函數(shù)極限教學(xué)課件

第二章數(shù)列極限數(shù)列極限概念【教學(xué)題目】

數(shù)列極限概念【教學(xué)目標(biāo)】1建立數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念2會(huì)用定義證明數(shù)列極限3理解數(shù)列收斂、發(fā)散及無窮小數(shù)列概念4了解無窮大數(shù)列5了解并運(yùn)用數(shù)列極限的等價(jià)定義【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握數(shù)列極限的概念【教學(xué)難點(diǎn)】

數(shù)列極限的定義及應(yīng)用【教學(xué)方法】

講授式【課前復(fù)習(xí)】什么是數(shù)列【課時(shí)安排】4學(xué)時(shí)數(shù)列：能夠和自然數(shù)形成一一對(duì)應(yīng)且按照自然數(shù)從小到大排列的一列數(shù)或者說，若函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱為數(shù)列【新課講授】引言eg1

古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子天下篇》引用過的一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！奔吹谝惶烊∠拢诙烊∠?，第n天取下，即得到數(shù)列舉例說明如何運(yùn)用定義來驗(yàn)證數(shù)列極限。eg2證明，這里為正數(shù)。證由于，故對(duì)任給的>0,只要取則當(dāng)n>N時(shí)，便有，即eg3證明解分析由于（n3）故對(duì)任給的>0,只要，便有即當(dāng)時(shí)，上式成立，又，故應(yīng)取證任給>0,取，由分析可知，注：①N可適當(dāng)放大②N不一定是正整數(shù)，只要是正數(shù)即可eg4證明，這里證若q=0,顯然成立。設(shè)，記

則h>0,于是有，并由

得到，對(duì)任給的>0,只要取

則當(dāng)時(shí)，，即

eg5證明,其中a>0證

當(dāng)a=1時(shí)，顯然成立，現(xiàn)設(shè)a>1,記則由得當(dāng)時(shí)，就有即所以

對(duì)于0<a<1的情形，類似可得。綜上：eg6證明證若a=0,結(jié)論成立。設(shè),,有其中。，取，只要，就有由上述幾個(gè)例題我們可以初步掌握數(shù)列極限的有關(guān)知識(shí)，對(duì)此還應(yīng)從以下三點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào)。由此可得數(shù)列極限的等價(jià)定義如下：定義1',若在之外，數(shù)列中的項(xiàng)至多有有限個(gè)，則稱數(shù)列收斂于a.由上述定義可知，若存在某個(gè)，使得數(shù)列中有無窮多個(gè)項(xiàng)落在之外，則一定不以a為極限。eg7證明和都是發(fā)散數(shù)列。證對(duì)任何，取，則數(shù)列中所有滿足n>a+1的項(xiàng)顯然都落在之外，故不以任何a為極限，即為發(fā)散數(shù)列。當(dāng)a=1時(shí)，取，則在之外有中的所有奇數(shù)項(xiàng)。當(dāng)時(shí)，取，則在之外有中的所有偶數(shù)項(xiàng)。eg9設(shè)為給定的數(shù)列，為對(duì)增減或改變有限項(xiàng)后的數(shù)列。證明數(shù)列與同斂散，若收斂則極限相等。證明設(shè)收斂，且，由定義1'可知，，數(shù)列中落在之外的項(xiàng)至多有有限個(gè)，而數(shù)列是對(duì)增減或改變有限項(xiàng)而得，所以，落在之外的項(xiàng)也至多有有限個(gè)，即定義2若，則稱為無窮小數(shù)列。定理2.1數(shù)列收斂于a的充要條件是：為無窮小數(shù)列。定義3若滿足：對(duì)任意正數(shù)M>0,總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有，則稱發(fā)散于無窮大，記作注：若，則稱為無窮大數(shù)列。

定義4若滿足：對(duì)任意正數(shù)M>0,總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有，則稱發(fā)散于正（負(fù)）無窮大，記作課堂小結(jié)本節(jié)課重難點(diǎn)即對(duì)數(shù)列極限概念的把握，需要理解掌握并靈活運(yùn)用數(shù)列極限的概念定義，能夠熟練運(yùn)用定義及等價(jià)定義處理數(shù)列極限問題，本節(jié)還介紹了發(fā)散