新版初一數(shù)學(xué)一元一次方程的應(yīng)用-范文

PAGEPAGE18新版初一數(shù)學(xué)一元一次方程的應(yīng)用

初一數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程，所以新初一的學(xué)生可以趁著這個(gè)暑期把這部分內(nèi)容預(yù)習(xí)好，我在這里整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.(5)檢驗(yàn)，寫(xiě)答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫(xiě)出答案.

2.和差倍分問(wèn)題

增長(zhǎng)量=原有量增長(zhǎng)率現(xiàn)在量=原有量+增長(zhǎng)量

3.等積變形問(wèn)題

常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積高=Sh=r2h

②長(zhǎng)方體的體積V=長(zhǎng)寬高=abc

4.數(shù)字問(wèn)題

一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c.

十位數(shù)可表示為10b+a，百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

(1)商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品成本價(jià)(2)商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品成本價(jià)100%

(3)商品銷售額=商品銷售價(jià)商品銷售量

(4)商品的銷售利潤(rùn)=(銷售價(jià)-成本價(jià))銷售量

(5)商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售.

6.行程問(wèn)題：路程=速度時(shí)間時(shí)間=路程速度速度=路程時(shí)間

(1)相遇問(wèn)題：

快行距+慢行距=原距

(2)追及問(wèn)題：

快行距-慢行距=原距

(3)航行問(wèn)題：順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度

逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系.

7.工程問(wèn)題：工作量=工作效率工作時(shí)間

完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲(chǔ)蓄問(wèn)題

利潤(rùn)=每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息/本金100%利息=本金利率期數(shù)

習(xí)題：

1.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作?

解：設(shè)甲、乙一起做還需x小時(shí)才能完成工作.

根據(jù)題意，得

1/61/2+(1/6+1/4)x=1

解這個(gè)方程，得x=11/5

11/5小時(shí)=2小時(shí)12分

答：甲、乙一起做還需2小時(shí)12分才能完成工作.

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，

則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x.

由題意，得2(9+x)=15+x

18+2x=15+x，2x-x=15-18

x=-3

答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍.

(點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒(méi)有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量)

3.將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高(精確到0.1毫米，3.14).

解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得

(200/2)2x=30030080

x229.3

答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng).

.解：設(shè)第一鐵橋的長(zhǎng)為x米，那么第二鐵橋的長(zhǎng)為(2x-50)米，過(guò)完第一鐵橋所需的時(shí)間為x/600分.

過(guò)完第二鐵橋所需的時(shí)間為2x-50/600分.

依題意，可列出方程

x/600+5/60=2x-50/600

解方程x+50=2x-50

得x=100

2x-50=2100-50=150

答：第一鐵橋長(zhǎng)100米，第二鐵橋長(zhǎng)150米。

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5，這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克?

解：設(shè)這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克，

那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克.

根據(jù)題意，得2x+3x+5x=50

解這個(gè)方程，得x=5

于是2x=10，3x=15，5x=25

答：這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是10克，15克和25克.

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè).在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元，每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個(gè)工人加工甲種零件.

解：設(shè)這一天有x名工人加工甲種零件，

則這天加工甲種零件有5x個(gè)，乙種零件有4(16-x)個(gè).

根據(jù)題意，得165x+244(16-x)=1440

解得x=6

答：這一天有6名工人加工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi).

(1)某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦?應(yīng)交電費(fèi)是多少元?

解：(1)由題意，得

0.4a+(84-a)0.4070%=30.72

解得a=60

(2)設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)，則

0.4060+(x-60)0.4070%=0.36x

解得x=90

所以0.3690=32.40(元)

答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)32.40元.

8.某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元.

(1)若家電商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案.

(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案?

解：按購(gòu)A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，

設(shè)購(gòu)A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái).

(1)①當(dāng)選購(gòu)A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購(gòu)(50-x)臺(tái)，可得方程

1500x+2100(50-x)=90000

即5x+7(50-x)=300

2x=50

x=25

50-x=25

②當(dāng)選購(gòu)A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購(gòu)(50-x)臺(tái)，

可得方程1500x+2500(50-x)=90000

3x+5(50-x)=1800

x=35

50-x=15

③當(dāng)購(gòu)B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為(50-y)臺(tái).

可得方程2100y+2500(50-y)=90000

21y+25(50-y)=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購(gòu)A，B兩種電視機(jī)25臺(tái);二是購(gòu)A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái).

(2)若選擇(1)中的方案①，可獲利

15025+25015=8750(元)

若選擇(1)中的方案②，可獲利

15035+25015=9000(元)

90008750故為了獲利最多，選擇第二種方案.

一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。主要困難體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是難以從實(shí)際問(wèn)題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程;二是對(duì)數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來(lái)表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時(shí)無(wú)從下手。

事實(shí)上，方程就是一個(gè)含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來(lái)。而在這種等式中的每個(gè)式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過(guò)程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要抓住基本量，找出相等關(guān)系。

一、列方程解應(yīng)用題的步驟：

⑴審題：理解題意。1、弄清題目中的對(duì)象，找出題目中代表著對(duì)象之間關(guān)系的句子和詞;2、弄清題目中有什么，要我們干什么，找出有什么(已知)和干什么(未知)之間的關(guān)系;

從應(yīng)用題來(lái)看一個(gè)題一般存在這兩個(gè)以上的關(guān)系，這兩關(guān)系一是題目中給出，二是題目中只給出一個(gè)，另一個(gè)關(guān)系是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫降囊恍┑攘筷P(guān)系(例如：路程=速度時(shí)間等)所以解應(yīng)用題關(guān)鍵是找出題目的等量關(guān)系，先就要長(zhǎng)到代表等量關(guān)系的句子和詞語(yǔ)(如：誰(shuí)比誰(shuí)多，誰(shuí)比誰(shuí)少，誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾等)。解題時(shí)常用橫線畫(huà)出代表等量關(guān)系的句子和詞語(yǔ)。

⑵設(shè)元(未知數(shù))。①直接未知數(shù)：題目中問(wèn)什么設(shè)什么;②間接未知數(shù)：先通過(guò)設(shè)未知數(shù)求出與與問(wèn)題相關(guān)的量，然后再通過(guò)一些關(guān)系求出題目中的問(wèn)題。(往往二者兼用)。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。但一元一次方程一般都只設(shè)一個(gè)未知數(shù)列一個(gè)方程。

⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

⑷列方程：尋找相等關(guān)系(有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出)，列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。

⑸解方程(6)檢驗(yàn)：一是檢驗(yàn)是否使方程有意義，例如分母不為0等;二是檢驗(yàn)是否使實(shí)際實(shí)際問(wèn)題有意義(如;2/3個(gè)人等)。

(7)答題：回答出題目所問(wèn)。

二、常見(jiàn)的常識(shí)性等量關(guān)系及關(guān)鍵詞語(yǔ)

(1)和、差、倍、分問(wèn)題。

(2)此問(wèn)題中常用多、少、大、小、幾分之幾或增加、減少、縮小等等詞語(yǔ)體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時(shí)要抓住關(guān)鍵詞，確定標(biāo)準(zhǔn)量與比校量，并注意每個(gè)詞的細(xì)微差別。

(2)等積變形問(wèn)題。

此類問(wèn)題的關(guān)鍵在等積上，是等量關(guān)系的所在，必須掌握常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積公式。等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為：

①形狀面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)變;②原料體積=成品體積。

(3)調(diào)配問(wèn)題。

從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系，常見(jiàn)是和、差、倍、分關(guān)系，要注意調(diào)配對(duì)象流動(dòng)的方向和數(shù)量。這類問(wèn)題要搞清人數(shù)的變化，常見(jiàn)題型有：

①既有調(diào)入又有調(diào)出;

②只有調(diào)入沒(méi)有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變;③只有調(diào)出沒(méi)有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。調(diào)配與比例問(wèn)題在日常生活中十分常見(jiàn)，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問(wèn)題中關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問(wèn)題中主要考慮總量不變;而在比例問(wèn)題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。

例14.甲、乙兩書(shū)架各有若干本書(shū)，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書(shū)比乙架上所剩的書(shū)多5倍，如果從甲架上拿100本書(shū)放到乙架上，兩架所有書(shū)相等。問(wèn)原來(lái)每架上各有多少書(shū)?

講評(píng)：本題難點(diǎn)是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書(shū)架上書(shū)的本數(shù)表示出來(lái)。在調(diào)配問(wèn)題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來(lái)多的一方多出的數(shù)量進(jìn)行平分。由題設(shè)中從甲書(shū)架拿100本書(shū)到乙書(shū)架，兩架書(shū)相等，可知甲書(shū)架原有的書(shū)比乙書(shū)架上原有的書(shū)多200本。故設(shè)乙架原有x本書(shū)，則甲架原有(x+200)本書(shū)。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書(shū)為(x-100)本，甲架書(shū)變?yōu)?x+200)+100本。又甲架的書(shū)比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有(x+200)+100=6(x-100)x=180x+200=380

例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個(gè)。已知每條拉線管3個(gè)燈管或2個(gè)吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個(gè)?

講評(píng)：這是一道對(duì)開(kāi)關(guān)拉線的分配問(wèn)題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有(13-x)個(gè)，燈管拉線為x/3條，吊扇拉線為13-x/2條，依題意共有5條拉線，有x/3+13-x/2=5x=9

例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個(gè)或螺母200個(gè)，一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套?

講評(píng)：產(chǎn)品配套(工人調(diào)配)問(wèn)題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系(比例關(guān)系)正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個(gè)數(shù)為200x個(gè)，則有(22-x)人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個(gè)數(shù)為120(22-x)個(gè)。由一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母即螺母的個(gè)數(shù)是螺絲個(gè)數(shù)的2倍，有200x=2120(22-x)

x=1222-x=10

例17.地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢?前三種料各稱了多少千克?

講評(píng)：解決比例問(wèn)題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有25x+2x+x=5600

x=20025x=50002x=400x=2006x=1200

例18.蘋(píng)果若干個(gè)分給小朋友，每人m個(gè)余14個(gè)，每人9個(gè)，則最后一人得6個(gè)。問(wèn)小朋友有幾人?

講評(píng)：這是一個(gè)分配問(wèn)題。設(shè)小朋友x人，每人分m個(gè)蘋(píng)果余14個(gè)，蘋(píng)果總數(shù)為mx+14，每人9個(gè)蘋(píng)果最后一人6個(gè)，則蘋(píng)果總數(shù)為9(x-1)+6。蘋(píng)果總數(shù)不變，有

mx+14=9(x-1)+6x=17/9-m∵x、m均為整數(shù)9-m=1

x=17

例19.出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價(jià)格與4噸砂糖的價(jià)格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材?

講評(píng)：本題可轉(zhuǎn)換成一個(gè)比例問(wèn)題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設(shè)可換回鋼材x噸，則有x∶288=35∶4x=2620

7.需設(shè)中間(間接)未知數(shù)求解的問(wèn)題

一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過(guò)中間未知數(shù)求出結(jié)果。

例20.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個(gè)數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)。

講評(píng)：本題中要求4個(gè)量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某個(gè)數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設(shè)這個(gè)相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為x-8/2，乙數(shù)為x/3，丙數(shù)為x/4，丁數(shù)為x+4/5，由四個(gè)數(shù)的和是43，有x-8/2+x/3+x/4+x+4/5=43x=36

x-8/2=14x/3=12x/4=9x+4/5=8

例21.某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪(即每隊(duì)均需比賽10場(chǎng))，其中勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負(fù)1場(chǎng)得0分。向明中學(xué)足球隊(duì)在這次聯(lián)賽中所負(fù)場(chǎng)數(shù)比平場(chǎng)數(shù)少3場(chǎng)，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場(chǎng)?

講評(píng)：本題中若直接將勝的場(chǎng)次設(shè)為未知數(shù)，無(wú)法用未知數(shù)的式子表示出負(fù)的場(chǎng)數(shù)和平的場(chǎng)數(shù)，但設(shè)平或負(fù)的場(chǎng)數(shù)，則可表示出勝的場(chǎng)數(shù)。故設(shè)平_場(chǎng)，則負(fù)x-3場(chǎng)，勝10-(x+x-3)場(chǎng)，依題意有3[10-(x+x-3)]+x=19x=410-(x+x-3)=5

(4)行程問(wèn)題。

要掌握行程中的基本關(guān)系：路程=速度時(shí)間。

相遇問(wèn)題(相向而行)，這類問(wèn)題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程或同時(shí)走時(shí)兩人所走的時(shí)間相等為等量關(guān)系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問(wèn)題(同向而行)，這類問(wèn)題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的路程或以追及時(shí)間為等量關(guān)系。

①同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間甲走的路程-乙走的路程=原來(lái)甲、乙相距的路程

②同地不同時(shí);甲的時(shí)間=乙的時(shí)間-時(shí)間差甲的路程=乙的路程

環(huán)形跑道上的相遇和追及問(wèn)題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。

船(飛機(jī))航行問(wèn)題：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度關(guān)系是：

順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(無(wú)風(fēng))中速度+水(風(fēng))流速度;逆水(風(fēng))速度=靜水(無(wú)風(fēng))中速度-水(風(fēng))流速度。

車上(離)橋問(wèn)題：

①車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過(guò)程，所走路程為一個(gè)車長(zhǎng)。

②車離橋指車頭離開(kāi)橋到車尾離開(kāi)橋的一段路程。所走的路程為一個(gè)成長(zhǎng)

③車過(guò)橋指車頭接觸橋到車尾離開(kāi)橋的一段路程，所走路成為一個(gè)車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)

④車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開(kāi)橋的一段路程，所行路成為橋長(zhǎng)-車長(zhǎng)

行程問(wèn)題可以采用畫(huà)示意圖的輔助手段來(lái)幫助理解題意，并注意兩者運(yùn)動(dòng)時(shí)出發(fā)的時(shí)間和地點(diǎn)。

尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問(wèn)題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問(wèn)題中多以路程作相等關(guān)系，而對(duì)有先后順序的問(wèn)題卻通常以時(shí)間作相等關(guān)系，在航行問(wèn)題中很多時(shí)候還用速度作相等關(guān)系。

例1.某隊(duì)伍450米長(zhǎng)，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問(wèn)往返共需多少時(shí)間?

講評(píng)：這一問(wèn)題實(shí)際上分為兩個(gè)過(guò)程：①?gòu)呐盼驳脚蓬^的過(guò)程是一個(gè)追及過(guò)程，相當(dāng)于最后一個(gè)人追上最前面的人;②從排頭回到排尾的過(guò)程則是一個(gè)相遇過(guò)程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。

在追及過(guò)程中，設(shè)追及的時(shí)間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)(即排頭)速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米;追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問(wèn)題中的相等關(guān)系追趕者的路程-被追者的路程=原來(lái)相隔的路程，有：

3x-1.5x=450x=300

在相遇過(guò)程中，設(shè)相遇的時(shí)間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問(wèn)題中的相等關(guān)系甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程有：

3y+1.5y=450y=100

故往返共需的時(shí)間為x+y=300+100=400(秒)

例2汽車從A地到B地，若每小時(shí)行駛40km，就要晚到半小時(shí)：若每小時(shí)行駛45km，就可以早到半小時(shí)。求A、B兩地的距離。

講評(píng)：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問(wèn)題，我們通常都稱其為先后問(wèn)題。在這類問(wèn)題中主要考慮時(shí)間量，考察兩者的時(shí)間關(guān)系，從相隔的時(shí)間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè)A、B兩地的路程為xkm，速度為40km/小時(shí)，則時(shí)間為x/40小時(shí);速度為45km/小時(shí)，則時(shí)間為x/45小時(shí)，又早到與晚到之間相隔1小時(shí)，故有

x/40-x/45=1x=360

例3一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時(shí)，逆流航行需8小時(shí)，已知水流速度每小時(shí)2km。求甲、乙兩地之間的距離。

講評(píng)：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為xkm，則順流速度為x/6km/小時(shí)，逆流速度為x/8km/小時(shí)，由航行問(wèn)題中的重要等量關(guān)系有：

x/6-2=x/8+2x=96

(5)工程問(wèn)題。

其基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率工作時(shí)間;合做的效率=各單獨(dú)做的效率的和。當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時(shí)，常設(shè)總工作量為1，分析時(shí)可采用列表或畫(huà)圖來(lái)幫助理解題意。

工程問(wèn)題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時(shí)間為t，則工作效率為。常見(jiàn)的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時(shí)間作相等關(guān)系，完成同一工作的時(shí)間差=多用的時(shí)間。

在工程問(wèn)題中，還要注意有些問(wèn)題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時(shí)不能看作整體1，此時(shí)工作效率也即工作速度。

例4.加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問(wèn)乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)?

講評(píng)：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨(dú)完成的時(shí)間可知，甲的工作效率為1/20，乙的工作效率為1/10，設(shè)乙需工作x天，則甲再繼續(xù)加工(12-x)天，乙完成的工作量為x/10，甲完成的工作量為，依題意有x/10+12-x/20=1x=8

例5.收割一塊麥地，每小時(shí)割4畝，預(yù)計(jì)若干小時(shí)割完。收割了2/3后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來(lái)的1.5倍。因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工。求這塊麥地有多少畝?

講評(píng)：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時(shí)，割完x畝預(yù)計(jì)時(shí)間為x/4小時(shí)，收割2/3x畝工作時(shí)間為2/3x/4=小時(shí);改用新式工具后，工作效率為1.54=6畝/小時(shí)，割完剩下1/3x畝時(shí)間為1/3x/6=x/18小時(shí)，則實(shí)際用的時(shí)間為(x/6+x/18)小時(shí)，依題意比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工有

x/4-(x/6+x/18)=1x=36

例6.一水池裝有甲、乙、丙三個(gè)水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開(kāi)需10小時(shí)注滿一池水，乙單獨(dú)開(kāi)需6小時(shí)注滿一池水，丙單獨(dú)開(kāi)15小時(shí)放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開(kāi)，需多少時(shí)間注滿水池?

講評(píng)：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為1/10、1/6、-1/15(進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù))，設(shè)x小時(shí)可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為x/10，x/6、-x/15，由三水管完成整體工作量1，有x/10+x/6-x/15=1x=5

(6)溶液(混合物)問(wèn)題

溶液(混合物)問(wèn)題有四個(gè)基本量：溶質(zhì)(純凈物)、溶劑(雜質(zhì))、溶液(混合物)、濃度(含量)。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑(混合物=純凈物+雜質(zhì));②濃度=溶質(zhì)/溶液100%=溶質(zhì)/溶質(zhì)+溶劑100%【純度(含量)=純凈物/混合物100%=純凈物/純凈物+雜100%】;③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度溶液=濃度(溶質(zhì)+溶劑)。在溶液?jiǎn)栴}中關(guān)鍵量是溶質(zhì)：溶質(zhì)不變，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。

例11.把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為60%的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該同學(xué)加水是否過(guò)量?⑵如果加水不過(guò)量，則應(yīng)加入濃度為20%的酒精多少克?如果加水過(guò)量，則需再加入濃度為95%的酒精多少克?

講評(píng)：溶液?jiǎn)栴}中濃度的變化有稀釋(通過(guò)加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低)、濃化(通過(guò)蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高)兩種情況。在濃度變化過(guò)程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個(gè)關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。

本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80%，溶質(zhì)(純酒精)為100080%克;設(shè)加x克水后，濃度為60%，此時(shí)溶液變?yōu)?1000+x)克，則溶質(zhì)(純酒精)為(1000+x)60%克。由加水前后溶質(zhì)未變，有(1000+x)60%=100080%

x=1000/3300該同學(xué)加水未過(guò)量。

⑵設(shè)應(yīng)加入濃度為20%的酒精y克，此時(shí)總?cè)芤簽?1000+300+y)克，濃度為60%，溶質(zhì)(純酒精)為(1000+300+y)60%;原兩種溶液的濃度分別為100080%、20%y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有(1000+300+y)60%=100080%+20%y=50

(7)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

與生活、生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個(gè)突出類型。經(jīng)濟(jì)類問(wèn)題主要體現(xiàn)為三大類：①銷售利潤(rùn)問(wèn)題、②優(yōu)惠(促銷)問(wèn)題、③存貸問(wèn)題。這三類問(wèn)題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時(shí)，一定要聯(lián)系實(shí)際生活情景去思考，才能更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，正確列出方程。

⑴銷售利潤(rùn)問(wèn)題。利潤(rùn)問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本(進(jìn)價(jià))、銷售價(jià)(收入)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率。基本關(guān)系式有：①利潤(rùn)=銷售價(jià)(收入)-成本(進(jìn)價(jià))【成本(進(jìn)價(jià))=銷售價(jià)(收入)-利潤(rùn)】;②利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本(進(jìn)價(jià))【利潤(rùn)=成本(進(jìn)價(jià))利潤(rùn)率】。在有折扣的銷售問(wèn)題中，實(shí)際銷售價(jià)=標(biāo)價(jià)折扣率。打折問(wèn)題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系。

⑵優(yōu)惠(促銷)問(wèn)題。日常生活中有很多促銷活動(dòng)，不同的購(gòu)物(消費(fèi))方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問(wèn)題中，一般從什么情況下效果一樣分析起。并以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個(gè)比它大的數(shù)及一個(gè)比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測(cè)其變化趨勢(shì)。

⑶存貸問(wèn)題。存貸問(wèn)題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時(shí)最好選取的問(wèn)題情景之一。存貸問(wèn)題中有本金、利息、利息稅三個(gè)基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：①利息=本金利率期數(shù);(注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率12=日利率365。)②利息稅=利息稅率;③本息和(本利)=本金+利息-利息稅。

例7.某商店先在廣州以每件15元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種商品10件，后來(lái)又到深圳以每件12.5元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時(shí)，要獲利12%，那么這種商品的銷售價(jià)應(yīng)定多少?

講評(píng)：設(shè)銷售價(jià)每件x元，銷售收入則為(10+40)x元，而成本(進(jìn)價(jià))為(510+4012.5)，利潤(rùn)率為12%，利潤(rùn)為(510+4012.5)12%。由關(guān)系式①有

(10+40)x-(510+4012.5)=(510+4012.5)12%x=14.56

例8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價(jià)七五折出售，則賠25元，而按定價(jià)的九折出售將賺20元。問(wèn)這種商品的定價(jià)是多少?

講評(píng)：設(shè)定價(jià)為x元，七五折售價(jià)為75%x，利潤(rùn)為-25元，進(jìn)價(jià)則為75%x-(-25)=75%x+25;九折銷售售價(jià)為90%x，利潤(rùn)為20元，進(jìn)價(jià)為90%x-20。由進(jìn)價(jià)一定，有

75%x+25=90%x-20x=300

例9.李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16%。取款時(shí)扣除20%利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問(wèn)半年前李勇同學(xué)共存入多少元?

講評(píng)：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為2.16%，期數(shù)為0.5年，則利息為0.52.16%x，利息稅為20%0.52.16%x，由存貸問(wèn)題中關(guān)系式③有x+0.52.16%x-20%0.52.16%x=504.32x=500

例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購(gòu)物卡，花200元買(mǎi)這種卡后，憑卡可在這家商店8折購(gòu)物，什么情況下買(mǎi)卡購(gòu)物合算?

講評(píng)：購(gòu)物優(yōu)惠先考慮什么情況下情況一樣。設(shè)購(gòu)物x元買(mǎi)卡與不買(mǎi)卡效果一樣，買(mǎi)卡花費(fèi)金額為(200+80%x)元，不買(mǎi)卡花費(fèi)金額為x元，故有

200+80%x=xx=1000

當(dāng)x1000時(shí)，如x=2000買(mǎi)卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80%2000=1800(元)

不買(mǎi)卡花費(fèi)為：2000(元)此時(shí)買(mǎi)卡購(gòu)物合算。

當(dāng)x1000時(shí)，如x=800買(mǎi)卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80%800=840(元)

不買(mǎi)卡花費(fèi)為：800(元)此時(shí)買(mǎi)卡不合算。

(8)數(shù)字問(wèn)題。

要正確區(qū)分?jǐn)?shù)與數(shù)字兩個(gè)概念，這類問(wèn)題通常采用間接設(shè)法，常見(jiàn)的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系。列方程的前提還必須正確地表示多位數(shù)的代數(shù)式，一個(gè)多位數(shù)是各位上數(shù)字與該位計(jì)數(shù)單位的積之和。數(shù)字問(wèn)題是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問(wèn)題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=(數(shù)位上的數(shù)字位權(quán))，如兩位數(shù)

=10a+b;三位數(shù)

=100a+10b+c。在求解數(shù)字問(wèn)題時(shí)要注意整體設(shè)元思想的運(yùn)用。

例12.一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個(gè)數(shù)。

講評(píng)：設(shè)這個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)