高等數(shù)學(xué)課件：第8章第12節(jié)

第八章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的概念1.平面點(diǎn)集：2.鄰域：為一個(gè)平面點(diǎn)集，它是一個(gè)圓的內(nèi)部.一、平面區(qū)域的有關(guān)概念、

n維空間平面點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有平面點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E的外點(diǎn),則稱點(diǎn)P為E

的內(nèi)點(diǎn).則稱點(diǎn)P為E

的外點(diǎn)則稱點(diǎn)P為E

的邊界點(diǎn).顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,

E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作E.3.區(qū)域若對點(diǎn)P

的任意去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),

則稱點(diǎn)P

是E

的聚點(diǎn).(1)內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；幾點(diǎn)說明：(2)邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn);(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于點(diǎn)集．而邊界上的點(diǎn)是聚點(diǎn)且屬于點(diǎn)集．(3)點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．(2)聚點(diǎn)E若平面點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集.若平面點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集.

若點(diǎn)集E

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于E的折線相連,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱E

是連通的.連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域.。。(3)開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域例如，在平面上對于平面點(diǎn)集E

如果存在某一正數(shù)r

使得EU(O

r)

其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)則稱平面點(diǎn)集E為有界點(diǎn)集

否則稱為無界點(diǎn)集

點(diǎn)集{(x

y)|xy0}是無界閉區(qū)域

點(diǎn)集{(x

y)|xy0}是無界開區(qū)域

點(diǎn)集{(x

y)|1x2y24}是有界閉區(qū)域

(4)有界集與無界集例如n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的一稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).個(gè)點(diǎn),

4.n

維空間n維空間中兩點(diǎn)間距離公式注：

n維空間中鄰域、區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)等概念類似平面上的定義.

特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．例鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式二、多元函數(shù)的概念1.二元函數(shù)的定義注:(1)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．其中，x、y稱為自變量，z稱為因變量。點(diǎn)集D稱為函數(shù)的定義域。函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)集Z稱為函數(shù)z=f(x,y)的值域當(dāng)x=a及y=b時(shí)，函數(shù)z的對應(yīng)值記為或或所求定義域?yàn)?.二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第八章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用第二節(jié)二元函數(shù)的極限與連續(xù)一、二元函數(shù)的極限2.有關(guān)極限的幾點(diǎn)說明：(3)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．

3.幾何意義：在點(diǎn)P0(x0,y0)的去心鄰域內(nèi)的曲面z=f(x,y)介于兩平面與之間。例2、求極限

例3、證明不存在．

其值隨k的不同而變化，注：確定極限不存在的方法例4、證明不存在．