100Hz,f1

200Hz;依次采用AIC,FPE,CAT,MDL四種信息量準(zhǔn)則得到信號的估計功率譜如上圖1、圖（2、圖（3、圖（4）所示。五、結(jié)束語Levinsion-DurbinAICFPECATMDL從仿真結(jié)果中可以看出，由于噪聲的干擾，信號的波動很頻繁，峰值很多，從功率譜估計可以看出其很少收到噪聲的干擾，因為噪聲的功率譜時一常數(shù)；功率譜譜峰很明顯，同時功率譜估計也沒用出現(xiàn)虛假譜峰、譜線分裂等現(xiàn)象。參考文獻(xiàn)：[J]學(xué)報