三角形角平分線性質(zhì)與判定例習(xí)題教學(xué)案例

變出精彩激活思維一一三角形角平分線性質(zhì)與判定例習(xí)題教學(xué)案例湖北省襄陽市襄城區(qū)第二十五中學(xué)陳玲在減負(fù)背景下，講究課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)高效性是師生共同的追求目標(biāo)?在減負(fù)教育新政的課改形勢下，提高課堂教學(xué)質(zhì)量的主陣地勢必落到課堂上來，課堂要高效，教師就要認(rèn)真?zhèn)湔n，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況，設(shè)計(jì)出能最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的例習(xí)題。例習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，提高例題教學(xué)的有效性是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵?通過例題教學(xué)，幫助學(xué)生理解知識(shí)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，形成技能，提煉思想,培養(yǎng)能力，努力促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思維、情感與態(tài)度等方面充分發(fā)展以下筆者將學(xué)生在學(xué)完三角形角平分線性質(zhì)與判定后所講的一節(jié)習(xí)題課案例呈現(xiàn)如下:一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能熟練掌握角的平分線的性質(zhì)與判定定理；會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明與計(jì)算（二）過程與方法在應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)與判定定理的過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀在應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)與角的平分線的判定定理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣、合作交流的意識(shí)、動(dòng)手操作的能力與探索精神,增強(qiáng)解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗(yàn).二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)歸納s比較歸納s比較角的平分線的性匿角的平分踐的到定三、教法學(xué)法自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)方式.四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)、回顧1角平分線的性質(zhì)定理：角平分線ODAQ/JA己卻OP半分PD_LOAfDPE-LOB^rePD=PEP-D_LOA-TDPE-LOB^ft尸D■尸EOP半分NAOB上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角平分線的性質(zhì)定理幾何語言：???OC平分ZBOA,PD丄0A，PE丄0B???PB=PD2角平分線的判定定理：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上角平分線的判定定理幾何語言：VPD丄0A，PE丄0B且PB=PD.??0C平分ZBOA

￡母題：新人教版八上教材P的例題￡如圖，△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點(diǎn)P作PD丄AB于D,PE丄BC于E,PF丄AC于F???BM是AABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上,???PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）同理,PE=PF.???PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等變式1如圖所示，已知AABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,那么AP能否平分ZBAC?請說明理由.由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論？分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點(diǎn)P到三邊的垂線段.解：AP平分/BAC.結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.理由：過點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線，垂足分別是E、F、D.?BM是ZABC的角平分線且點(diǎn)P在BM上，???PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.同理PF=PE，?PD=PF.:.AP平分ZBAC（到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.E變式2將變式1中的兩內(nèi)角平分線變成兩外角平分線E如圖，已知△ABC的外角ZCBD和ZBCE的平分線相交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在ZDAE的平分線上.證明：過點(diǎn)F作FG丄AE于G,FH丄AD于H,FM丄BC于MFG丄AE，F(xiàn)M丄EC???點(diǎn)FG丄AE，F(xiàn)M丄EC.??FG=FMFH丄AD，F(xiàn)M丄EC又??點(diǎn)FH丄AD，F(xiàn)M丄EC.??FM=FH.\FG=FHA點(diǎn)F在ZDAE的平分線上在學(xué)生由相應(yīng)的思想方法即“作垂線、證相等”的通法解決以上題目后，緊接著出示有關(guān)角平分線的夾角問題：1命題如圖1,點(diǎn)D是厶ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則ZBDC=90°+ZA.證明：如圖1：?2Z1=ZABC,2Z2=ZACB,.??2Z1+2Z2+ZA=18O°①Z1+Z2+ZBDC=180。②①—②得：Z1+Z2+ZA=ZBDC③由②得：Z1+Z2=180°—ZBDC④把③代入④得：.??180°—ZBDC+ZA=ZBDC11ZBDC=90°+戈ZA.點(diǎn)評利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°，不難證明.以下變式在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上以小組合作互學(xué)的方式達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。然后用多媒體進(jìn)行展示：[變式1:如圖2,點(diǎn)D是厶ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則ZD=90°—ZA.證明：如圖2：曲.??ZD=180°—Z1—Z2]=180曲.??ZD=180°—Z1—Z2]=180°—龍(ZDBE+ZDCF)]=180°—2(ZA+Z4+ZA+Z3)]=180°—2(ZA+180°)]=180°—2ZA—90°=90°—2ZA；點(diǎn)評利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180°，可以證明.變式2:如圖3,點(diǎn)E是厶ABC一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的交點(diǎn),則ZE=2ZA.證明：如圖3：?.?Z1=Z2,Z3=Z4,ZA+2Z1=2Z4①Z1+ZE=Z4②①X2代入②得：ZE=^ZA.若若ZBPC=40°，則ZCAP=點(diǎn)評利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明變式3如圖4,點(diǎn)E是厶ABC一個(gè)內(nèi)角平分線BE與一個(gè)外角平分線CE的交點(diǎn)，證明:AE是厶ABC的外角平分線.證明：如圖3：TBE是ZABC的平分線,可得：EH=EFCE是ZACD的平分線，可得：EG=EF???過點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.即EF=EG=EH???EG=EH???AE是厶ABC的外角平分線.點(diǎn)評利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明.熟悉和掌握以上題目的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來試試看.練習(xí)1如圖5，PB和PC是厶ABC的兩條外角平分線.已知ZA=60。，請直接寫出ZP的度數(shù)是.S5X三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于三角形？S5X解析：①由命題1的變式1的結(jié)論直接得：ZP=90°—二ZA=90°60°=60°②根據(jù)命題命題1的變式1的結(jié)論ZP=90°—空ZA,知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角D形是銳角三角形.點(diǎn)評此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡單.同時(shí)要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.練習(xí)2如圖6,在厶ABC中,延長BC到D,ZABC與ZACD的角平分線相較于△點(diǎn),解析：由命題1的變式2的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律Z肚1可以直接得：=32x96°=3°.BC解析：由命題1的變式2的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律Z肚1可以直接得：=32x96°=3°.點(diǎn)評此題是要找出規(guī)律的但對要有命題命題1的變式2的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識(shí).練習(xí)3如圖7,4ABC的外角ZACD的平分線CP的內(nèi)角ZABC平分線BP交于點(diǎn)P，解析:此題直接運(yùn)用命題1的變式3的結(jié)論可以知道人卩是厶ABC的一個(gè)外角平分線，結(jié)合命題1的變式21的結(jié)論知道ZBAC=2ZBPC,CAP=^(180°—ZBAC)=12(180°—2ZBPC)=50°.點(diǎn)評若熟悉命題1的變式1和2的結(jié)論解決此題易如反掌，否則將是一道在考試的時(shí)候花時(shí)間也不一定做的出來的題目.練習(xí)4如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,ZACB的平分線與ZABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE,則ZAEB=度.解析：由題目和命題1的變式3的結(jié)論可以知道AE是厶ABC的1一個(gè)外角平分線，結(jié)合命題1的變式1的結(jié)論知道ZAEB=ZACB—ZACB=90°—2x90°=45°點(diǎn)評從上面的做題過程來看題目中給出的“厶=30。”這個(gè)條件是可以圖不用的.（以上四個(gè)練習(xí)課堂上未解決完的留作作業(yè)繼續(xù)探究）小結(jié)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，但不能陷入題海，不能讓學(xué)生成為解題的機(jī)器?對做過的題目要進(jìn)行反思總結(jié)，并站在一定的高度加以審視，從中發(fā)掘題目的精髓，看清問題的本質(zhì)，對數(shù)學(xué)有思有悟，這樣，學(xué)生才能從更高的觀點(diǎn)，用更寬的視野，更理性的眼光，去思考解決數(shù)學(xué)問題，讓數(shù)學(xué)課堂不斷出新出奇出彩，充分挖掘教材的例習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，使之形成習(xí)題串，由此及彼，舉一反三，不僅激發(fā)學(xué)生探究的激情，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，真正實(shí)現(xiàn)了讓數(shù)學(xué)課堂例習(xí)題教學(xué)真實(shí)高效.不足之處的反思教學(xué)過程應(yīng)注重師生互動(dòng)，學(xué)會(huì)從學(xué)生的角度思考問題，與學(xué)生共同交流解題思路，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生中的典型錯(cuò)誤，教師也應(yīng)在課堂上適時(shí)地進(jìn)行“誘錯(cuò)”、“示錯(cuò)”，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“辨錯(cuò)”、“識(shí)錯(cuò)”、“明錯(cuò)”、“改錯(cuò)”，讓學(xué)生從“錯(cuò)誤”走向“正確”?教師應(yīng)深深地意識(shí)到，“錯(cuò)誤”與“正確”都是教學(xué)上的重要資源.不應(yīng)對學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)誤思路進(jìn)行簡單的否決，而應(yīng)該將錯(cuò)就錯(cuò)，錯(cuò)中求正，敗中求勝，有效防止類似錯(cuò)誤的再次發(fā)生，提高