1量子力學(xué)課后答案詳解x

第一章量子理論基礎(chǔ)1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)血與溫度T成反比，即T=b（常量）并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式(1)⑵(3)8TT/IV3Pvdv (1)⑵(3)hve莎-1以及 加=c,pvdv=-pvdA,

dv'c、J久丿J he￡礦1這里的o?的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于入與入 +d入Z間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是入取何值時(shí)，。？取得極大值，因此，就得要求必 對(duì)入的一階導(dǎo)數(shù)為零，曲此可求得相應(yīng)的入的值，記作幾。但要注意的是，還需要驗(yàn)證從對(duì)入的二階導(dǎo)數(shù)在九處的取值是否小于零，如果小于零，那么前而求得的九就 是要求的，具休如下：-5+M. -5+M. 1如一毎5(1e女口heAkT如果令x=he，則上述方程為AkT5（1—廠）=兀這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解： x=（）,但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得： X=4.97,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有he把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知和=2.9x10%K這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話(huà)，輻射的能量分布的峰 值向較短波長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來(lái)判定 溫度的高低。1.2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV,求其徳布羅意波K解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv,P』2如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（￡動(dòng) <<“⑵，那么如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)屯子的動(dòng)能僅為 3eV,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平 方的乘積，即0.51xl06eV,因此利用非相對(duì)論性的電子的能量一一動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有hhe如c?E在這里，利用了以及hhe如c?E在這里，利用了以及最后，對(duì)1.24x10 “=j ntV2XO.51X1O6X3=0.71x10_9/?7=0.71〃〃？he=1.24x\0~6eV-mjLiec2=0.51xl06eV；he作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒了的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒了的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來(lái)的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來(lái)說(shuō)，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。1.3氨原子的動(dòng)能是E=-kT（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氨原子的德2布羅意波長(zhǎng)。解根據(jù)bt?K=10S,知本題的氨原子的動(dòng)能為3 1E=-kT=-k-K=i.5xl0~3eV,2 2顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于“核C、2這樣，便冇這里，利用了1.24x10"這里，利用了1.24x10"J2X3.7X109X1.5X1013 in=0.37x103”=0.31nm“垓/=4x931xl06eV=3.7xI09aV最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度 為T(mén)的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為 kT,這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為據(jù)此口J知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒了間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒了間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布， I佃必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布——玻色分布或費(fèi)米公布。1.4利用玻爾 索末菲的量子化條件，求：（1） 一維諧振了的能量；（2） 在均勻磁場(chǎng)屮作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10T,玻爾磁子MB=9x10亠八廠】，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔AE,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。 解玻爾一一索末菲的量了化條件為nh其屮q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，冋路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振了的勁度常數(shù)為k,諧振了質(zhì)量為U,于是有這樣，便冇p=±A(E--kx2)這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一 ？正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái)回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)E=-kx22可解出兀士=可解出兀士=±2E這表示諧振了的止負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾 索末菲的量了化條件,冇=>2“(EL2)dx+P(-)2 乩=>2“(EL2)dx+P(-)2 乩2“E一*2)dx=nh2“(E*也2)dx+~Akx2)dx=nh~Akx2)dx==>為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換這樣,便有=>=>pE-2這樣,便有=>=>pE-2這時(shí),令上式左邊的積分為A,此外再構(gòu)造一個(gè)積分；2E?2這樣,這樣,便冇A+B諒2E?趙込2冊(cè)趙,2￡A-B= 22￡彳彳cos261/0這里？=20,這樣，就冇A-B=A-B=[sin卩=()根據(jù)式（1）和（2）,便有這樣，便冇其中"亠2龍最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次 ，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)屮作圓周運(yùn)動(dòng)吋，有R=quB=>這時(shí)，玻爾 索末菲的量子化條件就為ArtjqBRd(RO)=nh=>qBR2Qtc-nh=>qBR2=nh所以，有所以，有口_(qBR)2_q2B2R22““=qBnh=nBqh_2〃 2/z=KIBNB，其中，嘰二卷是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且

具體到本題，有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，當(dāng)溫度T=1OOK具體到本題，有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，當(dāng)溫度T=1OOK吋，\E=BMbAE=10x9x10-24J=9x10-23j3E=-kT2=10?3aV=1.6X10?22JE=1.5x4xI.6xIO22J=9.6xlO_22JE=1.5x100xl.6xl0-22J=2.4x10?20J顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔1.5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等， 問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光了的波長(zhǎng)最大是多少？TOC\o"1-5"\h\z解關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力淫過(guò)程，如兩個(gè)光子以怎樣的概 率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問(wèn)題，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算 ，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用 那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)， 轉(zhuǎn)化為止風(fēng)電了對(duì)反需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有E-hv-c2hepc二hepc二于是，冇1.24x10"0.51X106=2.4xl0-12/??=2.4x103nm盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波氏，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們 知道，電子是自然界屮最輕的有質(zhì)量的粒子，