曲線的凹凸性與拐點(diǎn)課件

問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第四節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方1定義1設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線上的每一點(diǎn)處的切線都位于曲線的上方(下方)，則稱曲線在內(nèi)是凸的(凹的)如圖４－１4（圖４－１5）．定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則曲線在內(nèi)為凹（凸）的充分必要條件是在內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）．

再根據(jù)的單調(diào)性與的導(dǎo)數(shù)的符號之間的關(guān)系可知：如果，則單調(diào)增加；如果，則單調(diào)減少．因此，我們又可以得到利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷曲線凹凸的定理．定義1設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線2定理2圖4－14圖4－15定理2圖4－14圖4－153例1解注意到,例1解注意到,4注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的概念

連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)的求法:

(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn);(3)用上述所求點(diǎn)把定義域分成若干個部分區(qū)間;(4)在每個部分區(qū)間內(nèi)判定的符號,由此確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的概念拐點(diǎn)的求法:5例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)6曲線的凹凸性與拐點(diǎn)課件7例3解注意:例3解注意:8二函數(shù)圖形的描繪1.曲線的漸近線

一條曲線在伸向無窮遠(yuǎn)處的走向是不容易畫準(zhǔn)確的，但如果在伸向無窮遠(yuǎn)時漸漸靠近一條直線，那么，就可以利用這條直線將曲線的走向畫準(zhǔn)確了，這樣的直線稱為漸近線．二函數(shù)圖形的描繪9定義２

若曲線上一點(diǎn)沿曲線遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，該點(diǎn)與某一固定的直線的距離趨向于零，則稱此直線為曲線的漸近線．漸近線按其走向可分為垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線三種，本課我們僅對前兩種類情形作以介紹．

(1)垂直漸近線與ｙ軸平行的漸近線稱為垂直漸近線.

(2)水平漸近線與ｘ軸平行的漸近線稱為水平漸近線.定義２若曲線上一點(diǎn)沿曲線遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，該點(diǎn)與某一固定的直線的10利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步11第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛12例4解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.例4解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.13列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值14作圖作圖15例5解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.例5解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.16拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)17例6解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):例6解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極18拐點(diǎn)極大值極小值拐點(diǎn)極大值極小值19小結(jié)1.函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)2.函數(shù)圖形小結(jié)20問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第四節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方21定義1設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線上的每一點(diǎn)處的切線都位于曲線的上方(下方)，則稱曲線在內(nèi)是凸的(凹的)如圖４－１4（圖４－１5）．定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則曲線在內(nèi)為凹（凸）的充分必要條件是在內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）．

再根據(jù)的單調(diào)性與的導(dǎo)數(shù)的符號之間的關(guān)系可知：如果，則單調(diào)增加；如果，則單調(diào)減少．因此，我們又可以得到利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷曲線凹凸的定理．定義1設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線22定理2圖4－14圖4－15定理2圖4－14圖4－1523例1解注意到,例1解注意到,24注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的概念

連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)的求法:

(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn);(3)用上述所求點(diǎn)把定義域分成若干個部分區(qū)間;(4)在每個部分區(qū)間內(nèi)判定的符號,由此確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的概念拐點(diǎn)的求法:25例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)26曲線的凹凸性與拐點(diǎn)課件27例3解注意:例3解注意:28二函數(shù)圖形的描繪1.曲線的漸近線

一條曲線在伸向無窮遠(yuǎn)處的走向是不容易畫準(zhǔn)確的，但如果在伸向無窮遠(yuǎn)時漸漸靠近一條直線，那么，就可以利用這條直線將曲線的走向畫準(zhǔn)確了，這樣的直線稱為漸近線．二函數(shù)圖形的描繪29定義２

若曲線上一點(diǎn)沿曲線遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，該點(diǎn)與某一固定的直線的距離趨向于零，則稱此直線為曲線的漸近線．漸近線按其走向可分為垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線三種，本課我們僅對前兩種類情形作以介紹．

(1)垂直漸近線與ｙ軸平行的漸近線稱為垂直漸近線.

(2)水平漸近線與ｘ軸平行的漸近線稱為水平漸近線.定義２若曲線上一點(diǎn)沿曲線遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，該點(diǎn)與某一固定的直線的30利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步31第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛32例4解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.例4解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.33列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值34作圖作圖35例5解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.例5解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.36拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)