立體幾何題型與方法

立體幾何題型與方法 (理科)1．平面平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題。（1）.證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。2）.證明共點(diǎn)問(wèn)題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。3）.證共面問(wèn)題一般先根據(jù)一部分條件確定一個(gè)平面，然后再證明其余的也在這個(gè)平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合空間直線.1）.空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線 .（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面 ，b與 的關(guān)系是相交、平行、在平面 內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn) .⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線 .（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等 .（×）（并非是從平面外一點(diǎn) 向這個(gè)平面所引的垂線段和．．斜線段）⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若

a b，則

a,b

的位置關(guān)系為相交或平行或異面

.⑧異面直線判定定理：

過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線

.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）（2）. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 .等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如右圖） .（直線與直線所成角[0,90]）（向量與向量所成角[0,180])推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等 .（3）. 兩異面直線的距離：公垂線段的長(zhǎng)度 .空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直 .[注]：l1,l2是異面直線，則過(guò)l1,l2外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與l1,l2都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與l1,l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（L1或L2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫L1與L2平行的平面）3. 直線與平面平行、直線與平面垂直 .1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行 線面平行”）[注]：①直線a與平面 內(nèi)一條直線平行，則 a∥ . （×）（平面外一條直線）②直線a與平面 內(nèi)一條直線相交，則 a與平面 相交. （×）（平面外一條直線）③若直線 a與平面 平行，則 內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與 a平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面 . （×）（可能在此平面內(nèi)）⑤平行于同一個(gè)平面的兩直線平行 .（×）（兩直線可能相交或者異面）⑥直線l與平面 、 所成角相等，則 ∥ .（×）（ 、 可能相交）3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直 .若PA⊥ ，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），

POA

a三垂線定理的逆定理亦成立 .直線與平面垂直的判定定理一： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直 線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面 .性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 .（5）.a.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)．．向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn) .[ 一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線 .（×）]b.射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等， 那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。平面平行與平面垂直.1）.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2）.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 .[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面 .（3）.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行線線平行”）（4）.兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直面面垂直”）注：如果兩個(gè)二面角的平面分別對(duì)應(yīng)互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.（5）.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.P推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.MA簡(jiǎn)證：如圖，在平面內(nèi)過(guò)O作OA、OB分別垂直于l1,l2，BOθ因?yàn)镻M,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.所以結(jié)論成立（6）.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：lm2n2d22mncos（為銳角取減，為鈍角取加，綜上，都取減則必有0,）2（1）.a.最小角定理：coscos1cos2（1為最小角，如圖）θ1b.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）θθ2圖2圖1簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有 2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有 3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有 1條或者沒(méi)有.棱柱.棱錐（1）.棱柱.a.①直棱柱側(cè)面積： S Ch（C為底面周長(zhǎng)， h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的 .②斜棱住側(cè)面積： S C1l（C1是斜棱柱直截面周長(zhǎng)， l是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的 .b.{四棱柱} {平行六面體} {直平行六面體 } {長(zhǎng)方體} {正四棱柱} {正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.底面是側(cè)棱垂直底面是長(zhǎng)方體底面是側(cè)面與正方體四棱柱平行六面體直平行六面體正方形正四棱柱平行四邊形底面矩形底面邊長(zhǎng)相等c.棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是．．．．．．．．全等的矩形.．．．．．②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等．．多邊形.③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱 . （×）（直棱柱不能保證底面是矩形 ,可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直 .平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn) ，并且在交點(diǎn)處互相平分 .．．．．．．．．．．．．．[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn) .定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和 .推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為,,，則cos2cos2cos21.推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為,,，則cos2cos2cos22.[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 .（×）（斜四棱柱的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直

棱柱才行）．③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體

.（×）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直

.

（兩條邊可能相交，

可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）（2）.

棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

.[注]：①一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形

.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以

V棱柱

Sh

3V棱柱

.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心

.[注]：i.

正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形

.（不是等邊三角形）正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：S1Ch'（底面周長(zhǎng)為C，斜高為h'）2③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S側(cè)S底）（側(cè)面與底面成的二面角為cosc附：以知c⊥l，cosab，為二面角alb.alb則S1al①，S1lb②，cosab③①②③得側(cè)S底22cos注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個(gè)三角形面積和的方法）.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形 .特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心 .②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心 .③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心 .④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心 .⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心 .⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心 .⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心 0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心 I是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑 .[注]：i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐 .（×）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等） DAii.若一個(gè)三棱錐，兩條相對(duì)棱互相垂直，則第三組相對(duì)棱必然垂直.bac簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令A(yù)Ba,ADc,ACbBC得BCACABba,ADcBCADbcac，已知acb0,bac0D

E FACO'GBacbc0則BCAD0.iii.空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)O'，則ooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則EFFGEFGH為正方形.（3）.球：Ora.球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公式：S4R2.②球的體積公式：V4R3.3緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn)P的緯度是指經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上A,B兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是B點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：Vr2h（r為半徑，h為高）②圓錐體積：V1r2h（r為半徑，h為高）3③錐體體積：V1Sh（S為底面積，h為高）3（1）.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，h6a，S底3a2，S側(cè)3a2，得3443a26a3a2R13a2RR2a/432a36a.434344344注：球內(nèi)切于四面體：VBACD1S側(cè)R31S底R(shí)S底h。33②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式 .空間向量.（1）.a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.（×）[當(dāng)b0時(shí)，不成立]②向量a,b,c共面即它們所在直線共面.（×）[可能異面]③若a∥b，則存在小任一實(shí)數(shù)，使ab.（×）[與b0不成立]④若a為非零向量，則0a0.（√）[這里用到b(b0)之積仍為向量]b.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使ab.c.共面向量：若向量a使之平行于平面或a在內(nèi)，則a與的關(guān)系是平行，記作a∥.d.①共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使Pxayb.．．．．．．．．．．．．．．．OPxOAyOBzOC(xyz1)是PABC四點(diǎn)共面的充要條②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則件.（簡(jiǎn)證：OP (1 y z)OA yOB zOC AP yAB zAC P、A、B、C四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法 .（2）.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量P，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)．．．．．．．組x、y、z，使pxaybzc.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使OPxOAyOBzOC(這里隱含x+y+z≠1).B注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，ABb,ACc,ADd,其O1D中Q是△BCD的重心，則向量AQbc)用AQAMMQ即證.(aA3uuuruuuruuuruuurCO和不共線的三點(diǎn)對(duì)空間任一點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC，則四點(diǎn)P、A、B、C是共面

x y z 1（3）.a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的 x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)）， y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)） .①令a=(a,a,a),b(b1,b2,b3)，則123ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3，a∥ba1b1,a2b2,a3a1a2a3。b3(R)b2b3b1aba1b1a2b2a3b30。aa?aa12a22a32(向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：a2a?aaa?a)空間兩個(gè)向量的夾角公式cosa?ba1b1a2b2a3b3a,ba12a22a32b12b22b32|a||b|a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）。②空間兩點(diǎn)的距離公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.b.法向量：若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中A，則點(diǎn)B到平面的距離為|AB?n|.|n|CD?nr②.異面直線間的距離dn(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為l1,l2間的距離).uuururur③.直線AB與平面所成角arcsinABm(m為平面的法向量).uuurur|AB||m|④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n1,n2分別是二面角l中平面,的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。╪1,n2方向相同，則為補(bǔ)角，n1,n2反方，則為其夾角）.urrurrurr二面角l的平面角arccosmnarccosmn，的法向量）.urr或urr（m，n為平面|m||n||m||n|d.證直線和平面平行定理：已知直線a平面，A,Ba,C,D，且、、三點(diǎn)不共線，則∥的CDEa充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使ABCDCE.（常設(shè)ABCDCE求解,若,存在即證畢，若,不存在，則直線 AB與平面相交） .A BBnn1C▲Dn2EAC７．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一、經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一空間向量及其運(yùn)算uuur1uuur2uuur2uuur1.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件OPOAOBOC，555試判斷：點(diǎn)P與A,B,C是否一定共面P與A,B,C是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對(duì)uuuruuuruuur解析：要判斷點(diǎn)x,y使APxAByAC或?qū)uuruuuruuuruuur空間任一點(diǎn)O，有OPOAxAByAC。uuuruuuruuuruuur答案：由題意：5OPOA2OB2OC，uuuruuuruuuruuuruuuruuur(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴AP 2PB 2PC，即PA 2PB 2PC，所以，點(diǎn)P與A,B,C共面．點(diǎn)評(píng)：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算．2.如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且11BMBD，ANAE．求證：MN//平面CDE．33uuuuruuuruuur解析：要證明MN//平面CDE，只要證明向量NM可以用平面CDE內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量DE和DC線性表示．uuur1uuur1uuur1uuur答案:證明：如圖，因?yàn)镸在BD上，且BM1BD，所以MBDBDAAB．同理3333uuur1uuur1uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuurAN3ADDE，又CDBAAB，所以MNMBBAAN31uuur1uuur2uuur1uuur2uuur1uuur1uuur1uuuruuur(DAAB)BA(ADDE)BADECDDE33uuuuruuur3uuur33333量定理，可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDE內(nèi)，所以點(diǎn)評(píng)：空間任意的兩向量都是共面的．與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開(kāi)考點(diǎn)二證明空間線面平行與垂直

uuur uuur．又CD與DE不共線，根據(jù)共面向MN//平面CDE．.3. 如圖, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， （I）求證：AC⊥BC1； （II）求證：AC1答案:解法一：（I）直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面三邊長(zhǎng) AC=3，BC=4AB=5，AC⊥BC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴AC⊥BC1；（II）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為 E，連結(jié)DE，∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE111311zCCCACBC1ACBC1（2）設(shè)CB與CB的交戰(zhàn)為E，則E23，0,2），AC11AC1，C（0,2，2）.∵DE＝（－＝（－3,0，4），∴DEB221A∴DE∥AC.E點(diǎn)評(píng)：2．平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化C面面平行線面平行線線平行；ByxA主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理．4.（2007武漢3月）如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。求證：BM∥平面PAD；在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；求直線PC與平面PBD所成角的正弦。解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力 .答案：（1）M是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，則ME1CD，又AB1CD22四邊形ABME為平行四邊形BM∥EA，BM平面PADEA平面PADBM∥平面PAD（4分）（2）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則B1,0,0)，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，M1,1,1，E0,1,1在平面PAD內(nèi)設(shè)N0,y,z，MN1,y1,z1，PB1,0,2，DB1,2,0由MNPBMNPB12z201z21由MNDBMNDB12y20y211N0,N是AE的中點(diǎn)，此時(shí)MN平面PBD（8分）,23）設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為PC2,2,2，MN11為1,,，設(shè)PC,MN22PCMN222cos6sincosPCMN332322（12分）故直線PC與平面PBD所成角的正弦為3解法二：（1）M是PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，則ME1CD，又AB1CD22四邊形ABME為平行四邊形BM∥EA，BM平面PADEA平面PADBM∥平面PAD（4分）（2）由（1）知ABME為平行四邊形PA底面ABCDPAAB，又ABADAB平面PAD同理CD平面PAD，AE平面PADABAEABME為矩形CD∥ME，CDPD，又PDAEMEPDPD平面ABMEPD平面PBD平面PBD平面ABME作MFEB故MF平面PBDMF交AE于N，在矩形ABME內(nèi)，ABME1，AE2MF2，NE2N為AE的中點(diǎn)32當(dāng)點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)時(shí)，MN平面PBD（8分）（3）由（2）知MF為點(diǎn)M到平面PBD的距離，MPF為直線PC與平面PBD所成的角，設(shè)為，sinMF2MP32直線PC與平面PBD所成的角的正弦值為3點(diǎn)評(píng)：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái)考點(diǎn)三求空間圖形中的角與距離根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空間向量求這三種角的大小.5.（四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)）如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是ADC60o的菱形，M為PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求PA與底面ABCD所成角的大?。?Ⅱ)求證：PA平面CDM；(Ⅲ)求二面角DMCB的余弦值.解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：(I)取DC的中點(diǎn)O，由PDC是正三角形，有PO⊥DC．又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．連結(jié)，則是在底面上的射影．∴∠就是PA與底面所成角．OAOAPAPAO∵∠ADC=60°，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=3．∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．??6分由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 A(3,0,0), P(0,0, 3), D(0, 1,0), B( 3,2,0),C(0,1,0)．由M為PB中點(diǎn)，∴M(3,1,3)．22uuuur(3,2,uuur(3,0,3),uuur．∴DM3),PADC(0,2,0)22uuuruuuur332033)0，∴PADM2(2uuuruuurPADC03200(3)0．∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．??4分(III)uuuur3,0,3uuur(3,1,0)r(x,y,z)，CM(),CB．令平面BMC的法向量n22則ruuuur，從而+=0；??①,nCM0由①、②，取x=-1，則y3,z1．由(II)知平面CDM的法向量可取uuurPA

ruuur0，從而3xy0．??②nCBr3,1)．∴可取n(1,(3,0,3)，ruuurruuur231010nPA．∴所求二面角的余弦值為－．??6分∴cosn,PAruuur5655|n||PA|法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP的中點(diǎn)N，連接MN，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD中，由于ADC60o，則AOCD，又POCD，則CD平面APO，即CDPA，又在PAB中，中位線MN//1AB，CO//1AB，則MN//CO，22則四邊形OCMN為Y，所以MC//ON，在APO中，AOPO，則ONAP，故APMC而MCICDC，則PA平面MCD（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC平面PAB，則NMB為二面角DMCB的平面角，在RtPAB中，易得PA6,PBPA2AB222210，cosPBAAB2106，PB105cosNMBcos(PBA)1010故，所求二面角的余弦值為55點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng) 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法 .D1C1（2007河北省唐山市三模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11,AB2,A1B1點(diǎn)E在線段AB上.（Ⅰ）求異面直線D1E與A1D所成的角；DC（Ⅱ）若二面角D1ECD的大小為45，求點(diǎn)B到平面D1EC的距離.AEB解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí) , 本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離 ,在求此類(lèi)問(wèn)題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形 ,這樣有利于問(wèn)題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法 .答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié) AD1。由已知， AA1D1D是正方形，有 AD1 A1D?！逜B 平面AA1D1D，∴AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，AD1D1E得，則異面直線D1E與A1D所成的角為90。作DFCE，垂足為F，連結(jié)D1F，則CED1F所以DFD1為二面角D1ECD的平面角，DFD145.于是DFDD11,D1F2易得RtBCERtCDF，所以CECD2，又BC1，所以BE3。設(shè)點(diǎn)B到平面D1EC的距離為h.∵VBCEDVDBCE,即11CEDFh11BEBCDD，1321321∴CED1FhBEBCDD1，即22h3，∴h6.4故點(diǎn)B到平面D1EC的距離為6。4解法二：分別以DA,DB,DD1為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.uuuur（Ⅰ）由A1(1,0,1)，得DA1(1,0,1)uuuur設(shè)E(1,a,0)，又D1(0,0,1)，則D1E(1,a,1)。uuuuruuuuruuuuruuuur∵DA1D1E1010∴DA1D1E則異面直線D1E與A1D所成的角為90。（Ⅱ）m(0,0,1)為面DEC的法向量，設(shè)n(x,y,z)為面CED1的法向量，則n(x,y,z)|cosm,n||mn|x2|z|cos452|m||n|y2z22∴z2x2y2.①由C(0,2,0)uuuuruuuuruuuur，得DC1(0,2,1)，則nD1C，即nDC10∴2yz0②由①、②，可取n(3,1,2)uuur，所以點(diǎn)B到平面D1EC的距離又CB(1,0,0)uuurd|CBn|36。|n|224點(diǎn)評(píng)：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類(lèi)問(wèn)題中,盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中,最好是直角三角形,這樣計(jì)算起來(lái),比較簡(jiǎn)單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過(guò)建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較容易寫(xiě)出來(lái).考點(diǎn)四 探索性問(wèn)題（2007年4月濟(jì)南市）如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且 DE=2，ED假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論： 2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。答案：（1）因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），則DB (2,0,0),BE (1,1,2),BF (0,2,0)設(shè)平面BEF的法向量n (x,y,z),則 xy 2z 0,y 0，則可取n (2,1,0)，∴向量DB和n (2,0,1)所成角的余弦為22220210。1222(2)210即BD和面BEF所成的角的余弦10。10（2）假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(12m,12m,2),1m1m1m則向量AP(12m,12m,2),，向量CP(12m,1,2),1m1m1m1m1m1m所以212m012m(2)20,所以m1。1m1m1m2點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開(kāi)放式設(shè)問(wèn)方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。8.(2007 安徽·文 ) 如圖，在三棱錐 V ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且ACBCa，∠VDC0π．2（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；（II）試確定角的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為π．6解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中點(diǎn)，∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD．A又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CHVD于H，則由（Ⅰ）知CD平面VAB．連接BH，于是CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．

ＶＣＤ

Ｂ依題意CBHπ，所以6在Rt△CHD中，CH2asin；2在Rt△BHC中，CHasinπa，62∴sin2．2∵0ππ，∴．24故當(dāng)ππ4時(shí)，直線BC與平面VAB所成的角為6．解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，DaaV，，2atan，，，，C(000)A(a00)B(0a0)220002uuuraa2atanuuuraauuur(a，a，0)．于是，VD2，，2，CD2，，0，AB22從而uuuruuur，，·aa1212，即ABCD．·(，，aa002222uuuruuur，，·aa21212z同理·，，，ABVD(aa0)22atan2a2a00V2即ABVD．又CDIVDD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，CBy則由n·ABuuurD0，n·VD0．Aaxay，x0得aay2．x2aztan022可取n(11，，2cotuuur(0，a，0)，)，又BCuuura2π·于是sin，uuur2sin6··22cot2nBCa即sin2ππ∵0，∴=．224故交ππ=時(shí)，直線BC與平面VAB所成的角為．46解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DC，DB所在的直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，2，，B，2，，C2，，，2，，2atan，22222uuur2，，2uuur2，，uuur(0，2a，0)于是DV2a02atan，DC2a00，．uuuruuur(0，2a，0)·2，，ABDC從而AB·DC0，即．2a00uuuruuur220，即ABDV．同理·，，，，22又DCIDVD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，uuuruuur2ay0，V0，得則由n·AB0，n·DV2ax20．2aztan2可取n(tan，0，1)，又uuur22CBC，，，y22B2Dxuuuratan2Aπ·2于是sinnBCsin，6uuur22··tannBCa1即sinππ=π故角π，∵0，∴．4時(shí)，224即直線BC與平面VAB所成角為π．6點(diǎn)評(píng)：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運(yùn)用更多的是建空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解考點(diǎn)五折疊、展開(kāi)問(wèn)題9．（2006年遼寧高考）已知正方形ABCDE、F分別是AB、CD的中點(diǎn),將VADE沿DE折起,如圖所示,記二面角ADEC的大小為(0)證明BF//平面ADE;若VACD為正三角形,試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論,并求角 的余弦值分析:充分發(fā)揮空間想像能力， 重點(diǎn)抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明 .解:(I)

證明:EF

分別為正方形

ABCD得邊

AB、CD的中點(diǎn)

,EB

QEF

平面

AED,

而B(niǎo)F

平面AED

,

BF//平面

ADE如右圖,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過(guò)點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GDACD為正三角形,AC=AD.CG=GD.QG在CD的垂直平分線上,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過(guò)G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AHDE,所以AHD為二面角A-DE-C的平面角即AHG.設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形,AGEFAEAF.AG3a在RtADE中,AHDEAEADAH2a.25GHaGH1,cosAH425點(diǎn)評(píng)：在平面圖形翻折成空間圖形的這類(lèi)折疊問(wèn)題中，一般來(lái)說(shuō)，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問(wèn)題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量 .考點(diǎn)六 球體與多面體的組合問(wèn)題10．設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且 MA＝MD，MA⊥AB，如果 AMD的面積為 1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面 MAD⊥面AC.記E是AD的中點(diǎn)，從而 ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.設(shè)球O是與平面 MAD、平面AC、平面MBC都相切的球不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是 MEF的內(nèi)心.

.

.設(shè)球O的半徑為2S△MEFr，則r＝EFEMMF設(shè)AD＝EF＝a,∵SAMD＝1.∴ME＝2.MF＝a2(2)2,aar＝2≤2＝2-1。2(2)2222aa2aa當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，即a＝2時(shí)，等號(hào)成立.a∴當(dāng)AD＝ME＝2時(shí)，滿足條件的球最大半徑為2-1.點(diǎn)評(píng)：涉及球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題時(shí)一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長(zhǎng)間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。二、方法總結(jié)高考預(yù)測(cè)（一）方法總結(jié)1．位置關(guān)系：（1）．兩條異面直線相互垂直證明方法：○1證明兩條異面直線所成角為 90o；○2證明兩條異面直線的方向量相互垂直。（2）．直線和平面相互平行證明方法：○1證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行； ○2證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；○3證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。（3）．直線和平面垂直證明方法：○1證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直， ○2證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；○3證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。（4）．平面和平面相互垂直證明方法：○1證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為 90o；○2證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；○3證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。2．求距離：求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離， 直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，

一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（1）．兩條異面直線的距離求法：利用公式d|AB·n|n為這兩條異面直線的法向量）（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，|n|（2）．點(diǎn)到平面的距離求法：○1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。

○2等體積法。○3向量法，利用公式

d

|AB·n||n|（其中A為已知點(diǎn)，B為這個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)， n這個(gè)平面的法向量）3．求角（1）．兩條異面直線所成的角求法：1先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移， 找出這兩條異面直線所成的角， 然后通過(guò)解三角形去求得；○○2通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得， 但是注意到異面直線所成角得范圍是 (0, ]，向量所成的角范圍是2[0, ]，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）．直線和平面所成的角求法：○1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。的角α，那么所要求的角為 或 。

○2向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成2

2（3）．平面與平面所成的角求法：○1“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。○2通過(guò)射影面積來(lái)求cosS射影（在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)三角形，S原然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的射影，那么這個(gè)三角形的射影面積與原三角形面積之比即為 cosα，注意到我們要求的角為α或π－α）； ○3向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為α，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為α或π－α。我們現(xiàn)在來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，注意到向量知識(shí)的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問(wèn)題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時(shí)求距離、角的時(shí)候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，就用傳統(tǒng)的方法了！4．解題注意點(diǎn)1）．我們現(xiàn)在提倡用向量來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。2）．我們?nèi)绻峭ㄟ^(guò)解三角形去求角、距離的時(shí)候，做到“一找二證三求”，解題的過(guò)程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段AB的長(zhǎng)度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來(lái)一目了然。（3）．用向量來(lái)求兩條異面直線所成角時(shí)，若求出 cosα＝x，則這兩條異面直線所成的角為α＝ arccos|x|（4）．在求直線與平面所成的角的時(shí)候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。2222（5）．求二面角時(shí)，若用第 ○2、○3種方法，先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。（二）2008年高考預(yù)測(cè)從近幾年各地高考試題分析， 立體幾何題型一般是一個(gè)解答題， 1至3個(gè)填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來(lái)求解． 高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力 . 近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題。高考對(duì)立體幾何的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面：1．從命題形式來(lái)看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變 . 除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開(kāi)發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問(wèn)題，此類(lèi)考題往往以多面體為依托，第一小問(wèn)考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問(wèn)考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作——證——求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。２．從內(nèi)容上來(lái)看，主要是：①考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類(lèi)試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；②計(jì)算角的問(wèn)題，試題中常見(jiàn)的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類(lèi)試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③求距離，試題中常見(jiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類(lèi)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法；④簡(jiǎn)單的幾何體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，解此類(lèi)問(wèn)題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問(wèn)題；⑤體積問(wèn)題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。３．從方法上來(lái)看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導(dǎo)和計(jì)算相集合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常要把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)解決；考查模型化方法和整體考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的方法，如有時(shí)把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問(wèn)題解決；考查割補(bǔ)法、等積變換法，以及變化運(yùn)動(dòng)的思想方法，極限方法等。４．從能力上來(lái)看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：①會(huì)畫(huà)圖——根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出適合題意的圖形或畫(huà)出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會(huì)識(shí)圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會(huì)析圖——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會(huì)用圖——對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開(kāi)或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。三、 強(qiáng)化訓(xùn)練（一） 選擇題1．定點(diǎn)P不在△ABC所在平面內(nèi)，過(guò) P作平面α，使△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有（Ａ）１個(gè)

（（Ｂ）２個(gè)

）（Ｃ）３個(gè)

（Ｄ）４個(gè)2．P為矩形

ABCD所在平面外一點(diǎn)，且

PA⊥平面

ABCD，P到

B，C，D三點(diǎn)的距離分別是

5，

17，

13，則

P到

A點(diǎn)的距離是

（ ）（Ａ）１

（Ｂ）２

（Ｃ）

3

（Ｄ）４3．直角三角形 ABC的斜邊為（Ａ）銳角三角形

AB在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)（ ）（Ｂ）直角三角形

C在平面α外，C在平面α內(nèi)的射影為（Ｃ）鈍角三角形

C1，且C1 AB，則△（Ｄ）以上都不對(duì)

C1AB4．已知四點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線，則可以確定()個(gè)平面?zhèn)€平面?zhèn)€或4個(gè)平面D.無(wú)法確定5．已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個(gè)球的半徑是()B.36．球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的1，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4π，那么這個(gè)球的半徑為()63B.23D.37．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－ABCD被以A為球心，AB為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（）1111A．5πB．7πC．πD．7π4848．某刺猬有 2006根刺，當(dāng)它蜷縮成球時(shí)滾到平面上，任意相鄰的三根刺都可支撐住身體，且任意四根刺的刺尖不共面，問(wèn)該刺猬蜷縮成球時(shí)，共有（ ）種不同的支撐身體的方式。A ．2006 B ．4008 C ．4012 D ．20089．命題①空間直線

a，b，c，若

a∥b，b∥c則

a∥c

②非零向量

a、b、c，若

a∥b，b∥c則

a∥c③平面α、β、γ 若α⊥β，β⊥γ，則

α∥γ

④空間直線

a、b、c

若有

a⊥b，b⊥c，則

a∥c⑤直線

a、b與平面β，若

a⊥β，c⊥β，則

a∥c

其中所有真命題的序號(hào)是（

）A ．①②③

B．①③⑤

C ．①②⑤

D．②③⑤10．在正三棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成二面角的取值范圍是（ ）（，）B、（2，）C、（0，）（，）A、D、23323311．一正四棱錐的高為22，側(cè)棱與底面所成的角為45°，則這一正四棱錐的斜高等于（）A．26B．23C．43D．2212．以正方體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)地取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為（ ）A．367B．376C．192D．183853853853851—12解答1．【答案】D解析：過(guò)P作一個(gè)與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求2．【答案】2222222A解析：設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a+h=5,b+h=13,a+b+h=17,∴h=1．3．【答案】2222∴∠ACB為鈍角，則△CAB為鈍角三角形．C解析：∵C1A+C1B<CA+CB＝AB,114．【答案】C.解析：因?yàn)闊o(wú)三點(diǎn)共線，所以任意三個(gè)點(diǎn)都可以確定平面α，若第四個(gè)點(diǎn)也在α內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在α外，由公理3知可確定4個(gè)平面.故選C.5．【答案】B解析：如圖，設(shè)球的半徑是22r，則πBD＝5π，πAC＝8π，2BD＝5，AC＝8.又AB＝1，設(shè)OA＝x.∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.解之，得r＝3故選B.6．【答案】B解析：設(shè)球半徑為

R，小圓半徑為

r，則

2πr＝4π,∴r＝2.如圖，設(shè)三點(diǎn)

A、B、C，O為球心，∠

AOB＝∠BOC＝∠COA＝

，又∵

OA＝OB3∴ΔAOB是等邊三角形同理， BOC、 COA都是等邊三角形，得 ABC為等邊三角形.邊長(zhǎng)等于球半徑 R，r為 ABC的外接圓半徑.r＝3AB＝3R33R＝3r＝233∴應(yīng)選B.7．【答案】A．解析：S=1π·12×3+1×4π·12=5π。4 8 48．【答案】B．解析：當(dāng)有 n根刺時(shí)有 an種支撐法，n=4，5，6，?，則an+1=an+3－1=an+2或an+1=an+4－2=an+2，∴{an}n=4 ，5，6，?， 為等差數(shù)列，∵a4=4∴an=2n－4，A2006＝4008。9．【答案】C．解析：由傳遞性知①②正確；由線面垂直性質(zhì)知⑤正確；由空間直角坐標(biāo)系中三坐標(biāo)平面關(guān)系否定③；三坐標(biāo)軸關(guān)系否定④。10．【答案】A．解析：法一：考察正三棱錐P–ABC，O為底面中心，不妨將底面正△ABC固定，頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，相鄰兩側(cè)面所成二面角為∠AHC.當(dāng)PO→0時(shí)，面PAB→△OAB，面PBC→△OBC，∠AHC→π當(dāng)PO→+∞時(shí)，∠AHC→∠ABC=.故<∠AHC<π，選A.P33法二：不妨設(shè)AB=2，PC=x，則x>OC=233.H111等腰△PBC中，S·2·x21△PBC22x2CACAO等腰△AHC中，sinAHC21B2CH211x2由x>23得1sinAHC<1，∴6AHC2＜∠AHC＜π.3222311．【答案】B．解析：由已知得底面對(duì)角線的一半為22，所以底面邊長(zhǎng)的一半等于2，由勾股定得斜高為(22)222.12．【答案】A解析：此問(wèn)題可以分解成五個(gè)小問(wèn)題：（１）由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可以組成c8356個(gè)三角形；（２）正方體八個(gè)頂點(diǎn)中四點(diǎn)共面有12個(gè)平面；（３）在上述12個(gè)平面中每個(gè)四邊形中共面的三角形有c424個(gè)；（４）從56個(gè)三角形中任取兩個(gè)三角形共面的概率12c4218p；c563358（５）從56個(gè)三角形中任取兩個(gè)三角形不共面的概率，利用對(duì)立事件的概率的公式，18367得P1;故385385選A．（二） 填空題13．在三棱錐 P—ABC中，底面是邊長(zhǎng)為 2cm的正三角形，PA＝PB＝3cm，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn) P時(shí)，三棱錐的最大體積為 ．14．P為 ABC所在平面外一點(diǎn)， PA、PB、PC與平面ABC所的角均相等，又 PA與 BC垂直，那么ABC的形狀可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三 角形15．將邊長(zhǎng)為 3的正四面體以各頂點(diǎn)為頂點(diǎn)各截去 (使截面平行于底面 )邊長(zhǎng)為1的小正四面體，所得幾何體的表面積為_(kāi)____________.16．如圖，正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在A上，且AM=1AB，點(diǎn)P在平面ABCD3上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 .13—16解答

D1 C1B1A1yDCPAM B x13.。cm3.解析:點(diǎn)P到面ABC距離最大時(shí)體積最大，此時(shí)面 PAB⊥面ABC，高PD=2cm．V=.14．由題意可知ABC的外心在BC邊的高線上，故一定有AB=AC選（1）（2）（4）。15．73.解析：原四個(gè)頂點(diǎn)截去后剩下截面為邊長(zhǎng)為1的正三角形，而原四面體的四個(gè)側(cè)面變?yōu)檫呴L(zhǎng)為1的正六邊形，其表積為34373.464416．y22111于H，連PH，利用三垂線定理可證1193設(shè)P（x，y），∵|PH|2-|PH|2=1，∴x2+1-[(x1)2+y2]=1，化簡(jiǎn)得y22x1.339（三）解答題17.已知YABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量OuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurOEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，（1）求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；DCAB（2）平面AC//平面EG．uuuruuuruuurHG解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ACABAD，EFuuur uuur uuurEGOGOE，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurkOC kOA k(OC OA) kAC k(AB AD)uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuurk(OB OA OD OA) OF OE OH OEuuur uuurEF EHE,F,G,H共面；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，EF//AB,EG//AC所以，平面 AC//平面EG．18.如圖，PABCD是正四棱錐,ABCDA1B1C1D1是正方體，其中PAB2,PA6．DC（Ⅰ）求證：PAB1D1；AB（Ⅱ）求平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角的大??；（Ⅲ）求B1到平面PAD的距離．DC解：(Ⅰ)連結(jié),交BD于點(diǎn)O,連結(jié),則PO⊥面ABCD,又ABACPO∵ACBD,∴PABD,∵BD//B1D1,∴PAB1D1．第19題（Ⅱ）∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥面PBD,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PD于點(diǎn)M，連結(jié)AM,則AM⊥PD,∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角,又∵AB2,PA6,∴AO=2,PO=622POOD222∴tanAMOAO26OMPD6,OM2,323即二面角的大小為arctan6．2(Ⅲ)用體積法求解：VB1VA1SPAD165PADB1PDhxAOSBPD解得hx，33565即B1到平面PAD的距離為5在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．1）求證：EF//平面PAD；2）當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大二面角時(shí)，直線EF 平面PCD證：（1）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG∵E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，∴EG證明：∵G為CD中點(diǎn)，則EGCD，∵PA底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影?！逤D平面ABCD，且CDAD，故CDPD．又∵FG∥PD∴FGCD，故EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角，即EGF=45，從而得ADP=45，AD=AP.由RtPAERtCBE，得PE=CE.又

F是PC的中點(diǎn)，∴EF PC.由CD EG，CD FG，得

CD

平面

EFG，∴CDEF，即

EF

CD，故EF平面PCD．20. 已知多面體（Ⅰ）求證：

ABCDE中，AB⊥平面AF⊥平面CDE；

ACD，DE⊥平面

ACD，AC=

AD=

CD=

DE=2

a，AB=

a，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).（Ⅱ）求異面直線 AC，BE所成角余弦值；（Ⅲ）求面 ACD和面BCE所成二面角的大小 .解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACDDE⊥AF。又∵AC=AD=C，F(xiàn)為CD中點(diǎn)AF⊥CD，AF⊥面CDEAF⊥平面CDE。DE平面ACDDE//AB（Ⅱ）∵平面ACDAB取DE中點(diǎn)M，連結(jié)AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形AM2aAMAD2DM24a2a25aCMCD2DM24a2a25acosCAM(2a)2(5a)2(5a)2551ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，22a5a55如圖，四邊形2MA11BF1BDtanMNAMA222已知斜三棱柱ABCA1B1C1，22266NA222BCA

90o，

AC

BC

2，A1在底面

ABC上的射影恰為

AC的中點(diǎn)

D，又知

BA1

AC1。（I）求證：

AC1

平面

A1BC；（II

）求

CC1到平面

A1AB

的距離；（III

）求二面角

A

A1B

C的大小。解：（I）因?yàn)锳1D 平面ABC，所以平面 AA1C1C 平面ABC，又BCAC，所以BC平面AAC11C，得BCAC1，又BA1AC1所以AC1平面A1BC；（II）因?yàn)锳C1AC，所以四邊形AACC為111菱形，故AA1AC2，又D為AC中點(diǎn)，知A1AC60o。取AA1中點(diǎn)F，則AA1平面BCF，從而面A1AB面BCF，過(guò)C作CHBF于H，則CH面A1AB，在RtBCF中，BC2,CF3，故CH221，7221即CC1到平面A1AB的距離為CH。7（III）過(guò)H作HGA1B于G，連CG，則CGA1B，從而CGH為二面角AA1BC的平面角，在RtA1BC中，A1CBC2，所以CG2，在RtCGH中，sinCGHCH42CG，7故二面角AA1BC的大小為arcsin42。7解法

2：（I）如圖，取

AB的中點(diǎn)

E，則

DE//BC，因?yàn)?/p>

BC

AC，所以

DE

AC，又

A1D

平面

ABC，以DE,DC,DA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則A0,1,0，C0,1,0，B2,1,0，A10,0,t，C10,2,t，uuuuruuurAC10,3,t，BA12,1,t，uuur2,0,0uuuruuur0，知A1CCB，CB，由ACCB1又BA1AC1，從而AC1平面A1BC；uuuuruuurt20，得t3。（II）由AC1BA13ruuuruuur設(shè)平面A1AB的法向量為nx,y,z，AA10,1,3，AB2,2,0，所以ruuurrnAA1y3z03,3,1ruuur2x2y，設(shè)z1，則nnAB0uuuurrAC1n221。所以點(diǎn)C1到平面A1AB的距離drn7uruuuruuur