2023年新高考一輪復習講義第35講 等差數(shù)列及其前n項和含答案

試卷第=page77頁，共=sectionpages77頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年新高考一輪復習講義第35講等差數(shù)列及其前n項和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．132．（2022·湖北武漢·模擬預測）設公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．3．（2022·福建·莆田華僑中學模擬預測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學計算，運載“神十三”的“長征二號”遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒4．（2022·福建省德化第一中學模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（2022·海南海口·二模）設公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．66．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.97．（2022·重慶·二模）等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．128．（2022·重慶八中模擬預測）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．9．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．53310．（多選）（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．11．（多選）（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則12．（2022·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列中，則_______．13．（2022·山東青島·二模）將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.a1a2a3a4a5a6a7……14．（2022·遼寧·撫順一中模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______，______．15．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺16．（2022·重慶八中模擬預測）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項和為______．17．（2022·廣東·模擬預測）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.18．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知等差數(shù)列{}的前n項和是，，，則數(shù)列{||}中值最小的項為第___項．19．（2022·湖北·大冶市第一中學模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．20．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項和為，且__________．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和為，求證：．【素養(yǎng)提升】1．（2022·浙江省江山中學模擬預測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．（多選）（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）已知兩個等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為4．（多選）（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數(shù)列的前項和為.則（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北·荊門市龍泉中學一模）在數(shù)列中，，，，則_______；的前2022項和為_______．6．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知數(shù)列的前n項和（a為常數(shù)），則________；設函數(shù)且，則__________.試卷第=page2828頁，共=sectionpages2121頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第35講等差數(shù)列及其前n項和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項的性質(zhì)和前項和公式求解.【詳解】因為，又，所以，所以，故選：B．2．（2022·湖北武漢·模擬預測）設公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中項，及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.3．（2022·福建·莆田華僑中學模擬預測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學計算，運載“神十三”的“長征二號”遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的定義可知每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的前項求和公式計算即可.【詳解】設每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列，則是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，由求和公式有，解得．故選：D.4．（2022·福建省德化第一中學模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡得到，即可求解.【詳解】因為，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得，即，則.故選：C.5．（2022·海南?？凇ざ＃┰O公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式化簡可得.【詳解】因為，又，所以，所以，即，設等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.6．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D7．（2022·重慶·二模）等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】先利用等差數(shù)列的通項公式得到首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式和一元二次函數(shù)求其最值.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，因為，且，所以，解得，則，即取最大值為9.故選：C.8．（2022·重慶八中模擬預測）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C9．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【分析】根據(jù)題意討論的奇偶，當為奇數(shù)時，可得，按等差數(shù)列理解處理，當為偶數(shù)時，可得，按并項求和理解出來，則按奇偶分組求和分別理解處理．【詳解】依題意，，顯然，當n為奇數(shù)時有，即有，，…，，令，故，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，故；當n為偶數(shù)時有，即，，…，，于是，，故選：B．10．（多選）（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由條件可得當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，然后可逐一判斷.【詳解】因為，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.所以，選項錯誤；又因為，所以，選項B正確；故C正確，選項D正確.故選：BCD11．（多選）（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等差中項，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則對于A，由數(shù)列是等差數(shù)列及，所以可取，所以不成立，故A正確；對于B，由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以恒成立，故B不正確；對于C,由數(shù)列是等差數(shù)列，可取，所以不成立，故C正確；對于D，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，無論為何值，均有所以若，則恒不成立，故D正確.故選：ACD.12．（2022·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列中，則_______．【答案】4【分析】設出公差，利用等差數(shù)列通項公式基本量計算得到方程組，求出公差，求出答案.【詳解】設公差為，則，解得：，所以故答案為：413．（2022·山東青島·二模）將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.a1a2a3a4a5a6a7……【答案】【分析】利用等比數(shù)列前項和公式確定42為數(shù)列中的第幾項，可以求出公差，從而確定等差數(shù)列的通項公式.【詳解】解：設公差為，因為該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，則前4行共有個數(shù)，所以第5行第6列數(shù)為，則，所以．故答案為：．14．（2022·遼寧·撫順一中模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______，______．【答案】

0

0【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，化簡可得，代入即可求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式，即可求出答案.【詳解】等差數(shù)列中，，所以，即，所以，故答案為：①0；②0.15．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺【答案】60【分析】因為相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，所以夏至到立冬的日晷長的和可以用等差數(shù)列求和公式得到.【詳解】因為相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，設冬至日晷長13.5尺為，則芒種日晷長2.5尺為，所以，所以夏至日晷長為1.5尺，記夏至日晷長1.5尺為，小暑為，大暑為，……，立冬為則.故答案為：60.16．（2022·重慶八中模擬預測）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項和為______．【答案】【分析】由等差數(shù)列的通項公式得，再代入求和公式可求得答案.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為d，因為，，，則，故答案為：．17．（2022·廣東·模擬預測）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.【答案】6【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可得解.【詳解】解：因為和均為等差數(shù)列，所以，所以，即，所以.故答案為：6.18．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知等差數(shù)列{}的前n項和是，，，則數(shù)列{||}中值最小的項為第___項．【答案】10【分析】根據(jù)題意判斷等差數(shù)列{}的，，，由此可判斷數(shù)列的項的增減情況，進而確定答案.【詳解】由題意得：，∴，，∴，，∴，故等差數(shù)列{}為遞減數(shù)列，即公差為負數(shù)，因此的前9項依次遞減，從第10項開始依次遞增，由于，∴{||}最小的項是第10項，故答案為：1019．（2022·湖北·大冶市第一中學模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．【解】(1)由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數(shù)列，則；(2)由題知則20．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項和為，且__________．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和為，求證：．【解】(1)若選擇①，因為，，，，解得，，設公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設公差為d，，即，結(jié)合，解得，，所以．若選擇③，當時，；當時，，當時亦滿足上式，所以．(2)證明：由（1）得，所以，因為，（），所以，所以．【素養(yǎng)提升】1．（2022·浙江省江山中學模擬預測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列【答案】B【分析】取，即可判斷A；利用反證法，假設依次可組成等差數(shù)列，則有，，兩式相加，整理即可判斷B；取，從而可判斷CD.【詳解】解：對于A，當時，此時依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則依次組成等差數(shù)列，故A正確；對于B，假設依次可組成等差數(shù)列，則有，又因，兩式平方相加得，則，故，所以，所以，與題意矛盾，所以依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯誤；對于C，當時，若，則為等差數(shù)列，故C正確；對于D，當時，若，則為等差數(shù)列，故D正確.故選：B.2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進而根據(jù)的關(guān)系即可確定答案.【詳解】設函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故選：C.3．（多選）（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）已知兩個等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為【答案】ABD【分析】對于A，利用化簡可得答案；對于B，利用化簡可得答案；對于C，利用化簡可得答案；對于D，根據(jù)可得答案.【詳解】對于A，因為為等差數(shù)列，所以，即，所以，化簡得，所以，故A正確；對于B，因為為等差數(shù)列，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為為等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，所以或，故C不正確；對于D，因為，且，所以，所以，所以，所以也為等差數(shù)列，且公差為，故D正確.故選：ABD4．（多選）（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數(shù)列的前項和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個點對應的這項的和為0，則，同時第圈的最后一個點對應坐標為，設在第圈，則圈共有個數(shù)，可判斷前圈共有個數(shù)，所在點的坐標為，向前推導，則可判斷A，B選項；當時，所在點的坐標為，即可判斷C選項；借助與圖可知，即項之和，對應點的坐標為，，…，，即可求解判斷D選項.【詳解】由題，第一圈從點到點共8個點，由對稱性可知；第二圈從點到點共16個點，由對稱性可知，即，以此類推，可得第圈的個點對應的這項的和為0，即，設在第圈，則，由此可知前圈共有個數(shù)，故，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故A正確；，故B正確；所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故C錯誤；，對應點的坐標為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD5．（2022·湖北·荊門市龍泉中學一模）在數(shù)列中，，，，則_______；的前2022項和為_______．【答案】

3

1023133【分析】求出數(shù)列前若干項，根據(jù)其特性，分別求和后再可解即可.【詳解】由，得，又，所以，，，，，，，，，，，，，；因為，所以，明顯可見，規(guī)律如下：，成各項為1的常數(shù)數(shù)列，其和為，，成首項為2，公差為的等差數(shù)列，其和為，，成各項為0的成常數(shù)數(shù)列，其和為，，成首項為3，公差為4的等差數(shù)列，其和為，故.故答案為：①3；②1023133.6．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知數(shù)列的前n項和（a為常數(shù)），則________；設函數(shù)且，則__________.【答案】

2；

【分析】根據(jù)數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合輔助角公式、構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】當時，，當時，顯然成立，因為當時，，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，所以.又因為.令，因為，所以為奇函數(shù)，因為，所以在R上單調(diào)遞增.由題意得，因為數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其中，則，假設，.因為所以.假設，同理可得，綜上，.故答案為：2；試卷第=page3535頁，共=sectionpages77頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第36講等比數(shù)列及其前n項和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．20 B．12 C．8 D．42．（2022·山東·模擬預測）已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．3．（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．864．（2022·全國·高考真題（文））已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．35．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）設等比數(shù)列的首項為，公比為q，則“，且”是“對于任意都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）設等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．5127．（2022·山東菏澤·一模）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．338．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則9．（2022·江蘇南通·模擬預測）設數(shù)列，均為公比不等于1的等比數(shù)列，前n項和分別為，若，則＝（

）A． B．1 C． D．210．（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知數(shù)列滿足，其前項和為，且，則數(shù)列的前項和為（

）A． B．C． D．11．（多選）（2022·江蘇南通·模擬預測）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．數(shù)列是等比數(shù)列12．（多選）（2022·重慶·二模）設數(shù)列的前n項和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．13．（2022·福建·廈門一中模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．14．（2022·福建省福州第一中學三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，，，若，則___________.15．（2022·江蘇徐州·模擬預測）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，寫出一個滿足的通項公式：_________．16．（2022·湖北·模擬預測）已知為等比數(shù)列，且，，，為其前項之積，若，則的最小值為__________.17．（2022·山東聊城·三模）某牧場2022年年初牛的存欄數(shù)為1200，計劃以后每年存欄數(shù)的增長率為20%，且在每年年底賣出100頭牛，按照該計劃預計______年初的存欄量首次超過8900頭.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知等比數(shù)列{}各項均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項和為，且，求數(shù)列的前2022項和為_________．19．（2022·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．20．（2022·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【素養(yǎng)提升】1．（2022·河北秦皇島·三模）北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．2．（2022·湖南·模擬預測）在一個正三角形的三邊上，分別取一個距頂點最近的十等分點，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有個正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復多次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖中共有個正三角形），這個過程稱之為迭代．在邊長為的正三角形三邊上，分別取一個三等分點，連接成一個較小的正三角形，然后迭代得到如圖3所示的圖形（圖中共有個正三角形），其中最小的正三角形面積為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2022·湖南·雅禮中學二模）著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設將n個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（

）A． B．C． D．4．（多選）（2022·河北·石家莊二中模擬預測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列5．（2022·江蘇南京·模擬預測）若等比數(shù)列滿足，，則的最大值為____．6．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．7．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，，若存在正整數(shù)，使得，請寫出一個滿足題意的k的值__________.8．（2022·天津·南開中學模擬預測）已知是公差為3的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且.(1)求和的通項公式(2)若數(shù)列滿足對于任意的，且.①求的通項公式；②數(shù)列滿足，求.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第36講等比數(shù)列及其前n項和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．20 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】設的公比為q，由條件可列出關(guān)于q的方程，求得q，即可求得答案.【詳解】設的公比為q，則，解得，所以，故選：C．2．（2022·山東·模擬預測）已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，對進行化簡后求值即可.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：.所以．故選：B3．（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【分析】根據(jù)題意求得，得到，再由等差數(shù)列的通項公式，求得，列出方程，即可求解.【詳解】因為成公比為3的等比數(shù)列，可得，所以又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以，解得.故選：C.4．（2022·全國·高考真題（文））已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.5．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）設等比數(shù)列的首項為，公比為q，則“，且”是“對于任意都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】若，且，則，所以，反之，若，則，所以，且或，且，所以“，且”是“對于任意，都有”的充分不必要條件.故選：A6．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）設等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故當或4時，取得最大值，即.故選：A.7．（2022·山東菏澤·一模）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知條件判斷出的取值范圍，即可判斷使得的最小正數(shù)n的數(shù)值.【詳解】由得：，.，又，，，，則使得的最小正數(shù)n為35.故選：B.8．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】A選項可用片段和性質(zhì)，BD選項使用基本量法，C選項借助下標和性質(zhì)求解.【詳解】A選擇中，由即，解得B選項中，C選項中，由，，D選項中，故選：B9．（2022·江蘇南通·模擬預測）設數(shù)列，均為公比不等于1的等比數(shù)列，前n項和分別為，若，則＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定等式，可得，再求出數(shù)列，的公比即可計算作答.【詳解】由得，，設{}的公比為，{}的公比為，當時，，即，當時，，即，聯(lián)立兩式解得，此時，，則，，所以.故選：C10．（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知數(shù)列滿足，其前項和為，且，則數(shù)列的前項和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系可知數(shù)列從2項開始是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，進而可得，則均小于0，均大于0.結(jié)合等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】由①，得，解得，當時，②，由①②，得，則，兩式相減，得，即，又不符合上式，所以數(shù)列從2項開始是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.得，，所以均小于0，均大于0.所以當時，數(shù)列的前項和為.故選：A.11．（多選）（2022·江蘇南通·模擬預測）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【分析】設等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義結(jié)合特例法可判斷各選項的正誤.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，則是以為公比的等比數(shù)列，A對；時，，則不是等比數(shù)列，B錯；，時，，此時不是等比數(shù)列，C錯；，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對.故選：AD．12．（多選）（2022·重慶·二模）設數(shù)列的前n項和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】BC【分析】由條件變形，先求的通項公式，再判斷選項【詳解】由題意得，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，則．故B，C正確，A錯誤,,兩式相減得：，故D錯誤．故選：BC13．（2022·福建·廈門一中模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式即可求解.【詳解】由已知條件得，解得，∴；故答案為：.14．（2022·福建省福州第一中學三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，，，若，則___________.【答案】5【分析】根據(jù)，求得公比，再由求解.【詳解】解：在等比數(shù)列中，，，所以，解得，又，即，解得，故答案為：515．（2022·江蘇徐州·模擬預測）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，寫出一個滿足的通項公式：_________．【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只需填寫符合要求的答案即可，不妨令，根據(jù)等比數(shù)列求和公式代入驗證即可；【詳解】解：當時，，，∴滿足條件．故答案為：（答案不唯一）16．（2022·湖北·模擬預測）已知為等比數(shù)列，且，，，為其前項之積，若，則的最小值為__________.【答案】4【分析】求出的通項，再求出，從而可求的解的最小值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，而，故，故，所以即，故，故，由可得即，所以，因為，且當時，，故使得成立的最小值為4，故答案為：4.17．（2022·山東聊城·三模）某牧場2022年年初牛的存欄數(shù)為1200，計劃以后每年存欄數(shù)的增長率為20%，且在每年年底賣出100頭牛，按照該計劃預計______年初的存欄量首次超過8900頭.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】2036【分析】可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為”和“每年年底賣出100頭”建立相鄰兩年的關(guān)系，用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項公式即可求解.【詳解】設牧場從2022年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…，，…，其中，由題意得，并且，設，則，則0.2x＝100，則x＝500，∴，即數(shù)列{}是首項為，公比為1.2的等比數(shù)列，則，則，令，則，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存欄數(shù)首次突破8900，故答案為：203618．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知等比數(shù)列{}各項均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項和為，且，求數(shù)列的前2022項和為_________．【答案】【分析】首先根據(jù)條件求得等比數(shù)列{}的前n項和為，代入中可看出可以通過裂項相消法求和．【詳解】等比數(shù)列{}中、為方程的兩根，設數(shù)列{}的公比為，則，且又，所以，所以∴∴∴數(shù)列的前2022項和，故答案為：.19．（2022·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．（1）解：因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時．20．（2022·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【解】（1）設數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．【素養(yǎng)提升】1．（2022·河北秦皇島·三模）北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知“次分形”后線段的長度為，可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍即可得解.【詳解】圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，“次分形”后線段的長度為，所以要得到一個長度不小于的分形圖，只需滿足，則，即，解得，所以至少需要次分形．故選：C.2．（2022·湖南·模擬預測）在一個正三角形的三邊上，分別取一個距頂點最近的十等分點，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有個正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復多次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖中共有個正三角形），這個過程稱之為迭代．在邊長為的正三角形三邊上，分別取一個三等分點，連接成一個較小的正三角形，然后迭代得到如圖3所示的圖形（圖中共有個正三角形），其中最小的正三角形面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記第個正三角形的邊長為，第個正三角形的邊長為，根據(jù)與的關(guān)系判斷出為等比數(shù)列，由此求解